第二章本章優(yōu)化總結(jié)

本章優(yōu)化總結(jié)第二章函數(shù)知識(shí)體系構(gòu)建專(zhuān)題歸納整合專(zhuān)題一求函數(shù)的值域(最值)例1

求函數(shù)y＝|x|＋1的最小值．【分析】

∵x∈R，有|x|≥0.【解】函數(shù)的定義域是R.∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1.∴函數(shù)y＝|x|＋1的最小值是1.2．配方法有關(guān)二次函數(shù)的值域或最值問(wèn)題(函數(shù)值域端點(diǎn)值為函數(shù)最值)可用配方的方法．若函數(shù)定義域?yàn)镽，則自變量取對(duì)稱(chēng)軸時(shí)函數(shù)值最大或最??；若函數(shù)定義域?yàn)槟硞€(gè)區(qū)間[a，b],當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x＝t在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，則求出f(a),f(b)，f(t)中最大者為最大值，最小者為最小值；當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x＝t不在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，則只需比較f(a)與f(b),它們中大者為最大值，小者為最小值．

已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3在區(qū)間[－1,1]上的最小值m為－3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例2【思路總結(jié)】利用圖像可以更清楚地看出何時(shí)取最小值．3．單調(diào)性法先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最值．常用到下面的結(jié)論：①如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上是增加的，在區(qū)間[b，c)上是減少的，則函數(shù)y＝f(x)在x＝b處有最大值f(b)；②如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上是減少的，在區(qū)間[b，c)上是增加的，則函數(shù)y＝f(x)在x＝b處有最小值f(b)．例3【分析】先判斷函數(shù)在(0，＋∞)的單調(diào)性再求最值．【思維總結(jié)】一般地在公共定義域內(nèi)有增函數(shù)＋增函數(shù)仍為增函數(shù)．例4【誤區(qū)警示】換元后要注意新元的范圍，這是易忽略的地方．專(zhuān)題二函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性始終為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，常見(jiàn)的應(yīng)用有：(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式．抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分類(lèi)區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程，從而得到f(x)的解析式．(2)已知帶有字母系數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性參數(shù)，常常采用待定系數(shù)法，利用f(x)±f(－x)＝0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性可求得字母的值．(3)奇函數(shù)?圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)?圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因此在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)用定義證明f(x)在(－1,1)上是遞增的；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.【分析】由于0∈(－1,1)可借助f(0)＝0的條件，用單調(diào)性定義證明單調(diào)性．例5【思維總結(jié)】若x＝0在奇函數(shù)的定義域內(nèi)，則必有f(0)＝0.本題(3)把f(t－1)＋f(t)表達(dá)式求出來(lái)是很麻煩的方法，故直接利用(2)的結(jié)論求解．專(zhuān)題三抽象函數(shù)的解題策略抽象函數(shù)是指沒(méi)有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，它是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，高考中經(jīng)常出現(xiàn)關(guān)于抽象函數(shù)的試題．因?yàn)槌橄螅忸}時(shí)思維常常受阻，思路難以展開(kāi)．抽象函數(shù)問(wèn)題一般是由所給的性質(zhì)，討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖像的對(duì)稱(chēng)性,或是求函數(shù)值、解析式等，主要處理方法是“賦值法”，通常是抓住函數(shù)特性，特別是定義域上恒等式，利用變量代換解題．

已知函數(shù)f(x)的定義域是R，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，f(－2)＝－4，求函數(shù)f(x)在[3,5]上的最大值與最小值．例6【分析】通過(guò)賦值法及有關(guān)概念，要挖掘出本題函數(shù)所隱含的性質(zhì):奇偶性、單調(diào)性.【解】令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝f(x)．∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．設(shè)x1，x2∈R，且x1<x2，則x1－x2<0，于是f(x1－x2)<0，且f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)<f(x2)．故f(x)為R上的增函數(shù)，從而f(x)在[3,5]上的最大值為f(5)，最小值為f(3)．由f(2)＝－f(－2)＝4.f(2)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝2，∴f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝6，f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＋f(3)＝10，即所求的最大值為10，最小值為6.【思維總結(jié)】證明奇函數(shù)，就是要從f(x＋y)＝f(x)＋f(y)恒成立中推出f(－x)＋f(x)＝0的結(jié)論．證明單調(diào)性:利用“x<0時(shí)，f(x)<0”來(lái)構(gòu)造,f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]．如果y＝f(u)，u＝g(x)．則函數(shù)y＝f[g(x)]可看作y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，其單調(diào)性規(guī)律“同增異減”．【分析】函數(shù)f(x)是復(fù)合函數(shù)，利用法則“同增異減”來(lái)求單調(diào)區(qū)間．專(zhuān)題四復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定例7【名師點(diǎn)睛】首先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．專(zhuān)題集訓(xùn)2．(2012·合肥調(diào)研)集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，從A到B的映射f：A→B滿足f(a)＋f(b)＝0，那么這樣的映射f：A→B有(

)A．2個(gè) B．3個(gè)C．5個(gè) D．8個(gè)解析：選B.f(a)f(b)f(a)＋f(b)0001－10－1103．(2012·銅州調(diào)研)函數(shù)f(x)＝x2－4x＋5在區(qū)間[0，m]上的最大值為5，最小值為1，則m的取值范圍是________．解析：f(x)＝(x－2)2＋1.如圖，f(0)＝5.關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)，f(4)＝5.∴m∈[2,4]．答案：[2,4]4.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋m.(1)求m及f(－3)的值；(2)求f(x)的解析式并畫(huà)出簡(jiǎn)圖；(3)寫(xiě)出f(x)的單調(diào)區(qū)間(不用證明)．解：(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴m＝0，