空氣動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)-4 粘性流體動(dòng)力學(xué)1

空氣動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)沈陽航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)院飛機(jī)設(shè)計(jì)教研室2014年3月第2章（補(bǔ)）粘性流體動(dòng)力學(xué)簡介粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程工程中遇到的問題大多是粘性流體運(yùn)動(dòng)問題，實(shí)際的粘性流體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象遠(yuǎn)比理想流復(fù)雜，從而控制粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程及其求解也相對(duì)復(fù)雜本章（補(bǔ)）的任務(wù)是：介紹粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本概念、流動(dòng)現(xiàn)象和流動(dòng)特征建立控制粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程得到解決粘性流體運(yùn)動(dòng)問題的基本思路、方法和途徑（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響

流體的粘滯性是指，流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下抵抗剪切變形能力。流體的剪切變形是指流體質(zhì)點(diǎn)之間出現(xiàn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。因此流體的粘滯性是指抵抗流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)能力。在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體不能承受剪力。但是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體可以承受剪力，而且對(duì)于不同種流體所承受剪力大小是不同的。自然界中流體都具有粘性，因此粘性對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的影響是普遍存在的。對(duì)于具體的流動(dòng)問題，粘性所起的作用并不一定相同。特別是象水和空氣這樣的小粘性流體，對(duì)于某些問題忽略粘性的作用可得到滿意的結(jié)果。因此為了簡化起見，提出了理想流體的概念和理論。然而對(duì)于實(shí)際的流動(dòng)，粘性對(duì)流動(dòng)的影響是如何體現(xiàn)的？粘性流動(dòng)的特點(diǎn)是什么？（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響我們首先回顧一下在緒論中曾經(jīng)提到過的幾個(gè)與粘性流體運(yùn)動(dòng)有關(guān)的基本現(xiàn)象和問題：為什么麻面的高爾夫球比光球打得更遠(yuǎn)？（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響為什么自行車運(yùn)動(dòng)員要戴一個(gè)圓頭尖尾的帽子？能否反過來戴成尖頭圓尾，或做成尖頭尖尾？為什么汽車的阻力主要取決于汽車后部而不是前部？為什么汽車和飛機(jī)作高速運(yùn)行時(shí)，我們在功率（燃料消耗）上必須付出與速度增加不成比例的超乎想象的高代價(jià)？為什么空氣阻力是速度的最終限制？（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響

以下用若干流動(dòng)事例說明粘性流動(dòng)與無粘流動(dòng)的差別。（1）繞過平板的均直流動(dòng)理想流流過無厚度平板時(shí)的流動(dòng)特點(diǎn)：

不允許流體穿透平板（不穿透條件）允許流體質(zhì)點(diǎn)滑過平板平板對(duì)流動(dòng)不產(chǎn)生任何影響，平板對(duì)流動(dòng)無阻滯作用，平板阻力為零粘性流體流過無厚度平板時(shí)的流動(dòng)特點(diǎn)：不允許流體穿透平板（滿足不穿透條件）不允許流體在平板上滑移（滿足不滑移條件，由于粘性，緊貼板面的流體質(zhì)點(diǎn)粘附在平板上與板面無相對(duì)運(yùn)動(dòng)）（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響與物面的粘附條件（無滑移條件）是粘性流體運(yùn)動(dòng)有別與理想流體運(yùn)動(dòng)的主要標(biāo)志。隨著離開板面的距離加大，與物面的強(qiáng)粘性作用逐步向外層傳遞，直至流層間不存在速度差別。平板附近速度梯度很大，流層之間的粘性切應(yīng)力不能忽略，這個(gè)區(qū)稱為邊界層區(qū)。平板對(duì)流動(dòng)起阻滯作用，平板阻力不為零。（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響（2）圓柱繞流理想流體繞流圓柱時(shí)的流動(dòng)特點(diǎn)：在流體質(zhì)點(diǎn)繞過圓柱的過程中，只有動(dòng)能、壓能的相互轉(zhuǎn)換，而無機(jī)械能的損失。在圓柱面上壓強(qiáng)分布對(duì)稱，無阻力存在。（達(dá)朗貝爾疑題）（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響粘性流體繞圓柱時(shí)的繞流特點(diǎn)：邊界層分離機(jī)械能損失:物面近區(qū)由于粘性將產(chǎn)生邊界層，由A點(diǎn)到B點(diǎn)的流程中將消耗部分動(dòng)能用于克服摩擦阻力做功喪失部分機(jī)械能的邊界層流動(dòng)無法滿足由B點(diǎn)到D點(diǎn)壓力升高的要求，在BD流程內(nèi)流經(jīng)一段距離就會(huì)將全部動(dòng)能消耗殆盡（一部分轉(zhuǎn)化為壓能，一部分克服摩擦阻力做功），于是在壁面某點(diǎn)速度變?yōu)榱悖⊿點(diǎn)）。流體將從這里離開物面進(jìn)入主流場中，這種現(xiàn)象稱為邊界層分離，S點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。分離點(diǎn)下游流體發(fā)生倒流，形成了旋渦區(qū)。（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響旋渦區(qū)的出現(xiàn)，使得圓柱壁面壓強(qiáng)分布發(fā)生了變化，前后不對(duì)稱（如前駐點(diǎn)的壓強(qiáng)要明顯大于后駐點(diǎn)的壓強(qiáng)），因此出現(xiàn)了壓差阻力。對(duì)繞圓球的粘性流動(dòng)不僅存在摩擦阻力，還存在壓差阻力，壓差阻力是由于邊界層分離后壓強(qiáng)不平衡造成的，但本質(zhì)上仍然是由于粘性造成的。（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響粘性對(duì)流動(dòng)的影響小結(jié)：（1）粘性摩擦切應(yīng)力及其與物面的粘附條件（無滑移條件）是粘性流體運(yùn)動(dòng)有別與理想流體運(yùn)動(dòng)的主要標(biāo)志。（2）粘性是產(chǎn)生摩擦阻力的根本原因，粘性邊界層在一定條件（逆壓梯度）下產(chǎn)生分離是形成壓差阻力的根本原因。（3）對(duì)于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦的擴(kuò)散等問題時(shí)，粘性起主導(dǎo)作用不能忽略。（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響粘性流體抵抗剪切變形的能力，可通過流層間的剪切力表現(xiàn)出來（這個(gè)剪切力稱為內(nèi)摩擦力）。粘性流體在流動(dòng)過程中必然要克服內(nèi)摩擦力做功，因此流體粘滯性是流體發(fā)生機(jī)械能損失的根源。牛頓的內(nèi)摩擦定律（Newton，1686年）

F=μAU/h

FhU（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響流層之間的內(nèi)摩擦力與接觸面上的壓力無關(guān)。設(shè)表示單位面積上的內(nèi)摩擦力（粘性切應(yīng)力），則μ-----流體的動(dòng)力粘性系數(shù)（單位：Ns/m2=Pa.s）=μ/---流體的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)（單位：m2/s

）水=

1.13910-6(m2/s)空氣=1.46110-5(m2/s)（一）、流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響一般流層速度分布不是直線，如圖所示。

y

u0

du/dy----表示單位高度流層的速度增量，稱為

速度梯度

速度梯度du/dy物理上也表示流體質(zhì)點(diǎn)剪切變形速度或角變形率。如圖所示：u+du

dy

du

dudt

（一）、流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響

流體切應(yīng)力與速度梯度的一般關(guān)系為：1.=0+μdu/dy，binghan流體，泥漿、血漿、牙膏等2.

=μ（du/dy）0.5，偽塑性流體，尼龍、橡膠、油漆等3.

=μdu/dy

，牛頓流體，水、空氣、汽油、酒精等4.

=μ(du/dy)2，脹塑性流體，生面團(tuán)、濃淀粉糊等5.＝0，μ＝0，理想流體，無粘流體。1234（一）、流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響雷諾（OsborneReynolds，1842~1921，英國工程師兼物理學(xué)家，維多利亞大學(xué)（曼徹斯特）教授）最早詳細(xì)研究了管道中粘性流體的流動(dòng)狀態(tài)及其影響因素。（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流層流湍流加大流速或減小粘性時(shí)H＝C甘油和水的混合液，可變混合比例流態(tài)從層流到湍流的過渡稱為轉(zhuǎn)捩。實(shí)驗(yàn)表明流態(tài)的轉(zhuǎn)捩不是單單取決于某一個(gè)流動(dòng)參數(shù)V,μ等，而是取決于無量綱的相似組合參數(shù)雷諾數(shù)，記為Re：在非管道流動(dòng)中也存在層流與湍流這兩種不同的流態(tài)，從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩也與雷諾數(shù)大小有關(guān)（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流雷諾數(shù)之所以對(duì)粘性流體運(yùn)動(dòng)的流態(tài)及其他相關(guān)特性起著重要作用，在于雷諾數(shù)具有很明顯的物理意義。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，隨著雷諾數(shù)增加而呈現(xiàn)的不同流態(tài)(層流或湍流)對(duì)于流動(dòng)的摩擦阻力、流動(dòng)損失、速度分布等影響很大。雷諾數(shù)的物理意義：雷諾數(shù)代表作用在流體微團(tuán)上的慣性力與粘性力之比。（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流雷諾數(shù)正比于慣性力與粘性力之比的說明：

慣性力正比于質(zhì)量乘加速度：

～ρV2L2粘性力正比于剪應(yīng)力乘面積：

～μVL因此慣性力與粘性力之比正比于：～（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流大型民航客機(jī)的飛行雷諾數(shù)可達(dá)上百萬至幾千萬（106～107）了解雷諾數(shù)的物理意義可幫助我們判斷一個(gè)流動(dòng)中何種因素占主導(dǎo)作用，但要注意不要將雷諾數(shù)的絕對(duì)數(shù)值等同于慣性力與粘性力的絕對(duì)比值（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流日本設(shè)計(jì)的機(jī)械蜻蜓俄羅斯設(shè)計(jì)的機(jī)械蜻蜓美國設(shè)計(jì)的機(jī)械蒼蠅

微型飛行器的飛行雷諾數(shù)只有幾百到幾萬的量級(jí)（102～104）（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流空氣中的懸浮塵埃其運(yùn)動(dòng)雷諾數(shù)則更低甚至可以小于1需要再次強(qiáng)調(diào)：雷諾數(shù)代表慣性力與粘性力之比只是宏觀量級(jí)上的比例關(guān)系，根據(jù)雷諾數(shù)的大小可以判斷流動(dòng)中何種因素占主導(dǎo)作用，但絕不能認(rèn)為Re=1表示流動(dòng)的慣性力與粘性力剛好相等。（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流

管中層流與湍流的對(duì)比拋物線分布

對(duì)數(shù)分布層流Re<2100湍流Re>4000（二）、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流>10000(2300,10000)(100,2300)（二）、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流SmokePatternBasicAerodynamics管道中層流與湍流的區(qū)別層流

湍流1.Re2.外觀3.質(zhì)量與動(dòng)量交換4.速度分布5.損失6.剪應(yīng)力較大流動(dòng)紊亂、不規(guī)則，外表粗糙在縱向和橫向存在較大的微團(tuán)宏觀質(zhì)量、動(dòng)量交換平均速度是較飽滿的對(duì)數(shù)分布，壁面附近速度和梯度相對(duì)較大隨Re增加轉(zhuǎn)捩時(shí)損失增加牛頓應(yīng)力及雷諾應(yīng)力較小色線規(guī)則，流動(dòng)分層，外表光滑流層間只限于分子間的較小的擴(kuò)散較尖瘦的拋物線分布，壁面附近速度和梯度都相對(duì)較小隨Re增加而降低牛頓應(yīng)力雷諾數(shù)對(duì)流動(dòng)影響的進(jìn)一步舉例雷諾數(shù)不同使得射流流態(tài)及其混合狀況根本不同：雷諾數(shù)不同使得機(jī)翼的邊界層流態(tài)、速度分布、壓力分布、升力特性和阻力特性根本不同斯托克斯阻力定律：高雷諾數(shù)時(shí)物體受到的流動(dòng)阻力正比于:ρV2L2

低雷諾數(shù)時(shí)物體受到的流動(dòng)阻力正比于:μVL

甘油甘油與水的混合液水Re=0.051020030001、理想流體和粘性流體作用面受力差別靜止或理想流體內(nèi)部任意面上只有法向力，無切向力粘性流體內(nèi)部任意面上力既有正向力，也有切向力（三）粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)在粘性流體運(yùn)動(dòng)中，過任意一點(diǎn)任意方向單位面積上的表面力不一定垂直于作用面，可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解為三個(gè)分量，分別為法應(yīng)力分量和切應(yīng)力分量2、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)（三）粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)從而三個(gè)面的合應(yīng)力可表示為

x面

:y面:z面:由此可見，用兩個(gè)下標(biāo)可把各個(gè)應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個(gè)下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。如果在同一點(diǎn)上給定三個(gè)相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過該點(diǎn)任意方向作用面上的應(yīng)力可通過坐標(biāo)變換唯一確定。（三）粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)上述九個(gè)應(yīng)力分量可寫為：這九個(gè)應(yīng)力分量并不全部獨(dú)力，其中的六個(gè)切向應(yīng)力是兩兩相等的，所以獨(dú)立的一共是三個(gè)法向的，三個(gè)切向的。這個(gè)結(jié)論可利用對(duì)微元六面體的動(dòng)量矩定理得到證明，思路是：一對(duì)剪應(yīng)力對(duì)微元產(chǎn)生的力矩將與徹體力力矩和微元質(zhì)量的動(dòng)量矩平衡，而后二者都正比于微元的體積乘以微距離，是一個(gè)高階小量可略去，從而得到這一對(duì)剪應(yīng)力相等。注：有的教材將法向應(yīng)力記為:（三）粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)關(guān)于應(yīng)力的幾個(gè)要點(diǎn)：（1）在理想流體及靜止流體中不存在切應(yīng)力，三個(gè)法向應(yīng)力相等（各向同性），等于該點(diǎn)壓強(qiáng)的負(fù)值。即：（2）在粘性運(yùn)動(dòng)流體中，任意一點(diǎn)的任何三個(gè)相互垂直面上的法向應(yīng)力之和為一個(gè)不變量，并定義此不變量的平均值為該點(diǎn)的平均壓強(qiáng)的負(fù)值。即：（3）在粘性運(yùn)動(dòng)流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。（三）粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)Stokes（1845年）根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定理的啟發(fā)（粘性流體作直線層狀流動(dòng)時(shí)，層間切應(yīng)力與速度梯度成正比），在一些合理的假設(shè)下將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理----應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）：這個(gè)關(guān)系將六個(gè)應(yīng)力與微團(tuán)的變形率直接聯(lián)系（線性關(guān)系）。滿足上述關(guān)系的流體稱為牛頓流體。（四）廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）對(duì)于不可壓縮流體，上述應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系可化簡為：（四）廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）本構(gòu)關(guān)系滿足：1、流體運(yùn)動(dòng)的基本方程

利用牛頓第二定律推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動(dòng)微分方程。像推導(dǎo)歐拉方程一樣，在流場中取一個(gè)微元六面體進(jìn)行分析，以x方向?yàn)槔⑦\(yùn)動(dòng)方程?，F(xiàn)在由于是粘性流體，作用在中心P點(diǎn)處不僅有法向應(yīng)力，而且還有切向應(yīng)力，控制面上的應(yīng)力可用中心點(diǎn)處應(yīng)力泰勒召開表示。作用在ABCD和A’B’C’D’兩個(gè)側(cè)面的法向力差是：作用在ABB’A’和CDC’D’兩個(gè)側(cè)面的切向力差是：（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程作用在ADA’D’和BCB’C’兩個(gè)側(cè)面的切向力差是：仍然設(shè)單位質(zhì)量徹體力分量為：fx,fy,fz,按照牛頓第二定律：是歐拉法表示的加速度或速度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程或：同理：將反映粘性應(yīng)力與應(yīng)變率關(guān)系的廣義牛頓內(nèi)摩擦定理代入上式右端，即得到粘性流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)-S方程：（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程其中是拉普拉斯算子：可見，對(duì)于理想流右端的粘性項(xiàng)為零，方程化為歐拉方程。（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程當(dāng)不可壓時(shí)，根據(jù)連續(xù)方程：則不可壓粘流的N-S方程寫為：（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程用三個(gè)方向的單位向量i、j、k分別乘上三式并相加，可得不可壓粘流N-S方程比較簡捷的向量形式：其中為速度分量

為哈密頓算子

為拉普拉斯算子（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程

與之前一樣，這個(gè)方程中速度的隨體導(dǎo)數(shù)可以加以分解，把渦量分離出來，寫成格羅米柯形式的方程也稱為蘭姆型方程。這樣有利于研究流體的有旋性：（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---Navier-Stokes方程事實(shí)上速度隨體導(dǎo)數(shù)中遷移加速度項(xiàng)也可以直接應(yīng)用向量導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式得到：定常、不可壓、徹體力有勢時(shí)格羅米柯方程可化為：N-S方程的重要性2、伯努利(Bernoulli)積分

伯努利家族（瑞士）前后四代，數(shù)十人，形成歷史上罕見的數(shù)學(xué)大家族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯.伯努利，1623-1708），瑞士伯努利數(shù)學(xué)家族第一代。Bernoulli,Johann（約翰.伯努利，1667-1748

），伯努利數(shù)學(xué)家族第二代，提出著名的虛位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼爾.伯努利，1700-1782），伯努利數(shù)學(xué)家族第三代，Johann.伯努利的兒子，著有《流體動(dòng)力學(xué)》（1738），將微積分方法運(yùn)用到流體動(dòng)力學(xué)中，提出著名的伯努利方程。（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程將定常、不可壓、徹體力為重力（Ω=gy）條件下的格羅米柯方程沿流線投影得：（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程上式與第二章中得到的有粘性損失一維能量方程形式相同。其中為單位質(zhì)量流體所具有的機(jī)械能，是從1－2流動(dòng)過程中粘性力做功使每單位質(zhì)量流體損失的能量。寫為高度量綱：如果令:方程變?yōu)?沿著同一條流線積分，得到：（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上無論勢能、壓能和動(dòng)能如何轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能是沿程減小的，總是從機(jī)械能高的地方流向機(jī)械能低的地方，不能保持守恒，減小的部分代表流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力做功所消耗的能量。粘性流體運(yùn)動(dòng)一般性質(zhì)：（1）運(yùn)動(dòng)的有旋性；（2）能量的耗損性；（3）渦旋的擴(kuò)散性由于N-S方程為二階非線性偏微分方程組，準(zhǔn)確解為數(shù)甚少，只有在一些簡單的問題中才能實(shí)現(xiàn)：如兩無限大平行平板間的定常流動(dòng)（庫特流）；圓管內(nèi)的的定常流動(dòng)；兩同心旋轉(zhuǎn)圓柱間的定常流動(dòng)等等。（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程下圖是理想流和粘流沿流線（管）的能量關(guān)系幾何意義對(duì)比。

（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)該指出，由于粘性流體必然存在剪切層是有旋的，上述對(duì)N-S方程的積分只能沿流線成立。y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yxhw12y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yx理想流粘性流1122例：進(jìn)出口面積相等高度相同的管道,體積流量Q=30m3/s,測得兩端壓降為p1-p2=5kpa,求流動(dòng)的粘性損失功率N損

解：設(shè)流動(dòng)定常、一維，由N-S方程的伯努利積分：得從1-2每單位質(zhì)量流體損失的能量為：則1-2的損失功率為：(注：上述管道圍起來可看成風(fēng)洞的一段，因此1-2壓差可看成由風(fēng)扇提供用于克服管道損失，故所求即風(fēng)扇功率，可由風(fēng)扇兩端的有機(jī)械功輸入的能量方程驗(yàn)證。)N－S方程為非線性偏微分方程，它的求解一般需要借助計(jì)算機(jī)用數(shù)值方法求解。而在一些簡單的粘流問題上，N－S方程也有解析解。例：求解二維平行壁之間的不可壓粘性流動(dòng)，二壁固定。2bxy解:設(shè)流動(dòng)定常，徹體力可略。二維不可壓N–S方程寫為：3.N-S方程的解析解舉例*（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---N-S方程的解析解舉例*由于，第二個(gè)方程化為：即在流動(dòng)橫截面壓強(qiáng)不變。又第一個(gè)方程化為：對(duì)y積分，注意到不是y的函數(shù)，對(duì)y積分時(shí)當(dāng)常數(shù)看（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程---N-S方程的解析解舉例*由邊界條件定常數(shù)C1

和C2：y=±b處，u=0，定得C1＝0，C2＝－b2/2，于是：即u

在y向作拋物線分布。中心點(diǎn)流速為：表明沿x軸是個(gè)負(fù)值，即壓強(qiáng)是逐步