第三講.雙變量

第三講

雙變量的統(tǒng)計(jì)分析單變量的分析和統(tǒng)計(jì)描述，是我們了解和認(rèn)識(shí)社會(huì)現(xiàn)象的基礎(chǔ)。但社會(huì)生活中的現(xiàn)象并不是孤立存在的，現(xiàn)象之間往往存在或多或少的關(guān)系，或者說，社會(huì)現(xiàn)象之間往往是相互聯(lián)系、相互影響、相互依存的?！皩W(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”“學(xué)好數(shù)理化，不如有個(gè)好爸爸”進(jìn)一步了解社會(huì)現(xiàn)象發(fā)生和變化的原因，揭示社會(huì)現(xiàn)象的發(fā)展規(guī)律，探索和發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象之間的關(guān)系，才是大多數(shù)社會(huì)研究的主要目的，而這則需要對(duì)兩個(gè)變量或多個(gè)變量之間的關(guān)系進(jìn)行分析。變量之間的關(guān)系兩個(gè)變量之間的關(guān)系多個(gè)變量之間的關(guān)系在多數(shù)情況下，多個(gè)變量之間的關(guān)系又可以分解為若干個(gè)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，也就是說多個(gè)變量之間的關(guān)系可以通過若干個(gè)兩個(gè)變量間的關(guān)系來描述。知識(shí)點(diǎn)相關(guān)關(guān)系和因果關(guān)系主要的雙變量的測(cè)量方法（1）交互分析—列聯(lián)表分析（2）不同層次變量的相關(guān)測(cè)量法一、相關(guān)關(guān)系（correlation）兩變量間的相關(guān)關(guān)系指的是一個(gè)變量的值與另一個(gè)變量有連帶關(guān)系。也就是，當(dāng)一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)（或取值不同時(shí)），另一個(gè)變量也隨之發(fā)生變化。（P68）如：文化程度收入期望女性的文化程度生育期望1、相關(guān)的性質(zhì)（1）相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)度相關(guān)程度，指的是相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱或大小。相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱或大小可以用統(tǒng)計(jì)法進(jìn)行測(cè)量。變量間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)結(jié)果稱為相關(guān)系數(shù)。相關(guān)關(guān)系的程度介于[0，1]之間，0代表無相關(guān)，1代表全相關(guān)，數(shù)值越大，表示相關(guān)的程度愈強(qiáng)。兩點(diǎn)說明：1.在對(duì)社會(huì)現(xiàn)象和社會(huì)行為的調(diào)查中，一般來說各種相關(guān)系數(shù)的值不可能達(dá)到1〔或一1)。也就是說，在社會(huì)研究中不可能存在兩個(gè)完全相關(guān)的事物或現(xiàn)象2.相關(guān)系數(shù)只是用來表示變量間相關(guān)程度的指標(biāo)，而不是相關(guān)數(shù)值的等單位度量。如不能說相關(guān)系數(shù)0.6是相關(guān)系數(shù)0.3的2倍，只能說相關(guān)系數(shù)0.6的兩個(gè)變量的關(guān)系比相關(guān)系數(shù)0.3的兩個(gè)變量的關(guān)系更強(qiáng)。X和Y分別代表兩個(gè)變量，各有二個(gè)取值（1，2），表中的a、b、c、d分別表示不同情況下個(gè)案的數(shù)目如果a=d=0或b=c=0，則表示X和Y全相關(guān)；如果a×d=b×c，即，則表示X和Y無關(guān)；如果a×d>b×c或a×d<b×c，則表示X和Y有相關(guān)關(guān)系。例1：a=d=0或b=c=0，兩個(gè)變量全相關(guān)例2：a×d=b×c，對(duì)角線相等，則表示無相關(guān)例3：如果a×d>b×c或a×d<b×c，則表示X和Y有相關(guān)關(guān)系。（2）相關(guān)關(guān)系的方向（+、-）正相關(guān)關(guān)系和負(fù)相關(guān)關(guān)系正相關(guān)關(guān)系：一個(gè)變量的取值增加時(shí)，另一個(gè)變量的取值也增加，反之亦然；人們的文化程度越高，他們的收入水平也越高；文化程度較低的人，他們的收入水平也普遍較低。反之，那些收入水平較低的人，他們的文化程度一般來說也較低。

負(fù)相關(guān)關(guān)系：一個(gè)變量的取值增加時(shí)，另一個(gè)變量的取值減少；而一個(gè)變量的值減少時(shí)，另一個(gè)變量的值增加。在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，文化程度越高的被調(diào)查者，在回答問卷時(shí)，花費(fèi)的時(shí)間越少，而文化程度較低的被調(diào)查者，填答問卷時(shí)花費(fèi)的時(shí)間較長。在此，我們可以說文化程度和問卷填答時(shí)間之間存在著負(fù)相關(guān)關(guān)系。

注意：方向的分析只適用于定序以上層次的變量（3）相關(guān)關(guān)系的對(duì)稱性與非對(duì)稱性相關(guān)的兩個(gè)變量，不一定有因果關(guān)系，可能是共同變化。不對(duì)稱關(guān)系：自變量X影響因變量Y，但是因變量Y不會(huì)影響X---因果關(guān)系，如施肥量和小麥產(chǎn)量之間的關(guān)系對(duì)稱關(guān)系：不能確定或區(qū)分兩個(gè)變量的方向。如交往的多少與他們的互愛程度因果關(guān)系大多數(shù)的社會(huì)研究，都涉及因果關(guān)系的概念，社會(huì)研究的最終目的，往往在于希望獲得某些社會(huì)現(xiàn)象間因果關(guān)系的知識(shí)。如“受教育程度與人們的職業(yè)獲得的研究”、“不同職業(yè)的被調(diào)查者收入的差異”---首先認(rèn)為這些變量之間存在因果關(guān)系。研究的目的在于辨明這些研究的因果關(guān)系狀態(tài)（4）相關(guān)的類型相關(guān)關(guān)系是一種數(shù)量關(guān)系上不很嚴(yán)格的相互依存關(guān)系。如果這種關(guān)系近似地表現(xiàn)為一條直線，就稱為直線相關(guān)，又稱線性相關(guān)；如果這個(gè)關(guān)系近似地表現(xiàn)為一條曲線，則稱為曲線相關(guān)，又稱非線性相關(guān)。雖然在自然界和社會(huì)生活中，曲線相關(guān)現(xiàn)象遠(yuǎn)比直線相關(guān)更多，但由于數(shù)學(xué)手段上的局限性，社會(huì)統(tǒng)計(jì)研究中多以闡述線性（直線）相關(guān)為主。

如何來測(cè)量相關(guān)系數(shù)呢？有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：選用統(tǒng)計(jì)值有意義的相關(guān)測(cè)量法，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一組相關(guān)測(cè)量法，具有消減誤差比例的意義，稱為PRE測(cè)量法要注意變量的不同層次，屬于不同測(cè)量層次的變量，就要用不同的相關(guān)測(cè)量法。（5）削減誤差比例可以表示兩個(gè)變量間關(guān)系的強(qiáng)弱消減誤差比例（PRE測(cè)量，Proportionatereductioninerror）：我們?cè)陬A(yù)測(cè)或解釋社會(huì)現(xiàn)象y時(shí)，難免會(huì)有誤差（錯(cuò)誤），假定另一種社會(huì)現(xiàn)象x與y是有關(guān)系的，我們可以根據(jù)x的值來預(yù)測(cè)y的值，理應(yīng)可以減少若干誤差，其值表示的就是x對(duì)y的誤差的消減程度理解：x對(duì)y的可認(rèn)知程度如假定不知道x的值，我們?cè)谡J(rèn)識(shí)y時(shí)的全部誤差是E1。我們知道x的值，可以根據(jù)x的值來認(rèn)識(shí)y的值時(shí)的誤差的總數(shù)(不可認(rèn)知的部分）為E2，那么用x的值來預(yù)測(cè)y的值時(shí)減少的誤差就是E1-E2，這個(gè)值（E1-E2）與y全部誤差的比例，則稱謂消減了的誤差比例

Y右圖紅色表示E1-E2，E1PRE的數(shù)值越大，表示以x值預(yù)測(cè)y值時(shí)，減少的誤差所占的比例越大，說明x與y的關(guān)系越強(qiáng)。PRE值的意義：1、PRE的值在[0，1]2、E2=0，則PRE=1，x與y是全相關(guān)，用x解釋y時(shí)不會(huì)產(chǎn)生誤差3、E1=E2，則PRE=0，x與y是無相關(guān)，用x來預(yù)測(cè)y時(shí)產(chǎn)生的誤差等于不用x來預(yù)測(cè)y時(shí)的誤差4、如PRE=0.8，表示用x預(yù)測(cè)y可以減少80%的誤差，也反映了兩者的相關(guān)程度頗高；如果PRE=0.08，則表示只能減少8%的誤差，即x對(duì)y的影響甚小，需要尋找其他的變量解釋或預(yù)測(cè)y強(qiáng)調(diào)：PRE值的兩個(gè)意義用一個(gè)變量預(yù)測(cè)另一個(gè)變量能消減的誤差比例兩個(gè)變量之間關(guān)系的大小學(xué)習(xí)提示：鑒于大家的基礎(chǔ)，本次課大家把握以下幾點(diǎn)：不需要在公式的推演和具體的計(jì)算上下功夫，這些用軟件就可以操作。必須記牢不同的變量層次對(duì)應(yīng)的相關(guān)測(cè)量法（即相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)量）必須理解各種相關(guān)系數(shù)的意義并能解釋計(jì)算出的結(jié)果二、交互分類表與列聯(lián)表交互分類就是將調(diào)查所得的一組數(shù)據(jù)按照兩個(gè)不同的變量進(jìn)行綜合分類。通常以交互分類表（列聯(lián)表）的形式出現(xiàn)，如表1：交互分析的作用如表3，我們只能得出贊成和反對(duì)的人大致相等的結(jié)論實(shí)際從不同性別來看，男性和女性之間存在很大的差異思考：兩個(gè)表格所顯示信息的差異交互分析的作用較為深入的描述樣本資料的分布狀況和內(nèi)在結(jié)構(gòu)。對(duì)變量之間的關(guān)系進(jìn)行分析和解釋交互分類表的形式要求每個(gè)表的頂端要有表號(hào)和標(biāo)題線條規(guī)范、簡潔，最好不用豎線百分比符號(hào)的處理：一種在表頂端的右角；另一種在表中每一列數(shù)字的上方表的下端用括號(hào)標(biāo)出每一列的頻數(shù)兩個(gè)變量的安排：通常是將自變量、或被看作自變量或用來做解釋的變量放在上面（列），將因變量、或被看作因變量、或被解釋的那個(gè)變量放在表的左側(cè)（行）。變量取值不宜太多。如4個(gè)自變量，5個(gè)因變量就是20個(gè)百分比少數(shù)點(diǎn)的位數(shù)要一致。如67.3和50.0必須要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（多選變量的分析可以沒有）課堂提問1.交互分類表（即列聯(lián)表）的作用是什么？2.相關(guān)的性質(zhì)是什么？（三個(gè)方面）3.為什么說PRE測(cè)量法可以反映兩個(gè)變量之間關(guān)系的強(qiáng)弱？三、相關(guān)測(cè)量法相關(guān)測(cè)量法，是用一個(gè)統(tǒng)計(jì)值來表示變量和變量之間的關(guān)系。這個(gè)統(tǒng)計(jì)值，通常稱為相關(guān)系數(shù)(coefficientofassociation)。相關(guān)測(cè)量法有很多種，在進(jìn)行選擇時(shí)，主要依據(jù)以下法則：兩個(gè)變量的測(cè)量層次；兩個(gè)變量的影響方向(是否對(duì)稱)；盡可能選擇有消減誤差比例意義的相關(guān)測(cè)量法。盡可能用PRE測(cè)量法：社會(huì)學(xué)不但要描述社會(huì)現(xiàn)象，最重要的是要解釋和預(yù)測(cè)社會(huì)現(xiàn)象。研究中之所以要探討兩個(gè)變量之間的關(guān)系，是為了減少解釋或預(yù)測(cè)時(shí)的錯(cuò)誤。消減誤差比例，就是用一個(gè)變量x預(yù)測(cè)另一個(gè)變量y時(shí)消減的誤差的量化測(cè)量。因此，在測(cè)量兩個(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，應(yīng)盡可能選擇有消減誤差比例意義的測(cè)量方法。另外，在測(cè)量兩個(gè)變量關(guān)系時(shí)，最主要的法則是遵循變量的測(cè)量層次，即嚴(yán)格依據(jù)變量的層次選擇合適的相關(guān)測(cè)量法。次要的準(zhǔn)則，是注意兩個(gè)變量之間的對(duì)稱和非對(duì)稱關(guān)系。對(duì)于這一點(diǎn)，最好要遵守，但不用過分強(qiáng)求。變量的層次與相關(guān)測(cè)量法社會(huì)學(xué)研究中最經(jīng)常遇到的是定類、定序和定距三類變量，這三類變量在分析兩個(gè)變量的關(guān)系時(shí)，會(huì)產(chǎn)生以下六種情況；(1)定類變量一定類變量；(2)定序變量一定序變量；(3)定距變量一定距變量；(4)定類變量一定序變量；(5)定類變量一定距變量；(6)定序變量一定距變量。下面分別介紹這幾種不同測(cè)量層次變量的相關(guān)測(cè)量法。相關(guān)測(cè)量法是什么？（一）兩個(gè)定類變量：Lambda，tau-y（都是PRE測(cè)量法）1、Lambda基本邏輯：如果兩個(gè)定類變量相關(guān)，以一個(gè)變量的值來預(yù)測(cè)另一個(gè)變量的值時(shí)，倘若用眾值來預(yù)測(cè)，可以減少多少誤差。消減的誤差在全部誤差中所占的比例越大，就表示兩個(gè)變量的相關(guān)越強(qiáng)公式：（1）、不對(duì)稱形式：My=Y變項(xiàng)的眾數(shù)次數(shù)my=X變項(xiàng)的每個(gè)值（類別）之下Y變項(xiàng)的眾數(shù)的次數(shù)n=全部個(gè)案數(shù)n-My=不知道x值的情況下預(yù)測(cè)Y值產(chǎn)生的誤差分子E1-E2=（n-My）-（n-∑my）=∑my-My例1：分析性別與理想志愿之間的關(guān)系（2）對(duì)稱形式：不確定兩個(gè)變量的影響方向My=Y變項(xiàng)的眾數(shù)次數(shù)Mx=X變項(xiàng)的眾數(shù)次數(shù)mx=Y變項(xiàng)的每個(gè)值（類別）之下X變項(xiàng)的眾數(shù)次數(shù)my=X變項(xiàng)的每個(gè)值（類別）之下Y變項(xiàng)的眾數(shù)次數(shù)n=全部個(gè)案數(shù)例：青年的教育期望與父母的教育期望不足：λ相關(guān)測(cè)量法，是以眾數(shù)作為測(cè)量的準(zhǔn)則，不理會(huì)眾數(shù)以外的頻數(shù)分布，因此，如果眾數(shù)全部集中在交互分類表中的同一列或同一行中，則λ系數(shù)便會(huì)等于0，如表11—4所示的數(shù)據(jù)。這一結(jié)果表示性別與就業(yè)取向是沒有關(guān)系的，但從交互分類表中可以看出，性別和就業(yè)取向或多或少還是有關(guān)系的。之所以出現(xiàn)相關(guān)系數(shù)為零這樣的結(jié)果，主要是因?yàn)楸碇械谋姅?shù)都在同一行。為了彌補(bǔ)λ相關(guān)測(cè)量法的這類不足之處．有些研究者就采用古德曼和古魯斯卡的相關(guān)系數(shù)測(cè)量兩個(gè)定類變量的相關(guān)程度。特例：如下表，72.4%的制造業(yè)工人和64.3%的服務(wù)業(yè)人員注重物質(zhì)報(bào)酬，職業(yè)類型與價(jià)值取向是略有影響的，但是2、tau-y不對(duì)稱測(cè)量法系數(shù)值介于0-1之間計(jì)算系數(shù)時(shí)包括了所有的邊緣次數(shù)和條件次數(shù)如果是不對(duì)稱關(guān)系最好選用tau-y計(jì)算計(jì)算過程：先求出E1和E2，計(jì)算消減誤差的比例n=全部個(gè)案數(shù)目f=某條件次數(shù)Fy=Y變項(xiàng)的某個(gè)邊緣次數(shù)Fx=X變項(xiàng)的某個(gè)邊緣次數(shù)前例：（二）兩個(gè)定序變量：Gamma、dy對(duì)稱關(guān)系：Gamma不對(duì)稱關(guān)系：薩默斯dy系數(shù)值[-1，+1]系數(shù)值既表示相關(guān)的程度，也表示相關(guān)的方向，還具有消減誤差比例的意義基本邏輯：根據(jù)任何兩個(gè)個(gè)案在某變項(xiàng)上的等級(jí)來預(yù)測(cè)他們?cè)诹硪粋€(gè)變量上的等級(jí)時(shí)，可以減少的誤差是多少，它是以每對(duì)個(gè)案取值的等級(jí)作為預(yù)測(cè)準(zhǔn)則的。級(jí)序相關(guān)法是成對(duì)考慮個(gè)案之間的關(guān)系，那么先來看一下有關(guān)“對(duì)”的概念。假定研究青年的學(xué)歷水平和工資等級(jí)的關(guān)系，將學(xué)歷水平分為低、中、高三個(gè)等級(jí)，取值分別為1、2、3，工資等級(jí)也分為低、中、高三個(gè)等級(jí)，取值分別為1、2、3，那么我們就可以知道每個(gè)被調(diào)查者的基本情況(如表11—5所示)。3．X同分對(duì)(samegradedpaironX)x同分對(duì)指的是兩個(gè)個(gè)案在x變量上的等級(jí)是相同的，區(qū)分不出高低，通常用Tx表示。4．Y同分對(duì)(samegradedpaironY)y同分對(duì)是指兩個(gè)個(gè)案在y變量上的等級(jí)是相同的，通常用Ty表示。5．x、Y同分對(duì)(samegradedpaironXandY)x、Y同分對(duì)是指兩個(gè)個(gè)案在x和y變量上的等級(jí)都是相同的，通常用Txy表示。1、對(duì)稱關(guān)系：GammaGamma的計(jì)算公式：Ns=f11(f22+f23+f32+f33)+f12(f23+f33)+f21(f32+f33)+f22*f33NS=12（30+5+16+12）+10（5+12）+8（16+12）+30*12=1510Nd=f13(f21+f22+f31+f32)+f12(f21+f31)+f23(f31+f32)+f22*f31Nd=3（30+8+16+4）+10（8+4）+5（4+16）+30×4=514工人的文化程度和收入水平成正相關(guān)關(guān)系相關(guān)程度是0.492用工人的文化程度來解釋工人的收入水平時(shí)可以減少49.2%的誤差2、非對(duì)稱關(guān)系：薩默斯dydy屬于非對(duì)稱相關(guān)測(cè)量Ty是指因變量是同序?qū)Φ膶?duì)數(shù)。（分母表示的是Y所有的誤差）同一橫行次數(shù)的乘積例Ns=23（55+24+28+27）+11（27+24）+20（28+24）+55×24=6003Nd=4（11+55+8+27）+20（11+8）+28（8+27）+55×8=2204Ty=23（20+4）+20×4+11（55+29）+55×28+8（27+24）+27×24=4141注意：原則上對(duì)稱分析用Gamma，不對(duì)稱分析用dy，但在實(shí)際的運(yùn)用中，一些不對(duì)稱分析中（區(qū)分了自變量和因變量）也用Gamma，雖然不太嚴(yán)謹(jǐn)，但可以接受。測(cè)量時(shí)首先注意的是變量的層次，對(duì)稱性是次要的考慮3、其他測(cè)量法之一：tau系數(shù)計(jì)算同序?qū)?shù)與異序?qū)?shù)之差在全部可能對(duì)數(shù)中所占的比例適用于分析對(duì)稱關(guān)系tau-atau-btau-c（1）tau-a（2）tau-b

（3）tau-c

3、其他測(cè)量法之二：斯皮爾曼的rho系數(shù)特點(diǎn)：不僅區(qū)別了兩者的高低差異，還知道差異的具體數(shù)值大小D表示每個(gè)個(gè)案在兩列級(jí)別順序上的相互抵消。D2可以避免正負(fù)抵消rho系數(shù)的意義對(duì)稱相關(guān)測(cè)量法其統(tǒng)計(jì)值是一1到十1，可表示相關(guān)的程度和方向。其平方值具有消減誤差比例的意義。由數(shù)據(jù)可知，，n＝10，那么：可見，文化水平和收入水平的關(guān)系是非常強(qiáng)的。這個(gè)統(tǒng)計(jì)值不區(qū)分哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量。其平方值表示以一個(gè)變量的等級(jí)來預(yù)測(cè)另一個(gè)變量的等級(jí)時(shí)，可以減少84.64％的誤差。（三）兩個(gè)定距變量：Pearson相關(guān)系數(shù)r測(cè)量兩個(gè)定距變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，經(jīng)常用到皮爾遜(Pearson)的積矩相關(guān)系數(shù)(通常用r或R表示)，取值范圍在一1到十1之間。積矩相關(guān)系數(shù)主要分析對(duì)稱性關(guān)系，公式如下：Pearson相關(guān)系數(shù)的意義對(duì)稱相關(guān)測(cè)量法：不分自變量和因變量其統(tǒng)計(jì)值是一1到十1，可表示相關(guān)的程度和方向。其平方值具有消減誤差比例的意義。如何解釋這一結(jié)果？（四）、簡單線性回歸：兩個(gè)定距變量（非對(duì)稱關(guān)系）兩個(gè)定距變量不僅可以計(jì)算相關(guān)系數(shù)，確定相關(guān)的程度和方向，而且還可以進(jìn)一步確定兩個(gè)變量的線性關(guān)系。線性回歸分析法是用自變量的數(shù)值預(yù)測(cè)或估計(jì)因變量的數(shù)值，積矩相關(guān)系數(shù)r可以用來測(cè)量兩個(gè)變量的相關(guān)程度和方向。b系數(shù)：分析不對(duì)稱關(guān)系的變量根據(jù)公式計(jì)算得出b=0.90,a=1.22回歸系數(shù)b的意義b的大小反映了x對(duì)y的影響力，b代表每增加一個(gè)單位的x值時(shí)，y值的變化量。b值有正負(fù)之分，b＞0表示x對(duì)y有正向影響，即X增大時(shí)IY也增大；b＜0則表示x對(duì)y有負(fù)向影響，即x增大時(shí)，Y卻減小。b表示自變量對(duì)因變量的影響和方向，分析的是非對(duì)稱關(guān)系。需要注意的是，在