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任意角的三角函數(shù)(1)背景知識
任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)中最基本最重要的概念之一。三角學(xué)起源于對三角形邊角關(guān)系的研究,始于古希臘的喜帕恰斯、梅內(nèi)勞斯和托勒密等人對天文的測量,在相當(dāng)長的時期里隸屬于天文學(xué)。直到1464年,德國數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦著《論各種三角形》,才獨(dú)立于天文學(xué)之外對三角知識作了較系統(tǒng)的闡說;14~16世紀(jì),三角學(xué)曾一度成為歐洲數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,研究的方面包括三角函數(shù)值表的編制、平面三角形和球面三角形的解法,三角恒等式的建立和推導(dǎo)等等。1631年,三角學(xué)輸入中國,三角學(xué)在中國早期比較通行的名稱是“八線”和“三角”。“八線”是指在單位圓上的八種三角函數(shù)線:正弦線、余弦線、正切線、余切線、正割線、余割線、正矢線、余矢線。隨著科學(xué)的發(fā)展,三角函數(shù)成為研究自然界和生產(chǎn)實(shí)踐中周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具,它在測量、力學(xué)工程和無線電學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)習(xí)目的:
掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切
、正割余割函數(shù)的定義.重點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切、余切
、正割余割函數(shù)的定義.難點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義.在初中階段,我們對在直角三角形中銳角的三角函數(shù)定義如下:ABCcab正弦函數(shù):余弦函數(shù):正切函數(shù):余切函數(shù):此定義只限于直角三角形中的銳角,而現(xiàn)在角的定義已經(jīng)拓廣到任意角,所以對于任意角的三角函數(shù)的定義也要作相應(yīng)的拓廣。任意角的三角函數(shù)的定義正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).………………sin,cos,tan,cot,sec,csc,分別是英語中名詞sine,cosine,tangent,cotangent,secant,cosecant的縮寫.無論角a是第幾象限角,它的三角函數(shù)的定義也是一樣。XYOP(x,y)XYOP(x,y)XYOP(x,y)正弦:余弦:正切:余切:正割:余割:沒有意義;注意:XYP(x,0)XOOP(x,0)YXYOP(x,y)沒有意義。XYOP(0,y)XYOP(0,y)
除上述情況無意義外,對于每一個確定的角a,上面六種比值都是唯一確定的,所以sina、cosa、tana、cota、seca、ceca
都是角a的函數(shù)。
我們把角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別叫做角a的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù),統(tǒng)稱為三角函數(shù)。三角函數(shù)定義域三角函數(shù)的定義域例:已知角a終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(-4,3),求角a的各個三角函數(shù)值。XYOaP(-4,3)r解:如右圖,因?yàn)閤=-4,y=3,所以根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得例:分析:此題只給出角的大小,沒有給出其終邊上的任一點(diǎn)的坐標(biāo),因此我們首先根據(jù)角的大小確定終邊的位置,并在終邊上取任意一點(diǎn)并確定其坐標(biāo),再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解。XYO解:根據(jù)三角函數(shù)的定義得:P(1,-1)例:求下列各角的六個三角函數(shù)值.例:已知角a終邊在直線y=x上,求角a的各個
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