第3章 電阻電路的一般分析

第3章電阻電路的一般分析重點1.熟練掌握電路方程的列寫方法2.支路電流法3.回路電流法4.節(jié)點電壓法線性電路的一般分析方法(1)普遍性：對任何線性電路都適用。

復雜電路的一般分析法就是根據(jù)KCL、KVL及元件電壓和電流關系列方程、解方程。根據(jù)列方程時所選變量的不同可分為支路電流法、回路電流法和節(jié)點電壓法。（2）元件的電壓、電流關系特性。（1）電路的連接關系—KCL，KVL定律。

方法的基礎(2)系統(tǒng)性：計算方法有規(guī)律可循。網(wǎng)絡圖論BDACDCBA哥尼斯堡七橋難題圖論是拓撲學的一個分支，是富有趣味和應用極為廣泛的一門學科。3.1電路的圖電路的圖R4R1R3R2R5uS+_i拋開元件性質(zhì)一個元件作為一條支路元件的串聯(lián)及并聯(lián)組合作為一條支路65432178543216有向圖(1)圖的定義(Graph)G={支路，節(jié)點}電路的圖是用以表示電路幾何結構的圖形，圖中的支路和節(jié)點與電路的支路和節(jié)點一一對應。a.圖中的節(jié)點和支路各自是一個整體。b.移去圖中的支路，與它所聯(lián)接的結點依然存在，因此允許有孤立節(jié)點存在。c.如把節(jié)點移去，則應把與它聯(lián)接的全部支路同時移去。①②１從圖G的一個節(jié)點出發(fā)沿著一些支路連續(xù)移動到達另一節(jié)點所經(jīng)過的支路構成路徑。(2)路徑（3）連通圖圖G的任意兩節(jié)點間至少有一條路徑時稱為連通圖，非連通圖至少存在兩個分離部分。(3)子圖若圖G1中所有支路和節(jié)點都是圖G中的支路和節(jié)點，則稱G1是G的子圖。樹(Tree)樹T是連通圖的一個子圖滿足下列條件：(1)連通(2)包含所有節(jié)點(3)不含閉合路徑樹支：構成樹的支路連支：屬于G而不屬于T的支路2）樹支的數(shù)目是一定的：連支數(shù)：不是樹樹特點1）對應一個圖有很多的樹

回路

(Loop)回路L是連通圖的一個子圖，構成一個閉合路徑，并滿足：(1)連通，(2)每個節(jié)點關聯(lián)2條支路12345678253124578不是回路回路2）基本回路的數(shù)目是一定的，為連支數(shù)特點1）對應一個圖有很多的回路3）對于平面電路，網(wǎng)孔數(shù)為基本回路數(shù)基本回路(單連支回路)12345651231236支路數(shù)＝樹支數(shù)＋連支數(shù)＝節(jié)點數(shù)－1＋基本回路數(shù)結論節(jié)點、支路和基本回路關系基本回路具有獨占的一條連枝例87654321圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對應的基本回路。8765864382433.2KCL和KVL方程的獨立性1.KCL的獨立方程數(shù)654321432114324123＋＋＋＝0結論n個結點的電路,獨立的KCL方程為n-1個。2.KVL的獨立方程數(shù)KVL的獨立方程數(shù)=基本回路數(shù)=b－(n－1)結論n個結點、b條支路的電路,獨立的KCL和KVL方程數(shù)為：3.3支路法對于有n個節(jié)點、b條支路的電路，當選擇支路電壓和支路電流作為電路變量列寫電路方程時，共有2b個未知變量。只要列出2b個獨立的電路方程，便可以求解這2b個變量。1.2b法獨立方程的列寫（1）根據(jù)KCL可以列寫出(n-1)個獨立的節(jié)點電流方程（2）根據(jù)KVL可列寫出b-(n-1)個獨立的回路電壓方程以支路電壓和（或）支路電流為電路變量列寫電路方程并進行求解的方法稱為支路法。（3）根據(jù)元件的性能關系，又可列寫出b個支路電壓、支路電流關系方程（支路特性方程）R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234例132KCL方程:取網(wǎng)孔為基本回路，沿順時針方向繞行列寫KVL方程:元件特性方程：回路1回路2回路3123聯(lián)立求解，即可解得2b個變量對于有n個節(jié)點、b條支路的電路，要求解支路電流,未知量共有b個。只要列出b個獨立的電路方程，便可以求解這b個變量。以各支路電流為未知量列寫電路方程并求解的方法。2.支路電流法獨立方程的列寫（1）從電路的n個結點中任意選擇n-1個結點列寫KCL方程（2）選擇基本回路列寫b-(n-1)個KVL方程（3）利用元件特性方程替換支路電壓R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234例132有6個支路電流，需列寫6個方程。KCL方程:取網(wǎng)孔為基本回路，沿順時針方向繞行列KVL寫方程:結合元件特性消去支路電壓得：回路1回路2回路3123聯(lián)立求解，即可解得b個變量支路電流法的一般步驟：(1)標定各支路電流（電壓）的參考方向；(2)選定(n–1)個節(jié)點，列寫其KCL方程；(3)選定b–(n–1)個獨立回路，列寫其KVL方程；(將元件特性方程代入)(4)求解上述方程，得到b個支路電流；(5)進一步計算支路電壓和進行其它分析。支路電流法的特點：支路法列寫的是KCL和KVL方程，所以方程列寫方便、直觀，但方程數(shù)較多，宜于在支路數(shù)不多的情況下使用。例.節(jié)點a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1個KCL方程：求各支路電流及電壓源各自發(fā)出的功率。解(2)b–(n–1)=2個KVL方程：11I2+7I3=

6U=US7I1–11I2=70-6=641270V6V7ba+–+–I1I3I2711例.節(jié)點a：–I1–I2+I3=0列寫支路電流方程.(電路中含有受控源）解11I2+7I3=5U7I1–11I2=70-5U增補方程：U=7I3a1270V7b+–I1I3I2711+5U_+U_有受控源的電路，方程列寫分兩步：(1)先將受控源看作獨立源列方程；(2)將控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中間變量。對理想電流源支路的處理如果電路中的某個支路是單一電流源或單一受控電流源,需作一些相應的處理才能用支路電流法。（1）假設電流源兩端有一電壓U，將電流源視為電壓為U的電壓源列寫方程；（2）補充電流源的數(shù)值與支路電流的關系方程。處理方法1處理方法2列寫KVL方程時避開電流源支路取回路。例.節(jié)點a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1個KCL方程：列寫支路電流方程.(電路中含有理想電流源）解1.(2)b–(n–1)=2個KVL方程：11I2+7I3=

U7I1–11I2=70-Ua1270V6A7b+–I1I3I2711增補方程：I2=6A+U_1解2.70V6A7b+–I1I3I2711a由于I2已知，故只列寫兩個方程節(jié)點a：–I1+I3=6避開電流源支路取回路：7I1＋7I3=703.4網(wǎng)孔分析法和回路分析法基本思想為減少未知量(方程)的個數(shù)，假想每個網(wǎng)孔中有一個沿著網(wǎng)孔的邊界流動的電流。各支路電流可用網(wǎng)孔電流的線性組合表示，來求得電路的解。1.網(wǎng)孔分析法以平面電路中的網(wǎng)孔作為基本回路，以網(wǎng)孔電流為未知量列寫電路方程并分析電路的方法稱為網(wǎng)孔法。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2網(wǎng)孔數(shù)為2。選圖示的兩個網(wǎng)孔電流，支路電流可表示為：網(wǎng)孔電流方程的列寫（1）對每一個網(wǎng)孔列寫出KVL方程（2）再對每一條支路列寫出支路特性方程（3）將其中的支路電流ik用相應的網(wǎng)孔電流的線性組合表示（4）將用網(wǎng)孔電流表示的支路電壓uk代入到每一網(wǎng)孔的KVL方程中，得到一組以網(wǎng)孔電流為變量的網(wǎng)孔電流方程

網(wǎng)孔電流方程數(shù)目必然與待求變量數(shù)目相同而且是獨立的，求解這組方程可得到各網(wǎng)孔電流，進而利用已求得的網(wǎng)孔電流可求出各支路電流、電壓以及功率。網(wǎng)孔電流方程的數(shù)目網(wǎng)孔1：R1il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0網(wǎng)孔2：R2(il2-il1)+R3il2

-uS2=0整理得：(R1+R2)

il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)

il2=uS2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2例R11=R1+R2網(wǎng)孔1的自電阻,等于網(wǎng)孔1中所有電阻之和。觀察可以看出如下規(guī)律：R22=R2+R3網(wǎng)孔2的自電阻,等于網(wǎng)孔2中所有電阻之和。自電阻總為正即：R11il1+R12

il2=ul1R21il1+R22il2=ul2R12=R21=–R2

網(wǎng)孔1、網(wǎng)孔2之間的互電阻。當兩個網(wǎng)孔電流流過相關支路方向相同時，互電阻取正號；否則為負號。ul1=uS1-uS2

網(wǎng)孔1中所有電壓源電壓的代數(shù)和。ul2=uS2

網(wǎng)孔2中所有電壓源電壓的代數(shù)和。當電壓源電壓方向與該回路方向一致時，取負號；反之取正號。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2R11il1+R12

il2=ul1R21il1+R22il2=ul2(R1+R2)

il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)

il2=uS2網(wǎng)孔電流方程的通式有了方程通式，只需設出網(wǎng)孔電流，觀察電路，寫出自阻、互阻及各網(wǎng)孔電壓源電壓升代數(shù)和并代入通式，即可迅速得到按網(wǎng)孔電流順序排列的相互獨立的方程組?；舅枷霝闇p少未知量(方程)的個數(shù)，假想每個回路中有一個回路電流。各支路電流可用回路電流的線性組合表示。來求得電路的解。2.回路分析法以基本回路中的回路電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2獨立回路為2。選圖示的兩個獨立回路，支路電流可表示為：回路電流在獨立回路中是閉合的，對每個相關節(jié)點均流進一次，流出一次，所以KCL自動滿足。因此回路電流法是對獨立回路列寫KVL方程，方程數(shù)為：列寫的方程與支路電流法相比，方程數(shù)減少n-1個?；芈?：R1il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0回路2：R2(il2-il1)+R3il2

-uS2=0整理得：(R1+R2)

il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)

il2=uS2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2（1）方程的列寫R11il1+R12il2=uSl1R12il1+R22il2=uSl2由此得標準形式的方程：對于具有l(wèi)=b-(n-1)

個回路的電路，有:其中:Rjk:互電阻+:流過互阻的兩個回路電流方向相同-:流過互阻的兩個回路電流方向相反0:無關R11il1+R12il1+…+R1lill=uSl1…R21il1+R22il1+…+R2lill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+…+Rllill=uSllRkk:自電阻(為正)例1.用回路電流法求解電流i.解1獨立回路有三個，選網(wǎng)孔為獨立回路：i1i3i2（1）不含受控源的線性網(wǎng)絡

Rjk=Rkj

,系數(shù)矩陣為對稱陣。（2）當網(wǎng)孔電流均取順（或逆時針方向時，Rjk均為負。表明RSR5R4R3R1R2US+_iRSR5R4R3R1R2US+_i解2只讓一個回路電流經(jīng)過R5支路i1i3i2特點（1）減少計算量（2）互有電阻的識別難度加大，易遺漏互有電阻回路法的一般步驟：(1)選定l=b-(n-1)個獨立回路，并確定其繞行方向；(2)對l個獨立回路，以回路電流為未知量，列寫其KVL方程；(3)求解上述方程，得到l個回路電流；(5)其它分析。(4)求各支路電流(用回路電流表示)；（2）理想電流源支路的處理引入電流源電壓，增加回路電流和電流源電流的關系方程。例RSR4R3R1R2US+_iSU_+i1i3i2電流源看作電壓源列方程增補方程：選取獨立回路，使理想電流源支路僅僅屬于一個回路,

該回路電流即IS。RSR4R3R1R2US+_iSi1i3i2例為已知電流，實際減少了一方程與電阻并聯(lián)的電流源，可做電源等效變換IRISoo轉換+_RISIRoo（3）受控電源支路的處理對含有受控電源支路的電路，可先把受控源看作獨立電源按上述方法列方程，再將控制量用回路電流表示。例RSR4R3R1R2US+_5U_+_+Ui1i3i2受控電壓源看作獨立電壓源列方程增補方程：例列回路電流方程解1選網(wǎng)孔為獨立回路1432_+_+U2U3增補方程：R1R4R5gU1R3R2U1_++_U1iS解2回路2選大回路增補方程：R1R4R5gU1R3R2U1_++_U1iS1432例求電路中電壓U，電流I和電壓源產(chǎn)生的功率。＋4V3A2－+–IU312A2Ai1i4i2i3解3.5節(jié)點電壓法(nodevoltagemethod)選節(jié)點電壓為未知量，則KVL自動滿足，就無需列寫KVL方程。各支路電流、電壓可視為節(jié)點電壓的線性組合，求出節(jié)點電壓后，便可方便地得到各支路電壓、電流。基本思想：以節(jié)點電壓為未知量列寫電路方程分析電路的方法。適用于節(jié)點較少的電路。1.節(jié)點電壓法列寫的方程節(jié)點電壓法列寫的是節(jié)點上的KCL方程，獨立方程數(shù)為：與支路電流法相比，方程數(shù)減少b-(n-1)個。任意選擇參考點：其它節(jié)點與參考點的電壓差即是節(jié)點電壓(位)，方向為從獨立節(jié)點指向參考節(jié)點。(uA-uB)+uB-uA=0KVL自動滿足說明uA-uBuAuB2.方程的列寫iS1uSiS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_(1)選定參考節(jié)點，標明其余n-1個獨立節(jié)點的電壓132iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_132(2)列KCL方程：iR出=iS入i1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0把支路電流用結點電壓表示：-i3+i5=－iS2整理，得：令Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式簡記為：G11un1+G12un2

＋G13un3

=iSn1G21un1+G22un2

＋G23un3

=iSn2G31un1+G32un2

＋G33un3

=iSn3標準形式的節(jié)點電壓方程等效電流源其中G11=G1+G2節(jié)點1的自電導，等于接在節(jié)點1上所有支路的電導之和。G22=G2+G3+G4節(jié)點2的自電導，等于接在節(jié)點2上所有支路的電導之和。G12=G21=-G2

節(jié)點1與節(jié)點2之間的互電導，等于接在節(jié)點1與節(jié)點2之間的所有支路的電導之和，為負值。自電導總為正，互電導總為負。G33=G3+G5節(jié)點3的自電導，等于接在節(jié)點3上所有支路的電導之和。G23=G32=-G3

節(jié)點2與節(jié)點3之間的互電導，等于接在節(jié)點1與節(jié)點2之間的所有支路的電導之和，為負值。iSn2=-iS2＋uS/R5

流入節(jié)點2的電流源電流的代數(shù)和。iSn1=iS1+iS2

流入節(jié)點1的電流源電流的代數(shù)和。流入節(jié)點取正號，流出取負號。由節(jié)點電壓方程求得各節(jié)點電壓后即可求得各支路電壓，各支路電流可用節(jié)點電壓表示：一般情況G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1其中Gii—自電導，等于接在節(jié)點i上所有支路的電導之和(包括電壓源與電阻串聯(lián)支路)?？倿檎?。當電路不含受控源時，系數(shù)矩陣為對稱陣。iSni

—流入節(jié)點i的所有電流源電流的代數(shù)和(包括由電壓源與電阻串聯(lián)支路等效的電流源)。Gij

=Gji—互電導，等于接在節(jié)點i與節(jié)點j之間的所支路的電導之和，總為負。節(jié)點法的一般步驟：(1)選定參考結點，標定n-1個獨立節(jié)點；(2)對n-1個獨立節(jié)點，以節(jié)點電壓為未知量，列寫其KCL方程；(3)求解上述方程，得到n-1個節(jié)點電壓；(5)其它分析。(4)求各支路電流(用節(jié)點電壓表示)；試列寫電路的節(jié)點電壓方程。(G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=USGS-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3

=0－GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3

=－USGS例3.無伴電壓源支路的處理（1）以電壓源電流為變量，增補節(jié)點電壓與電壓源間的關系UsG3G1G4G5G2+_GS312UsG3G1G4G5G2+_312I(G1+G2)U1-G1U2

=I-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3

=0-G4U2+(G4+G5)U3

=－IU1-U3=US看成電流源增補方程（2）選擇合適的參考點U1=US-G1U1+(G1+G3+G4)U2-

G3U3

=0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0UsG3G1G4G5G2+_312UsG3G1G4G5G2+_3124.受控電源支路的處理對含有受控電