第3章 連續(xù)信號(hào)的頻譜-傅里葉變換

第三章

連續(xù)信號(hào)的頻譜——傅里葉變換

本章的主要內(nèi)容：1、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析2、典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)3、傅里葉變換4、典型非周期信號(hào)的傅里葉變換5、沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換6、傅里葉變換的基本性質(zhì)7、卷積特性（卷積定理）8、周期信號(hào)的傅里葉變換9、抽樣信號(hào)的傅里葉變換10、抽樣定理

第一節(jié)

引言

傅里葉分析發(fā)展史從本章開(kāi)始由時(shí)域分析轉(zhuǎn)入頻域分析。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的。傅里葉分析的研究與應(yīng)用經(jīng)歷了一百余年。1822年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉（J.Fourier,1768-1830）在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去。伴隨電機(jī)制造、交流電的產(chǎn)生與傳輸?shù)葘?shí)際問(wèn)題的需要，三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及傅里葉分析等數(shù)學(xué)工具已得到廣泛的應(yīng)用。直到19世紀(jì)末，制造出電容器。20世紀(jì)初，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景。從此，在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用之中，采用頻率域（頻域）的分析方法比經(jīng)典的時(shí)間域（時(shí)域）方法有許多突出的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)今，傅里葉分析方法已成為信號(hào)分析與系統(tǒng)設(shè)計(jì)不可缺少的重要工具。20世紀(jì)70年代，出現(xiàn)的各種二值正交函數(shù)（沃爾什函數(shù)），它對(duì)通信、數(shù)字信號(hào)處理等技術(shù)領(lǐng)域的研究提供了多種途徑和手段。使人們認(rèn)識(shí)到傅里葉分析不是信息科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中唯一的變換域方法。但傅里葉分析始終有著極其廣泛的應(yīng)用，它是研究其他變換方法的基礎(chǔ)。而且出現(xiàn)了”快速傅里葉變換（FFT）”它給傅里葉分析這一數(shù)學(xué)工具增添了新的生命力。傅里葉分析方法不僅應(yīng)用于電力工程、通信和控制領(lǐng)域之中，而且在力學(xué)、光學(xué)、量子物理和各種線性系統(tǒng)分析等許多有關(guān)數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。本章討論的路線：傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)——傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念；通過(guò)典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對(duì)于周期信號(hào)而言，進(jìn)行頻譜分析可用傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換；傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。最后對(duì)研究周期信號(hào)與抽樣信號(hào)的傅里葉變換，并介紹抽樣定理，抽樣定理奠定了數(shù)字通信的理論基礎(chǔ)。

第二節(jié)

周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析

一、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

1、一種三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

為了積分方便，通常取積分區(qū)間為：三角函數(shù)集是一組完備函數(shù)集。2、另一種三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

3、傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的充分條件通常所遇到的周期性信號(hào)都能滿足此條件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考慮這一條件。4、基波、諧波

通常把頻率為：稱(chēng)為基波。頻率為：稱(chēng)為二次諧波。頻率為：稱(chēng)為三次諧波。頻率為：稱(chēng)為三次諧波?？梢?jiàn)，直流分量的大小以及基波與各次諧波的幅度、相位取決于周期信號(hào)的波形。5、幅度譜、相位譜

周期信號(hào)的主要特點(diǎn)：二、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

1、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的形式

2.指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)中各個(gè)量之間的關(guān)系

3.指數(shù)形式表示的信號(hào)頻譜--復(fù)數(shù)頻譜Fn一般是復(fù)函數(shù)，所以稱(chēng)這種頻譜為復(fù)數(shù)頻譜。幅度譜與相位譜合并正、負(fù)頻率相應(yīng)項(xiàng)成對(duì)合并，才是實(shí)際頻譜函數(shù)。4.周期信號(hào)的功率特性—時(shí)域和頻域能量守恒定理周期信號(hào)的平均功率P：在一個(gè)周期內(nèi)求平方再求積分。帕塞瓦爾定理1.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性三、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系要將信號(hào)f(t)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，如果f(t)是實(shí)函數(shù)，且它波形滿足某種對(duì)稱(chēng)性，則在其傅里葉級(jí)數(shù)中有些項(xiàng)為0，留下的各項(xiàng)系數(shù)的表示式也比較簡(jiǎn)單。波形對(duì)稱(chēng)性有兩類(lèi)：（1）對(duì)整周期對(duì)稱(chēng)。即偶函數(shù)和奇函數(shù)。（2）對(duì)半周期對(duì)稱(chēng)。即奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)。2.傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)求解(1)偶函數(shù)信號(hào)例如：周期三角波信號(hào)是一偶函數(shù)其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：例如：周期鋸齒波信號(hào)是一奇函數(shù)（2）奇函數(shù)信號(hào)（3）奇諧函數(shù)信號(hào)（半波對(duì)稱(chēng)函數(shù)）奇諧函數(shù)信號(hào)：若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化，即滿足：00a=例子例如：奇諧函數(shù)四、傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)代替無(wú)限項(xiàng)級(jí)數(shù)。顯然，有限項(xiàng)數(shù)是一種近似的方法，所選項(xiàng)數(shù)愈多，有限項(xiàng)級(jí)數(shù)愈逼近原函數(shù)，其方均誤差愈小。例子以下為對(duì)稱(chēng)方波，注意不同的項(xiàng)數(shù)，有限級(jí)數(shù)對(duì)原函數(shù)的逼近情況，并計(jì)算由此引起的方均誤差。只取基波分量一項(xiàng)解：其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：從上面例子看出：（1）n愈大，則愈逼近原信號(hào)f(t)。(2)當(dāng)信號(hào)f(t)是脈沖信號(hào)時(shí)，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿；低頻分量影響脈沖的頂部。f(t)波形變化愈劇烈，所含的高頻分量愈豐富；f(t)變化愈緩慢，所含的低頻分量愈豐富。(3)當(dāng)信號(hào)中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，輸出波形一般要發(fā)生失真。取基波分量和三次諧波分量取基波、三次諧波分量和五次諧波分量當(dāng)選取傅里葉有限級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)N很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續(xù)點(diǎn)開(kāi)始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。此現(xiàn)象稱(chēng)為吉布斯現(xiàn)象。五、吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象舉例3.1：解：舉例3.2：作業(yè)P1603-1，3-2，3-3，3-8

第三節(jié)

典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)典型周期信號(hào)的頻譜分析可利用：傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換介紹的典型周期信號(hào)有如下：1、周期矩形脈沖信號(hào)2、周期鋸齒脈沖信號(hào)3、周期三角脈沖信號(hào)4、周期半波余弦信號(hào)5、周期全波余弦信號(hào)1、周期矩形脈沖信號(hào)(1)周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期矩形脈沖：脈寬為，脈沖幅度為E，周期為T(mén)1。解：（2）周期矩形脈沖信號(hào)的幅度、相位譜幅度譜相位譜復(fù)數(shù)頻譜：實(shí)數(shù)頻譜：幅度譜與相位譜合并周期對(duì)稱(chēng)方波信號(hào)是周期矩形信號(hào)的一種特殊情況，對(duì)稱(chēng)方波信號(hào)有兩個(gè)特點(diǎn)：a.是正負(fù)交替的信號(hào)，其直流分量a0等于零。b.它的脈寬恰等于周期的一半，即t=T1/2（3）舉例：周期對(duì)稱(chēng)方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)解：幅度譜相位譜(2)周期鋸齒脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號(hào)，是奇函數(shù)。解：它是奇函數(shù)可求出傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)bn,留給同學(xué)們做。其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：此信號(hào)的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。(3)周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期三角脈沖信號(hào)，是偶函數(shù)。解：它是偶函數(shù)可求出傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)a0,an,留給同學(xué)們做。此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：(4)周期半波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期半波余弦信號(hào)，是偶函數(shù)。解：它是偶函數(shù)可求出傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)a0,an,留給同學(xué)們做。此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：(5)周期全波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期全波余弦信號(hào)，是偶函數(shù)。解：令余弦信號(hào)為此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：則，全波余弦信號(hào)為：作業(yè)P1603-4，3-6，3-7，3-10，3-11(a)，3-12，

第四節(jié)

傅里葉變換

一、傅里葉變換（非周期信號(hào)）1.傅里葉變換引入

由于周期信號(hào)的周期T1，譜線的間隔w10，則離散譜變成連續(xù)譜。由于周期信號(hào)的周期T1，譜線的長(zhǎng)度F(nw1)趨于零，則其頻譜失去應(yīng)有的意義。但從物理意義上講，既然是一個(gè)信號(hào)，那么必然有能量，無(wú)論如何分解，必須存在頻譜分布。2.頻譜密度的概念

對(duì)非周期信號(hào)不能采用周期信號(hào)的頻譜定義方式。而必須引入一個(gè)新的量。頻譜密度函數(shù)：在T1，譜線的間隔w10,不趨于零，而趨近于有限值，且變成一個(gè)連續(xù)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為頻譜函數(shù)。3.傅里葉變換定義由：得：4.非周期信號(hào)的幅度頻譜與相位頻譜頻譜函數(shù)F(w)：一般是復(fù)函數(shù)。：是F(w)的模，它代表信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大小。：是F(w)的相位函數(shù)，它代表信號(hào)中各頻率分量的相位關(guān)系。人們習(xí)慣上也把：：為非周期信號(hào)的幅度頻譜；：為非周期信號(hào)的相位頻譜。5.傅里葉變換形式的三角形式6.傅里葉變換的特點(diǎn)非周期信號(hào)和周期信號(hào)一樣，可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。由于非周期信號(hào)的周期趨于無(wú)限大，基波趨于無(wú)限小，于是它包含了從零到無(wú)限高的所有頻率分量。由于周期趨于無(wú)限大，因此，對(duì)任一能量有限（功率無(wú)限）的信號(hào)（如單脈沖信號(hào)），在各頻率點(diǎn)的分量幅度趨于零。非周期信號(hào)的頻譜用頻譜密度來(lái)表示?？闯觯褐芷谛盘?hào)其頻譜為離散譜；（傅里葉級(jí)數(shù)）非周期信號(hào)其頻譜為連續(xù)譜；（傅里葉變換）周期信號(hào)與非周期信號(hào)，傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換，離散譜與連續(xù)譜，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化并統(tǒng)一起來(lái)。7.傅里葉變換的存在充分條件傅里葉變換存在的充分條件是在無(wú)限內(nèi)滿足絕對(duì)可積條件：借助奇異函數(shù)（如沖激函數(shù)）的概念，可使許多不滿足絕對(duì)可積條件的信號(hào)，如周期信號(hào)、階躍信號(hào)、符號(hào)函數(shù)等存在傅里葉變換。

第五節(jié)

典型非周期信號(hào)的傅里葉變換

典型非周期信號(hào)的傅里葉變換

本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號(hào)的頻譜。1、單邊指數(shù)信號(hào)2、雙邊指數(shù)信號(hào)3、奇雙邊指數(shù)信號(hào)4、矩形脈沖信號(hào)5、鐘形脈沖信號(hào)6、符號(hào)函數(shù)7、升余弦脈沖信號(hào)一、單邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換

其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中解：?jiǎn)芜呏笖?shù)信號(hào)的頻譜如下：時(shí)域波形頻域頻譜二、雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換

其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中解：雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜如下：頻域頻譜時(shí)域波形相位等0三、奇雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換

頻域頻譜時(shí)域波形四、矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換

時(shí)域有限的矩形脈沖信號(hào)，在頻域上是無(wú)限分布。通常，認(rèn)為信號(hào)占有頻率范圍（頻帶）為五、鐘形脈沖信號(hào)的傅里葉變換（高斯脈沖）

其傅里葉變換為：因?yàn)殓娦蚊}沖信號(hào)是一正實(shí)函數(shù)，所以其相位頻為零。六、符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換

其傅里葉變換為：

這種信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但它卻存在傅里葉變換。采用符號(hào)函數(shù)與雙邊指數(shù)衰減函數(shù)相乘，求出奇雙邊指數(shù)的頻譜，再取極限，從而求得符號(hào)函數(shù)的頻譜。七、升余弦脈沖信號(hào)的傅里葉變換

升余弦脈沖信號(hào)：其傅里葉變換為：

它的頻譜是由三項(xiàng)構(gòu)成的，他們都是矩形脈沖的頻譜，只是有兩項(xiàng)沿頻率軸左、右平移了代入傅里葉變換定義公式中解：化簡(jiǎn)得：作業(yè)P1643-15，3-16，3-17，3-18，3-19，3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，

第六節(jié)

沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換

（1）沖激函數(shù)的傅里葉正變換

f(t)=d(t)一、沖激函數(shù)的傅里葉變換

單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，即：在整個(gè)頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻分布的。在時(shí)域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。稱(chēng)此頻譜為“均勻譜”或“白色譜”。其傅里葉變換為：（2）沖激函數(shù)的傅里葉反變換

其傅里葉變換為：直流信號(hào)f(t)=E求f(t)沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)。反過(guò)來(lái)，直流信號(hào)的頻譜是沖激函數(shù)。求解直流信號(hào)的傅里葉變換解：采用寬度為的矩形脈沖的極限而求得。當(dāng)時(shí)，矩形脈沖成為直流信號(hào)f(t)=E,其傅氏變換為：若令比較上兩式可得到：當(dāng)E=1時(shí)，二、沖激偶信號(hào)的傅里葉變換

沖激偶函數(shù)：其傅里葉變換為：推導(dǎo)：解：

兩邊求導(dǎo)：得：推廣：：

三、階躍信號(hào)的傅里葉變換

階躍函數(shù)：階躍函數(shù)u(t)不滿足絕對(duì)可積條件，但它仍存在傅里葉變換?？梢?jiàn)：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)u(t)的頻譜在w=0點(diǎn)存在一個(gè)沖激函數(shù)，即：u(t)含有直流分量。此外：由于u(t)不是純直流信號(hào)，它在t=0點(diǎn)有跳變，因此在頻譜中還存在其他頻率分量。第七節(jié)

傅里葉變換的基本性質(zhì)

傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換建立了時(shí)間函數(shù)f(t)與頻譜函數(shù)F(w)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其中，一個(gè)函數(shù)確定之后，另一函數(shù)隨之被唯一地確定。1、對(duì)稱(chēng)性2、線性（疊加性）3、奇偶虛實(shí)性4、反折5、共軛性能6、尺度變換特性7、時(shí)移特性8、頻移特性9、微分特性10、積分特性傅里葉變換的性質(zhì)TT傅里葉變換的性質(zhì)TTT其中，a1,a2為常數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)為復(fù)函數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)當(dāng)信號(hào)在時(shí)域中壓縮（a>0)，等效于在頻域中擴(kuò)展。當(dāng)信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展（a<0)，等效于在頻域中壓縮。當(dāng)信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反折（a=-1)，說(shuō)明信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反折等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反折。即：信號(hào)的波形壓縮a倍，信號(hào)隨時(shí)間變化加快a倍，則它所包含的頻率分量增加a倍。即頻譜展寬a倍。根據(jù)能量守恒定律，各頻率分量的大小必然減小a倍。在通信系統(tǒng)中，通信速度與占用頻帶寬度是一對(duì)矛盾。傅里葉變換的性質(zhì)信號(hào)在時(shí)域中延時(shí)t-t0（沿時(shí)間軸右移），等效于在頻域中相位產(chǎn)生偏差（-wt0),其幅度譜不變。例3-2求下列所示三脈沖信號(hào)的頻譜。解：令f0(t)表示矩形單脈沖信號(hào)由時(shí)移特性可得：其頻譜如下：例3-3求雙Sa信號(hào)的頻譜。解：令f0(t)表示為Sa信號(hào)波形由時(shí)移特性得：已知F0(w)表示為Sa信號(hào)頻譜可得幅度譜：雖然單Sa信號(hào)的頻譜最為集中，但它含有直流分量，使得它在實(shí)際傳輸過(guò)程中帶來(lái)不便，而雙Sa信號(hào)的頻譜能消去直流分量。傅里葉變換的性質(zhì)頻譜搬移技術(shù)在通信中應(yīng)用廣泛。如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過(guò)程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻域上右移w0,等效時(shí)域中信號(hào)調(diào)制。即乘以因子例3-4已知矩形調(diào)幅信號(hào)如圖所示其中G(t)為矩形脈沖，脈幅為E，脈寬為，試求其頻譜。解：G(t)矩形脈沖的頻譜為：根據(jù)頻移特性：f(t)的頻譜F(w)為其頻譜圖為：例3-5已知余弦信號(hào)利用頻移定理求其頻譜。解：已知直流信號(hào)的頻譜是位于w=0點(diǎn)的沖激函數(shù)，即利用頻移定理，可求得其頻譜位于0,頻譜圖如下：余弦、正弦信號(hào)即為單頻信號(hào)。傅里葉變換的性質(zhì)例子已知單位階躍信號(hào)u(t)的傅里葉變換利用時(shí)域微分定理，求(t)及’(t)。解：例3-6已知三角脈沖信號(hào)利用微分特性求其頻譜F(w).解：f(t)的波形如右求導(dǎo)再求導(dǎo)求其頻譜最后求出f(t)的頻譜F(w).將f(t)取一階與二階導(dǎo)數(shù)：求出二階導(dǎo)數(shù)的頻譜F2(w).求得f(t)的頻譜為：其頻譜圖例3-7求下列截平斜變信號(hào)的頻譜解：利用積分特性求y(t)的頻譜Y(w).已知：矩形脈沖信號(hào)f(t)，其積分就是y(t)求積分通過(guò)積分特性求其頻譜最后求出y(t)的頻譜Y(w).已知矩形脈沖信號(hào)f(t)的頻譜根據(jù)積分特性求出y(t)的頻譜Y(w).時(shí)移時(shí)移作業(yè)P1683-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，3-30，第八節(jié)

卷積特性（卷積定理）

卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，由于它在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理中的重要地位－－應(yīng)用最廣。所以單獨(dú)以一節(jié)來(lái)講。共分二個(gè)定理：時(shí)域卷積定理頻域卷積定理卷積特性１、時(shí)域卷積定理

給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)已知：則：時(shí)域卷積

頻域相乘。即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積。證明：

根據(jù)卷積定義則：２、頻域卷積定理

給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)已知：則：頻域卷積

時(shí)域相乘。即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的卷積等效于各個(gè)時(shí)間函數(shù)的乘積（乘以系數(shù)）。例3-８已知余弦脈沖信號(hào)解：把余弦脈沖信號(hào)看成是矩形脈沖信號(hào)Ｇ(t)與周期余弦信號(hào)相乘。利用卷積定理求其的頻譜。乘以等于時(shí)域：頻域：卷積等于已知：化簡(jiǎn)得：例3-９題目同例３－６已知三角脈沖信號(hào)利用卷積定理求其頻譜F(w).解：兩個(gè)同樣矩形脈沖的卷積即為三角脈沖。如下：卷積等于時(shí)域卷積等于頻域相乘。乘以等于即求出三角脈沖的頻譜F(w).補(bǔ)充例子3.１：請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出頻譜圖用ＭＡＴＬＡＢ畫(huà)出頻譜圖：補(bǔ)充3.２：已知f(t)=g2(t)cos(500t)，求其頻譜函數(shù)cos(100t)cos(1000t)

解：頻譜圖補(bǔ)充例子3.３：頻譜圖：補(bǔ)充例３.４：補(bǔ)充例3.５：頻譜圖：作業(yè)P1693-31，3-32，3-33，3-34，第九節(jié)

周期信號(hào)的傅里葉變換

一、周期信號(hào)的傅里葉變換

周期信號(hào)-------傅里葉級(jí)數(shù)非周期信號(hào)-------傅里葉變換周期無(wú)窮大求和變求積分

周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但在允許沖激函數(shù)存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對(duì)可積條件就成為不必要的限制。也就有周期信號(hào)的傅里葉變換。目的：把周期信號(hào)與非周期信號(hào)的分析方法統(tǒng)一起來(lái)，使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。1.正弦、余弦周期信號(hào)的傅里葉變換

頻譜例子其頻譜圖為：有限長(zhǎng)的余弦信號(hào)

有限長(zhǎng)余弦信號(hào)f0(t)的寬度增大時(shí)，頻譜F0()越來(lái)越集中到1的附近，當(dāng)，有限長(zhǎng)余弦信號(hào)就變成無(wú)窮長(zhǎng)余弦信號(hào)，此時(shí)頻譜在1處成為無(wú)窮大，而在其他頻率處均為零。即此時(shí)頻譜變?yōu)槲挥?的兩個(gè)沖激函數(shù)。2.一般周期信號(hào)的傅里葉變換

令周期信號(hào)f(t)的周期為T(mén)1，角頻率為1=2f1其中：2.單脈沖信號(hào)的傅里葉變換

單脈沖信號(hào)：從周期脈沖信號(hào)f(t)中截取一個(gè)周期，得到單脈沖信號(hào)。單脈沖的傅里葉變換F0():為非周期信號(hào)直接用傅里葉變換定義公式。3.利用單脈沖信號(hào)求周期信號(hào)的傅里葉變換

周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)Fn等于單脈沖信號(hào)的傅里葉變換F0()在n1頻率點(diǎn)的值乘以1/T1?；?qū)懗芍芷谛盘?hào)與單脈沖信號(hào)的關(guān)系：可利用單脈沖的傅里葉變換方便求出周期性信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。例3-10求周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換。解：畫(huà)波形單位沖激函數(shù)的間隔為T(mén)1，用符號(hào)T(t)表示周期單位沖激序列：FS可見(jiàn)，在周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含位于=0,1,21,n1,的頻率分量，且分量大小相等，均等于1/T1。FTT(t)是周期函數(shù)，求其傅里葉級(jí)數(shù)：求T(t)的傅里葉變換?？梢?jiàn)，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中只包含位于=0,1,21,n1,頻率處的沖激函數(shù)，其強(qiáng)度大小相等，均等于1。例3-11求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。解：先求矩形單脈沖信號(hào)f0(t)的傅里葉變換F0(w)……再求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)Fn……求得周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)：最后求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換F(w)?？闯觯褐芷谛盘?hào)頻譜是離散的；非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)。第十節(jié)

抽樣信號(hào)的傅里葉變換

一、抽樣、抽樣信號(hào)的概念1.抽樣

抽樣：利用抽樣脈沖序列p(t)從邊續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列的離散樣值的過(guò)程，稱(chēng)之。2.抽樣信號(hào)

抽樣信號(hào)：經(jīng)抽取后的一系列的離散信號(hào)稱(chēng)之。請(qǐng)同學(xué)們注意區(qū)別：抽樣信號(hào)與抽樣函數(shù)Sa(t)=sint/t是完全不同的兩個(gè)含義。抽樣也稱(chēng)為“采樣”或“取樣”。二、實(shí)現(xiàn)抽樣的原理及框圖1.原理

抽樣原理：連續(xù)信號(hào)經(jīng)抽樣成抽樣信號(hào)，再經(jīng)量化、編碼變成數(shù)字信號(hào)。將這種數(shù)字信號(hào)經(jīng)傳輸，進(jìn)行上述逆過(guò)程，就可恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)。2.框圖

抽樣量化編碼抽樣過(guò)程方框圖連續(xù)信號(hào)f(t)抽樣信號(hào)數(shù)字信號(hào)fs(t)抽樣脈沖p(t)三、抽樣后，提出的問(wèn)題抽樣后，有兩個(gè)問(wèn)題要解決：1.抽樣信號(hào)fs(t)的傅里葉變換？它和未經(jīng)抽樣的原連續(xù)信號(hào)f(t)的傅里葉變換有什么聯(lián)系？（本節(jié)討論的內(nèi)容）

２.連續(xù)信號(hào)被抽樣后，它是否保留了原信號(hào)f(t)的全部信息？即在什么條件下，可從抽樣信號(hào)fs(t)中無(wú)失真地恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)f(t)？（下節(jié)討論）

四、抽樣方式抽樣有兩種方式：1.時(shí)域抽樣

２.頻域抽樣五、時(shí)域抽樣設(shè)連續(xù)信號(hào)抽樣脈沖信號(hào)抽樣后信號(hào)fs(t)若采用均勻抽樣，抽樣周期為T(mén)s，抽樣頻率為抽樣過(guò)程：通過(guò)抽樣脈沖序列p(t)與連續(xù)信號(hào)f(t)相乘。即：p(t)是周期信號(hào)，其傅里葉變換其中是p(t)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)根據(jù)頻域卷積定理：化簡(jiǎn)結(jié)論：信號(hào)時(shí)域抽樣：（1）其頻譜Fs(w)是連續(xù)信號(hào)頻譜F(w)是原信號(hào)頻譜的周期延拓；（2）其周期為抽樣頻率ws，（3）其幅度被Pn加權(quán)。由于Pn僅是n的函數(shù)，所以其形狀不會(huì)發(fā)生變化。六、抽樣脈沖序列的形狀可采用不同的抽樣脈沖進(jìn)行抽樣，討論兩種典型的抽樣脈沖序列：1.矩形脈沖抽樣(自然抽樣）

２.沖激抽樣（理想抽樣）1.矩形脈沖抽樣(自然抽樣）抽樣脈沖p(t)是矩形，它的脈沖幅度為E，脈寬為，抽樣角頻率為s(抽樣間隔為T(mén)s)，頻譜……頻譜頻譜相乘頻譜卷積求得頻譜包絡(luò)幅度：得到矩形抽樣信號(hào)的頻譜：說(shuō)明：矩形抽樣在脈沖頂部不是平的，而是隨f(t)變化的，故稱(chēng)之“自然抽樣”。2.沖激抽樣(理想抽樣）若抽樣脈沖p(t)是沖激序列頻譜頻譜…………得到?jīng)_激抽樣信號(hào)的頻譜：頻譜相乘頻譜卷積求得頻譜包絡(luò)幅度：……不管矩形脈沖抽樣或沖激抽樣，其抽樣后的信號(hào)其頻譜是離散周期的信號(hào)，其頻譜的周期為：結(jié)論：對(duì)于矩形脈沖抽樣，其頻譜的幅度隨Sa函數(shù)變化。對(duì)于沖激抽樣，其頻譜的幅度為常數(shù)。沖激抽樣是矩形脈沖抽樣的一種極限情況。實(shí)際抽樣為矩形脈沖抽樣。例子

鐘形連續(xù)信號(hào)：用間隔矩形脈沖p(t)進(jìn)行抽樣則抽樣信號(hào)其抽樣信號(hào)的頻譜為其頻譜為：抽樣信號(hào)的傅里葉變換

七、頻率抽樣

設(shè)連續(xù)信號(hào)若已知連續(xù)信號(hào)頻譜則抽樣后的頻譜:其中理想抽樣信號(hào)為:即在頻域上抽樣:對(duì)