第3章-靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法-2

§3.2靜電場(chǎng)中的介質(zhì)電偶極子的概念

圖電偶極子

電矩矢量:

電荷q乘以有向距離表示電偶極子的大小和空間取向電偶極子電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度與電位：電偶極子

有極分子無(wú)極分子一.介質(zhì)的極化

導(dǎo)體中的電子通常稱(chēng)為自由電子，它們所攜帶的電荷稱(chēng)為自由電荷。

介質(zhì)中的電荷是不會(huì)自由運(yùn)動(dòng)的，這些電荷稱(chēng)為束縛電荷。

在電場(chǎng)作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移，這種現(xiàn)象稱(chēng)為極化。通常，無(wú)極分子的極化稱(chēng)為位移極化，有極分子的極化稱(chēng)為取向極化。

無(wú)極分子有極分子Ea介質(zhì)的極化：在外電場(chǎng)的作用下:

電介質(zhì)中的非極性分子的正負(fù)電荷中心發(fā)生相對(duì)位移極性分子的電矩發(fā)生轉(zhuǎn)向此時(shí)其等效偶極子電矩的矢量和不再為零；

☆在電介質(zhì)內(nèi)部和表面形成了產(chǎn)生附加場(chǎng)的等效電荷分布，稱(chēng)為束縛電荷（或極化電荷）；☆介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)為自由電荷與束縛電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的疊加；

實(shí)際上，介質(zhì)極化現(xiàn)象是逐漸形成的。當(dāng)外加電場(chǎng)Ea

加到介質(zhì)中以后，介質(zhì)中出現(xiàn)的電偶極子產(chǎn)生二次電場(chǎng)Es，這種二次電場(chǎng)Es又影響外加電場(chǎng)，從而導(dǎo)致介質(zhì)極化發(fā)生改變，使二次電場(chǎng)又發(fā)生變化。一直到合成電場(chǎng)產(chǎn)生的極化能夠建立一個(gè)穩(wěn)態(tài)的二次電場(chǎng)，極化狀態(tài)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，其過(guò)程如下圖所示。

介質(zhì)合成場(chǎng)Ea+Es極化二次場(chǎng)Es外加場(chǎng)Ea

介質(zhì)極化以后，介質(zhì)中出現(xiàn)很多排列方向大致相同的電偶極子。為了衡量這種極化程度，我們定義，單位體積中電矩的矢量和稱(chēng)為極化強(qiáng)度，以P表示，即式中pi

為體積V

中第i個(gè)電偶極子的電矩，N

為V

中電偶極子的數(shù)目。這里V

應(yīng)理解為物理無(wú)限小的體積。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，大多數(shù)介質(zhì)在電場(chǎng)的作用下發(fā)生極化時(shí)，其極化強(qiáng)度P與介質(zhì)中的合成電場(chǎng)強(qiáng)度E

成正比，即式中e

稱(chēng)為極化率，它是一個(gè)正實(shí)數(shù)。

這類(lèi)介質(zhì)的極化強(qiáng)度與合成的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向相同。極化強(qiáng)度的某一坐標(biāo)分量?jī)H決定于相應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的坐標(biāo)分量。極化率與電場(chǎng)方向無(wú)關(guān)，這類(lèi)介質(zhì)稱(chēng)為各向同性介質(zhì)。有些介質(zhì)其極化強(qiáng)度的某一坐標(biāo)分量不僅與電場(chǎng)強(qiáng)度相應(yīng)的坐標(biāo)分量有關(guān)，而且與電場(chǎng)強(qiáng)度的其他分量也有關(guān)。這類(lèi)介質(zhì)的極化強(qiáng)度P

與電場(chǎng)強(qiáng)度

E

的關(guān)系可用下列矩陣表示這就表明，介質(zhì)的極化率與電場(chǎng)強(qiáng)度的方向有關(guān)，也就是極化特性與電場(chǎng)強(qiáng)度方向有關(guān)，因此，這類(lèi)介質(zhì)稱(chēng)為各向異性介質(zhì)。

空間各點(diǎn)極化率相同的介質(zhì)稱(chēng)為均勻介質(zhì)，否則，稱(chēng)為非均勻介質(zhì)。極化率與時(shí)間無(wú)關(guān)的介質(zhì)稱(chēng)為靜止媒質(zhì)，否則稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)媒質(zhì)。

介質(zhì)的均勻與非均勻性、線性與非線性、各向同性與各向異性、靜止與運(yùn)動(dòng)分別代表完全不同的概念，不應(yīng)混淆。

因此，若極化率是一個(gè)正實(shí)常數(shù)，則適用于線性均勻且各向同性的介質(zhì)。若前述矩陣的各個(gè)元素都是一個(gè)正實(shí)常數(shù)，則適用于線性均勻各向異性的介質(zhì)。

極化率與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小無(wú)關(guān)的介質(zhì)稱(chēng)為線性介質(zhì)，否則，稱(chēng)為非線性介質(zhì)。各向異性的介質(zhì)能否是均勻的？非均勻介質(zhì)能否是各向同性的？

發(fā)生極化以后，介質(zhì)表面出現(xiàn)面分布的束縛電荷。若介質(zhì)內(nèi)部是不均勻的，則極化產(chǎn)生的電偶極子的分布也是不均勻的，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷的體分布，因而出現(xiàn)體分布的束縛電荷。這種因極化產(chǎn)生的面分布及體分布的束縛電荷又稱(chēng)為極化電荷。可以證明這些極化電荷產(chǎn)生的電位為

式中為極化強(qiáng)度，它與極化電荷的關(guān)系為

由此可見(jiàn)，任一塊介質(zhì)內(nèi)部體分布的束縛電荷與介質(zhì)塊的表面束縛電荷是等值異性的。

右式又可寫(xiě)為積分形式

為了計(jì)算電介質(zhì)內(nèi)所有電偶極子產(chǎn)生的宏觀電場(chǎng),我們用極化強(qiáng)度來(lái)表示電介質(zhì)的極化程度,其表示式為極化強(qiáng)度矢量式中是體積元ΔV內(nèi)偶極矩的矢量和,是一個(gè)矢量函數(shù),它的方向取決于,大小是單位體積內(nèi)的電偶極矩。極化電荷體密度:極化電荷面密度2.極化電荷(束縛電荷)介質(zhì)表面外法線方向；1.高斯定理:電場(chǎng)特性與場(chǎng)源電荷間的依賴關(guān)系的一般規(guī)律1、真空中的高斯通量定理

2.靜電場(chǎng)的散度二、介質(zhì)中的高斯通量定理

2.介質(zhì)中的高斯通量定理

電介質(zhì)中高斯定理的微分形式應(yīng)改寫(xiě)為

A.電位移矢量真空中高斯定理:將式(2-58)兩邊在任一體積V內(nèi)積分,并應(yīng)用高斯公式,則得(2-58)B、電介質(zhì)中的高斯定理

xe稱(chēng)為電介質(zhì)的極化率上式中ε是媒質(zhì)的介電常數(shù),在真空中。C、與的關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）,介電常數(shù)對(duì)真空中的點(diǎn)電荷q對(duì)介質(zhì)中的點(diǎn)電荷q真空中點(diǎn)電荷q的場(chǎng)：介質(zhì)中點(diǎn)電荷q的場(chǎng)：表3.2-1電介質(zhì)的介電常數(shù)和擊穿強(qiáng)度

高斯定理的應(yīng)用----總結(jié)

——已知源電荷分布，求空間場(chǎng)分布應(yīng)用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理利用高斯定理的積分形式（當(dāng)電場(chǎng)分布具有某種空間對(duì)稱(chēng)性）——已知場(chǎng)空間分布，求源電荷分布利用高斯定理的微分形式高斯定理解題步驟：（1）分析電場(chǎng)是否具有對(duì)稱(chēng)性。（2）取合適的高斯面(封閉面)，即取在電場(chǎng)強(qiáng)度相等的曲面上。（4）分別求出，從而求得及。（3）電場(chǎng)強(qiáng)度相等的面不構(gòu)成閉合面時(shí)，另選法線的面，使其成為閉合面。

例1

一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球，帶電量為Q，在導(dǎo)體球外套有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼，殼外是空氣。求導(dǎo)體球外空間任一點(diǎn)的電位移矢量、電場(chǎng)強(qiáng)度、極化矢量以及束縛電荷密度。

解：(r≥a)介質(zhì)內(nèi)(a<r<b)：介質(zhì)外(r>b)：介質(zhì)內(nèi)表面(r=a)的束縛電荷面密度：介質(zhì)外表面(r=b)的束縛電荷面密度：介質(zhì)表面外法線方向；

例2

設(shè)有兩塊很大的平行導(dǎo)體板,板間距離為d,且d比平板的長(zhǎng)和寬均小得很多。兩板接上直流電壓源U,充電后又?jǐn)嚅_(kāi)電源;然后在兩板間插入一塊均勻介質(zhì)板,其相對(duì)介電常數(shù)εr=9。假設(shè)介質(zhì)板的厚度比d略小一點(diǎn),留下一空氣隙,如圖所示。

試求:(1)放入介質(zhì)板前后,平行板間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度;(2)介質(zhì)板表面的束縛面電荷密度,和介質(zhì)板內(nèi)的束縛體電荷密度。圖兩平行導(dǎo)體板間的電場(chǎng)(a)插入介質(zhì)板前的電場(chǎng);(b)插入介質(zhì)板后的電場(chǎng)圖兩平行導(dǎo)體板間的電場(chǎng)(a)插入介質(zhì)板前的電場(chǎng);(b)插入介質(zhì)板后的電場(chǎng)

［解］因?yàn)閮砂彘g距離d遠(yuǎn)小于平板的尺寸,所以可以忽略邊緣效應(yīng),認(rèn)為板間的電場(chǎng)是均勻的,方向與極板垂直。

(1)加入介質(zhì)板前的電場(chǎng)強(qiáng)度為

設(shè)兩極板上自由電荷面密度分別為ρs和-ρs,根據(jù)高斯定理,作一柱形高斯面,如圖3-15(a)中虛線所示,上下底面與極板平行,ΔS是其面積,所以因而得

加入介質(zhì)板后的電場(chǎng):因?yàn)槌潆姾箅娫匆驯磺袛?所以極板上的自由電荷密度保持不變。用上面同樣的方法作高斯面,并用高斯定理求得所以空氣間隙中的電場(chǎng)強(qiáng)度為(與未加介質(zhì)板前相同)介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為(是未加介質(zhì)板前場(chǎng)強(qiáng)的1/9)(2)介質(zhì)中的極化強(qiáng)度小結(jié)積分形式:※

靜電場(chǎng)的基本方程※本構(gòu)關(guān)系:線形、各向同性媒質(zhì)※場(chǎng)量電場(chǎng)強(qiáng)度矢量電位移矢量標(biāo)量