第二章 機械優(yōu)化數(shù)學問題

第二章優(yōu)化設計的數(shù)學模型和基本概念

§2.1 優(yōu)化設計的數(shù)學模型§2.2 優(yōu)化設計的三大要素

§2.3 優(yōu)化設計的分類

§2.4 優(yōu)化設計的數(shù)學基礎

§2.5 優(yōu)化設計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件

§2.6 優(yōu)化設計問題的數(shù)值迭代法及其收斂條件§2.1

優(yōu)化設計的數(shù)學模型一.機械優(yōu)化設計方法解決實際問題的步驟

1.分析實際問題，建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型；

分析：①設計的要求（目標、準則）；

②設計的限制（約束）條件；

③設計的參數(shù)，確定設計變量。

建立：機械優(yōu)化設計方法相應的數(shù)學模型。

2.分析數(shù)學模型的類型，選擇合適的求解方法（優(yōu)化算法）。

3.編程上機求數(shù)學模型的最優(yōu)解，并對計算的結果進行評價分析,最終確定是否選用此次計算的解。§2.1

優(yōu)化設計的數(shù)學模型舉例：圓形等截面銷軸的優(yōu)化設計的數(shù)學模型

已知：軸的一端作用載荷P=1000N，扭矩M=100N·m；軸長不得小于8cm；材料的許用彎曲應力[σw]=120MPa，許用扭剪應力[τ]=80MPa，許用撓度[f]=0.01cm；密度[ρ]=7.8t/m，彈性模量E=2×105MPa。

分析：設計目標是軸的質量最輕Q=1/4πd2lρ→min.；要求：設計銷軸，在滿足上述條件的同時，軸的質量應為最輕。

設計限制條件有5個：彎曲強度：σmax≤[σw]

扭轉強度：τ≤[τ]

剛度：f≤[f]

結構尺寸：l≥8d≥0

設計參數(shù)中的未定變量：d、l§2.1

優(yōu)化設計的數(shù)學模型具體化：目標函數(shù)

Q=1/4πd2lρ→min.

約束函數(shù)σmax

=Pl/(0.1d3)≤[σw] τ=M/(0.2d3)≤[τ] f=Pl3/(3EJ)≤[f] l≥8d≥0代入數(shù)據(jù)整理得數(shù)學模型：設：X=[x1,x2]T=[d,l]T

min.f(x)=x12x2X∈R2s.t.g1(x)=8.33x2-

x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0二.舉例（續(xù)）§2.1優(yōu)化設計的數(shù)學模型機械優(yōu)化設計數(shù)學模型的一般形式：

設X=[x1,x2,…,xn]Tmin.f(x)=f(x1,x2,…,xn

)X∈Rn

s.t.gu(x)

≤0u=1,2,…,m

hv(x)=0v=1,2,…,p<n——設計變量——目標函數(shù)——約束函數(shù)（性能約束）——約束函數(shù)（性能約束）——約束函數(shù)（性能約束）——約束函數(shù)（幾何約束）——約束函數(shù)（幾何約束）（不等式約束）（等式約束）屬于2維歐氏空間根據(jù)例子中的數(shù)學模型：設：X=[x1,x2]T=[d,l]T

min.f(x)=x12x2X∈R2s.t.g1(x)=8.33x2-

x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0三.優(yōu)化設計的數(shù)學模型§2.2優(yōu)化設計的三大要素一.設計變量：

設計變量：在優(yōu)化設計過程中是變化的，需要優(yōu)選的量。

設計參數(shù)：在優(yōu)化設計過程中保持不變或預先確定數(shù)值。

可以是幾何參數(shù)：例，尺寸、形狀、位置運動學參數(shù)：例，位移、速度、加速度動力學參數(shù)：例，力、力矩、應力其它物理量：例，質量、轉動慣量、頻率、撓度非物理量：例，效率、壽命、成本設計變量：優(yōu)化設計問題有n個設計變量x1,x2,…,xn，

用xi(i=1,2,…,n)表示，是設計向量X的n個分量。設計向量：用X=[x1,x2,…,xn]T表示，是定義在n維歐氏空間中的一個向量。如何選定設計變量？

任何一項產品，是眾多設計變量標志結構尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產品結構，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設計變量時應注意以下幾點：（1）抓主要，舍次要。對產品性能和結構影響大的參數(shù)可取為設計變量，影響小的可先根據(jù)經驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決設計問題的特殊性來選擇設計變量。例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設計變量有4個，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設計中，將材料的許用剪切應力和剪切模量Ｇ等作為設計常量。在給定徑向空間內設計彈簧，則可把彈簧中徑D作為設計常量。

§2.2優(yōu)化設計的三大要素設計點:X(k)（x1(k),x2(k),…,xn(k)）：是設計向量X(k)的端點，代表設計空間中的一個點，也代表第k個設計方案?？赡苁强尚蟹桨?、也可能不是可行方案。設計空間Rn

：以x1,x2,…,xn

為坐標軸，構成n維歐氏實空間Rn。它包含了所有可能的設計點，即所有設計方案。例：右圖三維空間中第1設計點：X(1)=[x1(1),x2(1),x3(1)]T第2設計點：X(2)=[x1(2),x2(2),x3(2)]T

其中：X(2)=X(1)+ΔX(1)

增量：ΔX(1)=[Δx1(1),Δx2(1),Δx3(1)]T

即x1(2)=x1(1)+

Δx1(1)x2(2)

=x2(1)

+Δx2(1)

x3(2)=x3(1)+Δx3(1)一.設計變量（續(xù)）§2.2優(yōu)化設計的三大要素設計約束：設計變量值(設計點)的選擇不僅要使目標函數(shù)達到最優(yōu)值，同時還會受一定的條件限制，這些制約條件稱設計約束。約束函數(shù)：設計約束是設計變量的函數(shù)，稱為約束函數(shù)。

不等式約束函數(shù)：gu(x)

≤0u=1,2,…,m

等式約束數(shù)：hv(x)=0v=1,2,…,p＜n問題：是否每個設計約束中都必須包含n個設計變量？m+p個約束呢？不等式約束能否表達成

gu(x)≥0？例：有三個不等式約束

g1(x)=-

x1

≤0g2(x)=-x2

≤0g3(x)=x12+x22-1≤0

再加一個等式約束

h(x)=x1-x2=0D二.約束函數(shù)§2.2優(yōu)化設計的三大要素約束（曲）面：對于某一個不等式約束gu(x)

≤0中，滿足gu(x)

=0的x點的集合構成一個曲面，稱為約束（曲）面。

它將設計空間分成兩部分：滿足約束條件gu(x)

≤0的部分和不滿足約束條件gu(x)

＞0的部分。設計可行域（簡稱為可行域）

對于一個優(yōu)化問題，所有不等式約束的約束面將組成一個復合的約束曲面，包圍了設計空間中滿足所有不等式約束的區(qū)域，稱為設計可行域。記作

D

=gu(x)

≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,p

D

二.約束函數(shù)（續(xù)1）§2.2優(yōu)化設計的三大要素可行設計點（內點）：在可行域內任意一點稱為可行設計點，代表一個可行方案。極限設計點（邊界點）：在約束面上的點稱為極限設計點。若討論的設計點x(k)點使得gu(x(k))

=0，則gu(x(k))≤0稱為適時約束或起作用約束。

非可行設計點（外點）：在可行域外的點稱為非可行設計點，代表不可采用的設計方案。二.約束函數(shù)（續(xù)2）問題：①極限設計點是否代表可行設計方案？

②什么約束一定是適時約束？

③可行域是否一定封閉？§2.2優(yōu)化設計的三大要素目標函數(shù)：優(yōu)化設計的過程是從可行設計解中，找出一組最優(yōu)解的過程。需要一個準則來評價當前設計點（解）的最優(yōu)性。這個準則包含各個設計變量，作為評價函數(shù)，一般稱為目標函數(shù)，也稱為評價函數(shù)、準則函數(shù)、價值函數(shù)。多目標函數(shù)：由于評價準則的非唯一性，目標函數(shù)可以是一個——單目標函數(shù)，也可以是多個——稱為多目標函數(shù)。單目標函數(shù)的表達式為：f(x)=f(x1,x2,…,xn

)多目標函數(shù)的表達式為：f(x)=ω1f1(x)+ω2f2(x)+…+ωqfq(x)=

其中：f1(x)，f2(x)，…fq(x)代表q個分設計目標；

ω1，ω2，…，ωq代表q個加權系數(shù)。三.目標函數(shù)§2.2優(yōu)化設計的三大要素說明：

①f(x)必須是x的函數(shù)，應隨設計點的變化f(x)的值上升、下降；②f(x)應該是實函數(shù)，是可計算的。但不一定通過數(shù)學公式，還可以用其它數(shù)值計算方法計算。③f(x)可以是有物理意義，有單位的，也可以沒有物理意義。例如，銷軸的質量：Q=1/4πd2lρ，∵1/4πρ是常數(shù)，∴目標函數(shù)可簡化為f(x)=d2l=x12x2問題：①f(x)是否一定應包含所有的設計變量？②f(x)若是越大越好，則應如何處理？

三.目標函數(shù)(續(xù)）§2.3優(yōu)化設計的分類一.按模型性質分：

確定型優(yōu)化問題：靜態(tài)優(yōu)化問題（與時間無關或忽略時間因素）動態(tài)優(yōu)化問題（隨時間變化，系統(tǒng)響應變化）不確定型優(yōu)化問題（隨機優(yōu)化問題）二.按設計變量性質分

連續(xù)變量、離散變量、隨機變量三.按約束情況分1.按有無約束分：無約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題

2.按約束性質分：區(qū)域約束（幾何約束、邊界約束）性能約束（功能約束、性態(tài)約束）§2.3

優(yōu)化設計的分類（續(xù)）四.按目標函數(shù)和約束函數(shù)的特性分：

線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題幾何規(guī)劃問題二次規(guī)劃問題五.按目標函數(shù)的個數(shù)分：

單目標優(yōu)化問題雙目標優(yōu)化問題多目標優(yōu)化問題§2.4

優(yōu)化設計的數(shù)學基礎一.等值（線）面：

對于可計算的函數(shù)f(x)，給定一個設計點X(k)(x1(k),x2(k),…,xn

(k))，f(x)總有一個定值c與之對應；而當f(x)取定值c時，則有無限多個設計點X(i)(x1(i),x2(i),…,xn(i))（i=1,2,…）與之對應，這些點集構成一個曲面，稱為等值面。

當c取c1,c2,…等值時，就獲得一族曲面族，稱為等值面族。

當f(x)是二維時，獲得一族等值線族；當f(x)是三維時，獲得一族等值面族；當f(x)大于三維時，獲得一族超等值面族。等值線從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中F=40的等值線就是使F(x1,x2)=40的各點[x1,x2]T所組成的連線。如圖函數(shù)的等值線圖。等值線§2.4

優(yōu)化設計的數(shù)學基礎等值線的“心”（以二維為例）

一個“心”：是單峰函數(shù)的極（小）值點，是全局極（?。┲迭c。沒有“心”：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無“心”，認為極值點在無窮遠處。

多個“心”：不是單峰函數(shù)，每個極（?。┲迭c只是局部極（小）值點，必須通過比較各個極值點的值，才能確定極（?。┲迭c。一.等值（線）面：§2.4

優(yōu)化設計的數(shù)學基礎等值線的形狀：同心圓族、橢圓族，近似橢圓族；等值線的疏密：沿等值線密的方向，函數(shù)值變化快；沿等值線疏的方向，函數(shù)值變化慢。等值線的疏密定性反應函數(shù)值變化率。

嚴重非線性函數(shù)——病態(tài)函數(shù)的等值線族是嚴重偏心和扭曲、分布疏密嚴重不一的曲線族。一.等值（線）面：例1：如下二維非線性規(guī)劃問題一、幾何解釋優(yōu)化問題的幾何解釋

通過二維優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設計的基本思想。

目標函數(shù)等值線是以點（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：，約束方程所圍成的可行域是D。由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得該切點為，對應的最優(yōu)值為

(見圖）用圖解法求解

解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上使等值線具有最小值的點。解：①先畫出等式約束曲線的圖形。這是一條拋物線，如圖例②再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側區(qū)域）③最后畫出目標函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點，

以及等值線與可行集的切點，易見可行域為曲線段ABCD。當動點沿拋物曲線段ABCD由A點出發(fā)時，AB段目標函數(shù)值下降。過點B后，在BC段目標函數(shù)值上升。過C點后，在CD段目標函數(shù)值再次下降。D點是使目標函數(shù)值最小的可行點，其坐標可通過解方程組：得出：ABCD由以上三個例子可見，對二維最優(yōu)化問題。我們總可以用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。在三維和三維以上的空間中，使目標函數(shù)取同一常數(shù)值的是{X|f(X)=C,C是常數(shù)}稱為目標函數(shù)的等值面。等值面具有以下性質：（1）不同值的等值面之間不相交，因為目標函數(shù)是單值函數(shù)；（2）等值面稠的地方，目標函數(shù)值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；（3）一般地，在極值點附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）?！?.4

優(yōu)化設計的數(shù)學基礎方向導數(shù)：二維問題中，f(x1,x2)在X(0)點沿方向s的方向導數(shù)為：其中：是X(0)點的梯度。S為s方向的單位向量，。

為S的方向角,方向導數(shù)為方向余弦。為梯度在方向s上的投影。二.梯度§2.4

優(yōu)化設計的數(shù)學基礎梯度的性質：

①梯度是X(0)點處最大的方向導數(shù)；②梯度的方向是過點的等值線的法線方向；

③梯度是X(0)

點處的局部性質；

④梯度指向函數(shù)變化率最大的方向；

⑤正梯度方向是函數(shù)值最速上升的方向，負梯度方向是函數(shù)值最速下降的方向。對于n維問題的梯度二.梯度§2.4

優(yōu)化設計的數(shù)學基礎n維函數(shù)

f(x)在x(k)

點的臺勞展開式:二階近似式：其中：增量

ΔX(k)=[Δx1(k),Δx2(k),…,Δxn(k)]T梯度

Hesse

矩陣三.Hesse

矩陣與正定§2.4

優(yōu)化設計的數(shù)學基礎Hesse

矩陣的特性：是實對稱矩陣。矩陣正定的充要條件：主子式det(ait)＞0當主子式det(ait)≥0時，矩陣半正定

det(ait)＜0時，矩陣負定

det(ait)≤0時，矩陣半負定Hesse

矩陣的正定性：H(x*)正定，是

x*為全局極小值點的充分條件；H(x*)半正定,是x*為局部極小值點的充分條件；H(x*)負定，是x*為全局極大值點的充分條件；H(x*)半負定,是x*為局部極大值點的充分條件。正定的二次函數(shù)：曲面為橢圓拋物面；等值線族為橢圓曲線族，橢圓中心為極小值點。三.Hesse

矩陣與正定§2.4

優(yōu)化設計的數(shù)學基礎凸集：設

D為歐氏空間Rn

中X的集合，即D∈Rn,

X∈D，若D域內任意兩個點x(1)，x(2)的連線上的各點都屬于D域，則的集合D稱為Rn

內的一個凸集。否則，為非凸集。

凸函數(shù)：

f(x)是定義在n維歐氏空間中，凸集上的函數(shù)，同時x(1)∈D，x(2)∈D，ξ∈[0,1]，當下式成立時，則稱f(x)為定義在凸集D上的凸函數(shù)。f[ξx(1)+(1-ξ)x(2)]≤ξf(x(1))+(1-ξ)f(x(2))當上式中的≤為＜時，f(x)是嚴格凸函數(shù)。四.函數(shù)的凸性凸函數(shù)的集合意義如圖所示：一元凸函數(shù)的幾何意義在凸函數(shù)曲線上取任意兩點（對應于X軸上的坐標X(1)、X（2））聯(lián)成一直線線段，則該線段上任一點（對應于X軸上的X(k)點）的縱坐標Y值必大于或等于該點（X(k)）處的原函數(shù)值f(X(k))。

凸規(guī)劃

對于約束優(yōu)化問題

式中若F（X）、均為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。凸規(guī)劃的一些性質：

2）凸規(guī)劃問題中的任何局部最優(yōu)解都是全局最優(yōu)解；

1）可行域為凸集；

3）若F（X）可微，則X*為凸規(guī)劃問題的最優(yōu)解的充分必要條件為：對任意，對滿足不論是無約束或有約束的優(yōu)化問題，在實際應用中，要證明一個優(yōu)化問題是否為凸規(guī)劃，一般比較困難，有時甚至比求解優(yōu)化問題本身還要麻煩。尤其對一些工程問題，由于其數(shù)學模型的性態(tài)都比較復雜，更難實現(xiàn)。因此，在優(yōu)化設計的求解中，就不必花精力進行求證，而通常是從幾個初始點出發(fā)，找出幾個局部最優(yōu)解，從中選擇目標函數(shù)值最好的解。注意：§2.4

優(yōu)化設計的數(shù)學基礎判別函數(shù)為凸函數(shù)的凸性條件：按梯度判斷凸性：設f(x)是定義在凸集D上具有連續(xù)一階導數(shù)的函數(shù)，則f(x)在D上為凸函數(shù)的充要條件是：對于任意的x(1),x(2)∈D

都有成立。按二階偏導數(shù)判斷凸性：設f(x)

是定義在凸集D上具有連續(xù)二階導數(shù)的函數(shù)，則f(x)在D上為凸函數(shù)的充要條件是：f(x)的Hesse矩陣處處半正定。若Hesse矩陣處處正定，則f(x)為嚴格凸函數(shù)。凸函數(shù)的基本性質：若f(x)是定義在凸集D上的嚴格凸函數(shù)，則f(x)在D上的一個極小點，也就是全局最小點。

凸函數(shù)的線性組合仍然為凸函數(shù)。

設x(1),x(2)為凸函數(shù)f(x)上的兩個最小點，則其連線上的任意點也都是最小點。四.函數(shù)的凸性§2.5優(yōu)化設計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件一.優(yōu)化設計最優(yōu)解無約束優(yōu)化設計問題最優(yōu)解：約束優(yōu)化設計問題最優(yōu)解：

不受約束條件限制，使目標函數(shù)達到最小值的一組設計變量，即最優(yōu)點x*=[x1*,x2*,…,xn*]

和最優(yōu)值f(x*)構成無約束問題最優(yōu)解。

滿足約束條件，使目標函數(shù)達到最小值的一組設計變量，即最優(yōu)點x*=[x1*,x2*,…,xn*]

和最優(yōu)值f(x*)構成約束問題最優(yōu)解。§2.5優(yōu)化設計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件二.有約束問題最優(yōu)點的幾種情況有適時約束目標函數(shù)是凸函數(shù),可行域是凸集，則目標函數(shù)等值線與適時約束曲面的切點為最優(yōu)點，而且是全局最優(yōu)點。無適時約束目標函數(shù)是凸函數(shù)，可行域是凸集，則最優(yōu)點是內點。相當于無約束問題的最優(yōu)點。x(k)

為最優(yōu)點x*的條件：必要條件：充分條件：Hesse矩陣H(x(k))

是正定矩陣··X*f(x)·x*§2.5優(yōu)化設計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件有適時約束目標函數(shù)是非凸函數(shù)（圖a），或可行域是非凸集（圖b）：

則目標函數(shù)等值線與適時約束曲面可能存在多個切點，是局部極值點，其中只有一個點是全局最優(yōu)點。二.有約束問題最優(yōu)點的幾種情況pQQp§2.5

優(yōu)化設計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件1.有一個適時約束時：

與x(k)點目標函數(shù)的負梯度方向成銳角，即沿S方向目標函數(shù)值下降；與x(k)點約束函數(shù)的梯度方向成鈍角，即保證S方向上各點在可行域內。此時，獲得最優(yōu)解x(k)

為最優(yōu)點x*，f(x(k))為最優(yōu)值f(x*)。

從數(shù)學上定義，當從x(k)點出發(fā)不存在一個S方向能同時滿足：①;②，即，則獲得最優(yōu)解：x(k)為最優(yōu)點x*，f(x(k))為最優(yōu)值f(x*)。從幾何上看，當從x(k)點出發(fā)不存在一個S方向能同時滿足：§2.5優(yōu)化設計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件

相反，當從x(k)點出發(fā)，存在一個S方向能同時滿足：和時，則x(k)

不是最優(yōu)點。

從幾何上看，當從x(k)點出發(fā)存在一個S方向能同時滿足：與x(k)點目標函數(shù)的負梯度方向成銳角，即沿S方向目標函數(shù)值下降；與x(k)點約束函數(shù)的梯度方向成鈍角，即保證S方向上各點在可行域內。此時，x(k)不是最優(yōu)點x*。三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件1.有一個適時約束時：§2.5優(yōu)化設計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件2.

有二個適時約束時：

x(k)成為約束最優(yōu)點x*的必要條件為:。

幾何上位于和所張的扇形子空間內。即不存在一個S方向能同時滿足：三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件§2.5優(yōu)化設計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件相反，不符合以上條件：

幾何上不位于和所張的扇形子空間內。則x(k)

點不是最優(yōu)點。不能表達成和的線性組合。即存在一個S方向能同時滿足：三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件2.

有二個適時約束時：§2.5優(yōu)化設計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件3.K-T條件（擴展至m個適時約束）：

設某個設計點x(k)，其適時約束集為，

幾何上，x(k)成為約束最優(yōu)點（極小點）x*時，目標函數(shù)的負梯度向量位于m適時約束梯度向量所張成的子空間內。且為線性獨立，則x(k)成為約束最優(yōu)點的必要條件是目標函數(shù)的負梯度向量可表示為適時約束梯度向量的線性組合，即。其中，。三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件§2.5優(yōu)化設計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件K-T條件的作用：判別邊界設計點x(k)

為最優(yōu)點的依據(jù)作為約束優(yōu)化的收斂條件。三.K-T(Kuhn-Tucker庫恩-塔克)

條件

——有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件總結：優(yōu)化問題的極值條件

*一、無約束優(yōu)化問題的極值條件1.F(x)在處取得極