第二章 機(jī)械優(yōu)化數(shù)學(xué)問題

第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型和基本概念

§2.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型§2.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)的三大要素

§2.3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的分類

§2.4 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

§2.5 優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件

§2.6 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代法及其收斂條件§2.1

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型一.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法解決實(shí)際問題的步驟

1.分析實(shí)際問題，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型；

分析：①設(shè)計(jì)的要求（目標(biāo)、準(zhǔn)則）；

②設(shè)計(jì)的限制（約束）條件；

③設(shè)計(jì)的參數(shù)，確定設(shè)計(jì)變量。

建立：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

2.分析數(shù)學(xué)模型的類型，選擇合適的求解方法（優(yōu)化算法）。

3.編程上機(jī)求數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解，并對計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行評價(jià)分析,最終確定是否選用此次計(jì)算的解。§2.1

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型舉例：圓形等截面銷軸的優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

已知：軸的一端作用載荷P=1000N，扭矩M=100N·m；軸長不得小于8cm；材料的許用彎曲應(yīng)力[σw]=120MPa，許用扭剪應(yīng)力[τ]=80MPa，許用撓度[f]=0.01cm；密度[ρ]=7.8t/m，彈性模量E=2×105MPa。

分析：設(shè)計(jì)目標(biāo)是軸的質(zhì)量最輕Q=1/4πd2lρ→min.；要求：設(shè)計(jì)銷軸，在滿足上述條件的同時(shí)，軸的質(zhì)量應(yīng)為最輕。

設(shè)計(jì)限制條件有5個：彎曲強(qiáng)度：σmax≤[σw]

扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度：τ≤[τ]

剛度：f≤[f]

結(jié)構(gòu)尺寸：l≥8d≥0

設(shè)計(jì)參數(shù)中的未定變量：d、l§2.1

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型具體化：目標(biāo)函數(shù)

Q=1/4πd2lρ→min.

約束函數(shù)σmax

=Pl/(0.1d3)≤[σw] τ=M/(0.2d3)≤[τ] f=Pl3/(3EJ)≤[f] l≥8d≥0代入數(shù)據(jù)整理得數(shù)學(xué)模型：設(shè)：X=[x1,x2]T=[d,l]T

min.f(x)=x12x2X∈R2s.t.g1(x)=8.33x2-

x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0二.舉例（續(xù)）§2.1優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的一般形式：

設(shè)X=[x1,x2,…,xn]Tmin.f(x)=f(x1,x2,…,xn

)X∈Rn

s.t.gu(x)

≤0u=1,2,…,m

hv(x)=0v=1,2,…,p<n——設(shè)計(jì)變量——目標(biāo)函數(shù)——約束函數(shù)（性能約束）——約束函數(shù)（性能約束）——約束函數(shù)（性能約束）——約束函數(shù)（幾何約束）——約束函數(shù)（幾何約束）（不等式約束）（等式約束）屬于2維歐氏空間根據(jù)例子中的數(shù)學(xué)模型：設(shè)：X=[x1,x2]T=[d,l]T

min.f(x)=x12x2X∈R2s.t.g1(x)=8.33x2-

x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0三.優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型§2.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的三大要素一.設(shè)計(jì)變量：

設(shè)計(jì)變量：在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中是變化的，需要優(yōu)選的量。

設(shè)計(jì)參數(shù)：在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中保持不變或預(yù)先確定數(shù)值。

可以是幾何參數(shù)：例，尺寸、形狀、位置運(yùn)動學(xué)參數(shù)：例，位移、速度、加速度動力學(xué)參數(shù)：例，力、力矩、應(yīng)力其它物理量：例，質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、頻率、撓度非物理量：例，效率、壽命、成本設(shè)計(jì)變量：優(yōu)化設(shè)計(jì)問題有n個設(shè)計(jì)變量x1,x2,…,xn，

用xi(i=1,2,…,n)表示，是設(shè)計(jì)向量X的n個分量。設(shè)計(jì)向量：用X=[x1,x2,…,xn]T表示，是定義在n維歐氏空間中的一個向量。如何選定設(shè)計(jì)變量？

任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設(shè)計(jì)變量時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）抓主要，舍次要。對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計(jì)變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決設(shè)計(jì)問題的特殊性來選擇設(shè)計(jì)變量。例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計(jì)變量有4個，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設(shè)計(jì)中，將材料的許用剪切應(yīng)力和剪切模量Ｇ等作為設(shè)計(jì)常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計(jì)彈簧，則可把彈簧中徑D作為設(shè)計(jì)常量。

§2.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的三大要素設(shè)計(jì)點(diǎn):X(k)（x1(k),x2(k),…,xn(k)）：是設(shè)計(jì)向量X(k)的端點(diǎn)，代表設(shè)計(jì)空間中的一個點(diǎn)，也代表第k個設(shè)計(jì)方案?？赡苁强尚蟹桨浮⒁部赡懿皇强尚蟹桨?。設(shè)計(jì)空間Rn

：以x1,x2,…,xn

為坐標(biāo)軸，構(gòu)成n維歐氏實(shí)空間Rn。它包含了所有可能的設(shè)計(jì)點(diǎn)，即所有設(shè)計(jì)方案。例：右圖三維空間中第1設(shè)計(jì)點(diǎn)：X(1)=[x1(1),x2(1),x3(1)]T第2設(shè)計(jì)點(diǎn)：X(2)=[x1(2),x2(2),x3(2)]T

其中：X(2)=X(1)+ΔX(1)

增量：ΔX(1)=[Δx1(1),Δx2(1),Δx3(1)]T

即x1(2)=x1(1)+

Δx1(1)x2(2)

=x2(1)

+Δx2(1)

x3(2)=x3(1)+Δx3(1)一.設(shè)計(jì)變量（續(xù)）§2.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的三大要素設(shè)計(jì)約束：設(shè)計(jì)變量值(設(shè)計(jì)點(diǎn))的選擇不僅要使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值，同時(shí)還會受一定的條件限制，這些制約條件稱設(shè)計(jì)約束。約束函數(shù)：設(shè)計(jì)約束是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，稱為約束函數(shù)。

不等式約束函數(shù)：gu(x)

≤0u=1,2,…,m

等式約束數(shù)：hv(x)=0v=1,2,…,p＜n問題：是否每個設(shè)計(jì)約束中都必須包含n個設(shè)計(jì)變量？m+p個約束呢？不等式約束能否表達(dá)成

gu(x)≥0？例：有三個不等式約束

g1(x)=-

x1

≤0g2(x)=-x2

≤0g3(x)=x12+x22-1≤0

再加一個等式約束

h(x)=x1-x2=0D二.約束函數(shù)§2.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的三大要素約束（曲）面：對于某一個不等式約束gu(x)

≤0中，滿足gu(x)

=0的x點(diǎn)的集合構(gòu)成一個曲面，稱為約束（曲）面。

它將設(shè)計(jì)空間分成兩部分：滿足約束條件gu(x)

≤0的部分和不滿足約束條件gu(x)

＞0的部分。設(shè)計(jì)可行域（簡稱為可行域）

對于一個優(yōu)化問題，所有不等式約束的約束面將組成一個復(fù)合的約束曲面，包圍了設(shè)計(jì)空間中滿足所有不等式約束的區(qū)域，稱為設(shè)計(jì)可行域。記作

D

=gu(x)

≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,p

D

二.約束函數(shù)（續(xù)1）§2.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的三大要素可行設(shè)計(jì)點(diǎn)（內(nèi)點(diǎn)）：在可行域內(nèi)任意一點(diǎn)稱為可行設(shè)計(jì)點(diǎn)，代表一個可行方案。極限設(shè)計(jì)點(diǎn)（邊界點(diǎn)）：在約束面上的點(diǎn)稱為極限設(shè)計(jì)點(diǎn)。若討論的設(shè)計(jì)點(diǎn)x(k)點(diǎn)使得gu(x(k))

=0，則gu(x(k))≤0稱為適時(shí)約束或起作用約束。

非可行設(shè)計(jì)點(diǎn)（外點(diǎn)）：在可行域外的點(diǎn)稱為非可行設(shè)計(jì)點(diǎn)，代表不可采用的設(shè)計(jì)方案。二.約束函數(shù)（續(xù)2）問題：①極限設(shè)計(jì)點(diǎn)是否代表可行設(shè)計(jì)方案？

②什么約束一定是適時(shí)約束？

③可行域是否一定封閉？§2.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的三大要素目標(biāo)函數(shù)：優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程是從可行設(shè)計(jì)解中，找出一組最優(yōu)解的過程。需要一個準(zhǔn)則來評價(jià)當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)（解）的最優(yōu)性。這個準(zhǔn)則包含各個設(shè)計(jì)變量，作為評價(jià)函數(shù)，一般稱為目標(biāo)函數(shù)，也稱為評價(jià)函數(shù)、準(zhǔn)則函數(shù)、價(jià)值函數(shù)。多目標(biāo)函數(shù)：由于評價(jià)準(zhǔn)則的非唯一性，目標(biāo)函數(shù)可以是一個——單目標(biāo)函數(shù)，也可以是多個——稱為多目標(biāo)函數(shù)。單目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為：f(x)=f(x1,x2,…,xn

)多目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為：f(x)=ω1f1(x)+ω2f2(x)+…+ωqfq(x)=

其中：f1(x)，f2(x)，…fq(x)代表q個分設(shè)計(jì)目標(biāo)；

ω1，ω2，…，ωq代表q個加權(quán)系數(shù)。三.目標(biāo)函數(shù)§2.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的三大要素說明：

①f(x)必須是x的函數(shù)，應(yīng)隨設(shè)計(jì)點(diǎn)的變化f(x)的值上升、下降；②f(x)應(yīng)該是實(shí)函數(shù)，是可計(jì)算的。但不一定通過數(shù)學(xué)公式，還可以用其它數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算。③f(x)可以是有物理意義，有單位的，也可以沒有物理意義。例如，銷軸的質(zhì)量：Q=1/4πd2lρ，∵1/4πρ是常數(shù)，∴目標(biāo)函數(shù)可簡化為f(x)=d2l=x12x2問題：①f(x)是否一定應(yīng)包含所有的設(shè)計(jì)變量？②f(x)若是越大越好，則應(yīng)如何處理？

三.目標(biāo)函數(shù)(續(xù)）§2.3優(yōu)化設(shè)計(jì)的分類一.按模型性質(zhì)分：

確定型優(yōu)化問題：靜態(tài)優(yōu)化問題（與時(shí)間無關(guān)或忽略時(shí)間因素）動態(tài)優(yōu)化問題（隨時(shí)間變化，系統(tǒng)響應(yīng)變化）不確定型優(yōu)化問題（隨機(jī)優(yōu)化問題）二.按設(shè)計(jì)變量性質(zhì)分

連續(xù)變量、離散變量、隨機(jī)變量三.按約束情況分1.按有無約束分：無約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題

2.按約束性質(zhì)分：區(qū)域約束（幾何約束、邊界約束）性能約束（功能約束、性態(tài)約束）§2.3

優(yōu)化設(shè)計(jì)的分類（續(xù)）四.按目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的特性分：

線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題幾何規(guī)劃問題二次規(guī)劃問題五.按目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)分：

單目標(biāo)優(yōu)化問題雙目標(biāo)優(yōu)化問題多目標(biāo)優(yōu)化問題§2.4

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一.等值（線）面：

對于可計(jì)算的函數(shù)f(x)，給定一個設(shè)計(jì)點(diǎn)X(k)(x1(k),x2(k),…,xn

(k))，f(x)總有一個定值c與之對應(yīng)；而當(dāng)f(x)取定值c時(shí)，則有無限多個設(shè)計(jì)點(diǎn)X(i)(x1(i),x2(i),…,xn(i))（i=1,2,…）與之對應(yīng)，這些點(diǎn)集構(gòu)成一個曲面，稱為等值面。

當(dāng)c取c1,c2,…等值時(shí)，就獲得一族曲面族，稱為等值面族。

當(dāng)f(x)是二維時(shí)，獲得一族等值線族；當(dāng)f(x)是三維時(shí)，獲得一族等值面族；當(dāng)f(x)大于三維時(shí)，獲得一族超等值面族。等值線從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中F=40的等值線就是使F(x1,x2)=40的各點(diǎn)[x1,x2]T所組成的連線。如圖函數(shù)的等值線圖。等值線§2.4

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等值線的“心”（以二維為例）

一個“心”：是單峰函數(shù)的極（?。┲迭c(diǎn)，是全局極（?。┲迭c(diǎn)。沒有“心”：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無“心”，認(rèn)為極值點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。

多個“心”：不是單峰函數(shù)，每個極（?。┲迭c(diǎn)只是局部極（?。┲迭c(diǎn)，必須通過比較各個極值點(diǎn)的值，才能確定極（小）值點(diǎn)。一.等值（線）面：§2.4

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等值線的形狀：同心圓族、橢圓族，近似橢圓族；等值線的疏密：沿等值線密的方向，函數(shù)值變化快；沿等值線疏的方向，函數(shù)值變化慢。等值線的疏密定性反應(yīng)函數(shù)值變化率。

嚴(yán)重非線性函數(shù)——病態(tài)函數(shù)的等值線族是嚴(yán)重偏心和扭曲、分布疏密嚴(yán)重不一的曲線族。一.等值（線）面：例1：如下二維非線性規(guī)劃問題一、幾何解釋優(yōu)化問題的幾何解釋

通過二維優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思想。

目標(biāo)函數(shù)等值線是以點(diǎn)（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：，約束方程所圍成的可行域是D。由圖易見約束直線與等值線的切點(diǎn)是最優(yōu)點(diǎn)，利用解析幾何的方法得該切點(diǎn)為，對應(yīng)的最優(yōu)值為

(見圖）用圖解法求解

解：先畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點(diǎn)就是容許集上使等值線具有最小值的點(diǎn)。解：①先畫出等式約束曲線的圖形。這是一條拋物線，如圖例②再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）③最后畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點(diǎn)，

以及等值線與可行集的切點(diǎn)，易見可行域?yàn)榍€段ABCD。當(dāng)動點(diǎn)沿拋物曲線段ABCD由A點(diǎn)出發(fā)時(shí)，AB段目標(biāo)函數(shù)值下降。過點(diǎn)B后，在BC段目標(biāo)函數(shù)值上升。過C點(diǎn)后，在CD段目標(biāo)函數(shù)值再次下降。D點(diǎn)是使目標(biāo)函數(shù)值最小的可行點(diǎn)，其坐標(biāo)可通過解方程組：得出：ABCD由以上三個例子可見，對二維最優(yōu)化問題。我們總可以用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。在三維和三維以上的空間中，使目標(biāo)函數(shù)取同一常數(shù)值的是{X|f(X)=C,C是常數(shù)}稱為目標(biāo)函數(shù)的等值面。等值面具有以下性質(zhì)：（1）不同值的等值面之間不相交，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是單值函數(shù)；（2）等值面稠的地方，目標(biāo)函數(shù)值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；（3）一般地，在極值點(diǎn)附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）?！?.4

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方向?qū)?shù)：二維問題中，f(x1,x2)在X(0)點(diǎn)沿方向s的方向?qū)?shù)為：其中：是X(0)點(diǎn)的梯度。S為s方向的單位向量，。

為S的方向角,方向?qū)?shù)為方向余弦。為梯度在方向s上的投影。二.梯度§2.4

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)梯度的性質(zhì)：

①梯度是X(0)點(diǎn)處最大的方向?qū)?shù)；②梯度的方向是過點(diǎn)的等值線的法線方向；

③梯度是X(0)

點(diǎn)處的局部性質(zhì)；

④梯度指向函數(shù)變化率最大的方向；

⑤正梯度方向是函數(shù)值最速上升的方向，負(fù)梯度方向是函數(shù)值最速下降的方向。對于n維問題的梯度二.梯度§2.4

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)n維函數(shù)

f(x)在x(k)

點(diǎn)的臺勞展開式:二階近似式：其中：增量

ΔX(k)=[Δx1(k),Δx2(k),…,Δxn(k)]T梯度

Hesse

矩陣三.Hesse

矩陣與正定§2.4

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Hesse

矩陣的特性：是實(shí)對稱矩陣。矩陣正定的充要條件：主子式det(ait)＞0當(dāng)主子式det(ait)≥0時(shí)，矩陣半正定

det(ait)＜0時(shí)，矩陣負(fù)定

det(ait)≤0時(shí)，矩陣半負(fù)定Hesse

矩陣的正定性：H(x*)正定，是

x*為全局極小值點(diǎn)的充分條件；H(x*)半正定,是x*為局部極小值點(diǎn)的充分條件；H(x*)負(fù)定，是x*為全局極大值點(diǎn)的充分條件；H(x*)半負(fù)定,是x*為局部極大值點(diǎn)的充分條件。正定的二次函數(shù)：曲面為橢圓拋物面；等值線族為橢圓曲線族，橢圓中心為極小值點(diǎn)。三.Hesse

矩陣與正定§2.4

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)凸集：設(shè)

D為歐氏空間Rn

中X的集合，即D∈Rn,

X∈D，若D域內(nèi)任意兩個點(diǎn)x(1)，x(2)的連線上的各點(diǎn)都屬于D域，則的集合D稱為Rn

內(nèi)的一個凸集。否則，為非凸集。

凸函數(shù)：

f(x)是定義在n維歐氏空間中，凸集上的函數(shù)，同時(shí)x(1)∈D，x(2)∈D，ξ∈[0,1]，當(dāng)下式成立時(shí)，則稱f(x)為定義在凸集D上的凸函數(shù)。f[ξx(1)+(1-ξ)x(2)]≤ξf(x(1))+(1-ξ)f(x(2))當(dāng)上式中的≤為＜時(shí)，f(x)是嚴(yán)格凸函數(shù)。四.函數(shù)的凸性凸函數(shù)的集合意義如圖所示：一元凸函數(shù)的幾何意義在凸函數(shù)曲線上取任意兩點(diǎn)（對應(yīng)于X軸上的坐標(biāo)X(1)、X（2））聯(lián)成一直線線段，則該線段上任一點(diǎn)（對應(yīng)于X軸上的X(k)點(diǎn)）的縱坐標(biāo)Y值必大于或等于該點(diǎn)（X(k)）處的原函數(shù)值f(X(k))。

凸規(guī)劃

對于約束優(yōu)化問題

式中若F（X）、均為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。凸規(guī)劃的一些性質(zhì)：

2）凸規(guī)劃問題中的任何局部最優(yōu)解都是全局最優(yōu)解；

1）可行域?yàn)橥辜?/p>

3）若F（X）可微，則X*為凸規(guī)劃問題的最優(yōu)解的充分必要條件為：對任意，對滿足不論是無約束或有約束的優(yōu)化問題，在實(shí)際應(yīng)用中，要證明一個優(yōu)化問題是否為凸規(guī)劃，一般比較困難，有時(shí)甚至比求解優(yōu)化問題本身還要麻煩。尤其對一些工程問題，由于其數(shù)學(xué)模型的性態(tài)都比較復(fù)雜，更難實(shí)現(xiàn)。因此，在優(yōu)化設(shè)計(jì)的求解中，就不必花精力進(jìn)行求證，而通常是從幾個初始點(diǎn)出發(fā)，找出幾個局部最優(yōu)解，從中選擇目標(biāo)函數(shù)值最好的解。注意：§2.4

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)判別函數(shù)為凸函數(shù)的凸性條件：按梯度判斷凸性：設(shè)f(x)是定義在凸集D上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在D上為凸函數(shù)的充要條件是：對于任意的x(1),x(2)∈D

都有成立。按二階偏導(dǎo)數(shù)判斷凸性：設(shè)f(x)

是定義在凸集D上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在D上為凸函數(shù)的充要條件是：f(x)的Hesse矩陣處處半正定。若Hesse矩陣處處正定，則f(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)。凸函數(shù)的基本性質(zhì)：若f(x)是定義在凸集D上的嚴(yán)格凸函數(shù)，則f(x)在D上的一個極小點(diǎn)，也就是全局最小點(diǎn)。

凸函數(shù)的線性組合仍然為凸函數(shù)。

設(shè)x(1),x(2)為凸函數(shù)f(x)上的兩個最小點(diǎn)，則其連線上的任意點(diǎn)也都是最小點(diǎn)。四.函數(shù)的凸性§2.5優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件一.優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題最優(yōu)解：約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題最優(yōu)解：

不受約束條件限制，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的一組設(shè)計(jì)變量，即最優(yōu)點(diǎn)x*=[x1*,x2*,…,xn*]

和最優(yōu)值f(x*)構(gòu)成無約束問題最優(yōu)解。

滿足約束條件，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的一組設(shè)計(jì)變量，即最優(yōu)點(diǎn)x*=[x1*,x2*,…,xn*]

和最優(yōu)值f(x*)構(gòu)成約束問題最優(yōu)解?！?.5優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件二.有約束問題最優(yōu)點(diǎn)的幾種情況有適時(shí)約束目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù),可行域是凸集，則目標(biāo)函數(shù)等值線與適時(shí)約束曲面的切點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn)，而且是全局最優(yōu)點(diǎn)。無適時(shí)約束目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，可行域是凸集，則最優(yōu)點(diǎn)是內(nèi)點(diǎn)。相當(dāng)于無約束問題的最優(yōu)點(diǎn)。x(k)

為最優(yōu)點(diǎn)x*的條件：必要條件：充分條件：Hesse矩陣H(x(k))

是正定矩陣··X*f(x)·x*§2.5優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件有適時(shí)約束目標(biāo)函數(shù)是非凸函數(shù)（圖a），或可行域是非凸集（圖b）：

則目標(biāo)函數(shù)等值線與適時(shí)約束曲面可能存在多個切點(diǎn)，是局部極值點(diǎn)，其中只有一個點(diǎn)是全局最優(yōu)點(diǎn)。二.有約束問題最優(yōu)點(diǎn)的幾種情況pQQp§2.5

優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時(shí)約束時(shí)獲得最優(yōu)解的條件1.有一個適時(shí)約束時(shí)：

與x(k)點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向成銳角，即沿S方向目標(biāo)函數(shù)值下降；與x(k)點(diǎn)約束函數(shù)的梯度方向成鈍角，即保證S方向上各點(diǎn)在可行域內(nèi)。此時(shí)，獲得最優(yōu)解x(k)

為最優(yōu)點(diǎn)x*，f(x(k))為最優(yōu)值f(x*)。

從數(shù)學(xué)上定義，當(dāng)從x(k)點(diǎn)出發(fā)不存在一個S方向能同時(shí)滿足：①;②，即，則獲得最優(yōu)解：x(k)為最優(yōu)點(diǎn)x*，f(x(k))為最優(yōu)值f(x*)。從幾何上看，當(dāng)從x(k)點(diǎn)出發(fā)不存在一個S方向能同時(shí)滿足：§2.5優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件

相反，當(dāng)從x(k)點(diǎn)出發(fā)，存在一個S方向能同時(shí)滿足：和時(shí)，則x(k)

不是最優(yōu)點(diǎn)。

從幾何上看，當(dāng)從x(k)點(diǎn)出發(fā)存在一個S方向能同時(shí)滿足：與x(k)點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向成銳角，即沿S方向目標(biāo)函數(shù)值下降；與x(k)點(diǎn)約束函數(shù)的梯度方向成鈍角，即保證S方向上各點(diǎn)在可行域內(nèi)。此時(shí)，x(k)不是最優(yōu)點(diǎn)x*。三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時(shí)約束時(shí)獲得最優(yōu)解的條件1.有一個適時(shí)約束時(shí)：§2.5優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件2.

有二個適時(shí)約束時(shí)：

x(k)成為約束最優(yōu)點(diǎn)x*的必要條件為:。

幾何上位于和所張的扇形子空間內(nèi)。即不存在一個S方向能同時(shí)滿足：三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時(shí)約束時(shí)獲得最優(yōu)解的條件§2.5優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件相反，不符合以上條件：

幾何上不位于和所張的扇形子空間內(nèi)。則x(k)

點(diǎn)不是最優(yōu)點(diǎn)。不能表達(dá)成和的線性組合。即存在一個S方向能同時(shí)滿足：三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時(shí)約束時(shí)獲得最優(yōu)解的條件2.

有二個適時(shí)約束時(shí)：§2.5優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件3.K-T條件（擴(kuò)展至m個適時(shí)約束）：

設(shè)某個設(shè)計(jì)點(diǎn)x(k)，其適時(shí)約束集為，

幾何上，x(k)成為約束最優(yōu)點(diǎn)（極小點(diǎn)）x*時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度向量位于m適時(shí)約束梯度向量所張成的子空間內(nèi)。且為線性獨(dú)立，則x(k)成為約束最優(yōu)點(diǎn)的必要條件是目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度向量可表示為適時(shí)約束梯度向量的線性組合，即。其中，。三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時(shí)約束時(shí)獲得最優(yōu)解的條件§2.5優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件K-T條件的作用：判別邊界設(shè)計(jì)點(diǎn)x(k)

為最優(yōu)點(diǎn)的依據(jù)作為約束優(yōu)化的收斂條件。三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時(shí)約束時(shí)獲得最優(yōu)解的條件總結(jié)：優(yōu)化問題的極值條件

*一、無約束優(yōu)化問題的極值條件1.F(x)在處取得極