協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差的定義與性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

矩的定義與協(xié)方差矩陣n維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

對多維隨機變量,隨機變量的數(shù)學期望和方差只反映了各自的平均值與偏離程度，并沒能反映隨機變量之間的關(guān)系.

協(xié)方差是反映隨機變量之間依賴關(guān)系的一個數(shù)字特征.一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)

協(xié)方差的定義：設(shè)（X,Y）為二維隨機向量,若一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)

依定義，若（X,Y）為離散型隨機變量，其概率分布為

則

一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)

依定義，若（X,Y）為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x,y)，則因為

所以

特別地，若X與Y相互獨立，有cov(X,Y)=0。計算協(xié)方差的簡化公式

一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)

協(xié)方差的性質(zhì)：（一）協(xié)方差的基本性質(zhì)：

一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)

協(xié)方差的性質(zhì)：（二）隨機變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系：

特別地，若X與Y相互獨立，則

注（1）：上述結(jié)果推廣至n維情形，有

一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)

例：已知離散型隨機向量（X,Y）

的概率分布為，試求cov(X,Y)。解：由計算協(xié)方差的簡化公式得

因為

所以

一、協(xié)方差的定義與性質(zhì)

例：已知連續(xù)型隨機變量（X,Y）

的密度函數(shù)為f(x,y)，試求cov(X,Y)。

解：由計算協(xié)方差的簡化公式得

由（X,Y）的密度函數(shù)求得X,Y的邊緣密度函數(shù)分別為

于是

協(xié)方差的定義與性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

矩的定義與協(xié)方差矩陣n維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

協(xié)方差是兩個隨機變量協(xié)同變化的度量，其大小在一定程度上放映了隨機變量X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響。

例如：kX和kY之間的統(tǒng)計關(guān)系與X和Y之間的統(tǒng)計關(guān)系應(yīng)該是一樣的，但其協(xié)方差卻擴大了k2

倍，即有

為了避免隨機變量因度量單位不同而影響它們相互關(guān)系的度量，可將每個隨機變量標準化，即取用

cov(X*,Y*)作為X與Y之間相互關(guān)系的一種度量。

二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

證明：由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知，對任意實數(shù)b，有

由于上式對任意實數(shù)b均成立，則

二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

解：易知

二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

解：由于

二、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

解：

因為

又因

因此

協(xié)方差的定義與性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

矩的定義與協(xié)方差矩陣n維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)三、矩的定義與協(xié)方差矩陣

定義：設(shè)X和Y為隨機變量，k,l為正整數(shù)，稱

由定義可以看出：（1）X的數(shù)學期望E(X)是X的一階原點矩；（2）X的方差D(X)是X的二階中心矩；（3）協(xié)方差cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩。三、矩的定義與協(xié)方差矩陣

協(xié)方差的定義與性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)

矩的定義與協(xié)方差矩陣n維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)四、n維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)

四、n維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)n維正態(tài)分布的重要性質(zhì)：

四、n維正態(tài)分布的概率密