平方差公式的廣義理解及應(yīng)用

平方差公式的廣義理解及應(yīng)用第一頁，共二十頁，2022年，8月28日各位領(lǐng)導(dǎo)、各位同行：上午好！首先感謝教研室和傘陂中學(xué)的領(lǐng)導(dǎo)給我提供了一個向大家匯報學(xué)習(xí)心得的平臺。把我在教學(xué)上的一點做法在這里提出來，與大家共勉。在協(xié)作區(qū)教研活動中，2007年在我們張集中學(xué)舉辦了一次由我執(zhí)教的數(shù)學(xué)觀摩課，執(zhí)教的內(nèi)容是《實際問題與二次函數(shù)》，受到參加聽課的領(lǐng)導(dǎo)和教師的一致好評，特別是學(xué)生又快又準(zhǔn)確的運算給大家留下深刻印象。今天我就在這里向大家匯報學(xué)生是怎么快速運算的，也就是我今天向大家匯報的內(nèi)容《平方差公式的廣義理解及應(yīng)用》。首先請大家看兩個實際問題。第二頁，共二十頁，2022年，8月28日平方差公式的廣義理解及應(yīng)用問題1世博會期間上海某賓館有50個房間供游客住宿，當(dāng)每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿；當(dāng)房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑，賓館需對游客居住的每個房間每天支付20元的各種費用。根據(jù)規(guī)定，每個房間的房價不得高于340元。當(dāng)房間的房價每天增加多少元時，賓館一天的利潤達(dá)到9200元？解：設(shè)賓館每個房間的房價每天增加x元，根據(jù)賓館一天的利潤為9200元列方程得

第三頁，共二十頁，2022年，8月28日一般解法：第四頁，共二十頁，2022年，8月28日我的解法：第五頁，共二十頁，2022年，8月28日問題2政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)。李明在某市政府的扶持下，投資銷售一種進(jìn)價為20元的護眼燈，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似地看做一次函數(shù)y=-10x+500，設(shè)李明每月獲得利潤為w（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？解：由題意可得W=(x-20)(-10x+500)=-10x2+500x+200x-10000=-10x2+700-10000=-10（x2-70x）-10000=-10﹝（x2-70x+352）-352﹞-10000=-10（x-35）2+10×352-10000=-10（x-35）2+2250即當(dāng)x=35時，w有最大值，w最大=2250.

第六頁，共二十頁，2022年，8月28日而我的做法是：

W=(x-20)(-10x+500)=-10(x-20)(x-50)=-10(x-35)2+2250即當(dāng)w=35時，w有最大值，w最大=2250.從以上兩個問題中，大家很容易發(fā)現(xiàn)，問題1和問題2中都是形如(ax+b)(cx+d)式子，而又都是需要轉(zhuǎn)化為a(x-h)2+k的形式。而這種轉(zhuǎn)化過程的一般的解法都是把(ax+b)(cx+d)先整理為ax2+bx+c的形式后，再通過配方才能把它們轉(zhuǎn)化為a(x-h)2+k的形式。這個過程不僅環(huán)節(jié)多、運算量大，且易出錯。而我的做法是由(x+a)(x+b)直接轉(zhuǎn)化為(x-h)2+k的形式。這不僅減少了中間環(huán)節(jié)，而且運算步驟少，運算量小，有的僅僅用心算就行了。第七頁，共二十頁，2022年，8月28日我這種做法有沒有依據(jù)？是怎么做的呢？這就是我今天向大家匯報的內(nèi)容。它是我基于對平方差公式的廣義理解的實際應(yīng)用。下面先我們來回顧平方差公式。一、平方差公式(x+y)(x-y)=x2-y2

這個公式除了課標(biāo)里告訴我們性質(zhì)及應(yīng)用以外，我們還應(yīng)該獲得這樣一個信息：這個公式是在告訴我們等式兩邊的運算方式發(fā)生了相互轉(zhuǎn)換：即積與平方差這兩種運算方式能夠相互轉(zhuǎn)化。今天我們著重探究積是怎么直接轉(zhuǎn)變?yōu)槠椒讲畹?。即ab=()2-()2的形式。這個平方差的底數(shù)是多少呢？我們設(shè)：x+y=ax-y=b解得x=，y=.所以我們得到公式：ab=()2-()2.

這就告訴我們，任何兩個因數(shù)的積都能表示成平方差的形式，而且積的大小跟這兩個數(shù)的和與它們的差的大小相關(guān)。如果兩個因數(shù)的和一定，它們的積就只跟它們的差相關(guān)了，即兩個因數(shù)和一定時，它們的差越大這個積就越小，差越小時積就越大，平方冪（差為0時）是最大的積.第八頁，共二十頁，2022年，8月28日二、平方差公式的幾何意義如果我們在數(shù)軸上任取兩點表示a、b。則表示以a、b為端點的線段的中點表示的數(shù)；表示以a、b為端點的線段長的一半。則這個平方差的幾何意義就是：任何兩個數(shù)的積等于以這兩個數(shù)為端點的線段中點表示的數(shù)與這個線段長度的一半的平方差。ba

因此，我們把形如(ax+b)(ax+c)直接可以轉(zhuǎn)化為(ax+h)2+k的形式了，因為

(ax+b)(ax+c)=［］2-［］2即(ax+b)(ax+c)=(ax+)2-()2所以h=k=-()2第九頁，共二十頁，2022年，8月28日三、平方差公式的應(yīng)用問題3不計算把下列各式從大到小排列出來

17×1913×2318211×2515×218×2814×2216×20

因為：17+19=13+23=18+18=11+25=15+21=8+28=14+22=16+20,18-18〈19-17〈20-16〈21-15〈22-14〈23-13〈25-11〈28-8所以從大到小的排列順序為：18217×1916×2015×2114×2213×2311×258×28.第十頁，共二十頁，2022年，8月28日三、平方差公式的應(yīng)用問題4解下列方程(x-7)(x-19)=13解：原方程直接化為(x+)2-()2=13

即(x-13)2-62=13(x-13)2=49

所以x-13=±7x1=20x2=6第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日問題5在一幅長80cm，寬50cm的長方形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色的紙邊，制成一幅長方形的掛圖，如果要使這個掛圖的面積是5400cm2，那么金色的紙邊的寬度應(yīng)該是多少？三、平方差公式的應(yīng)用解：設(shè)金色紙邊的寬度是xcm，那么掛圖的長為(2x+80)cm，寬為(2x+50)cm，根據(jù)掛圖面積是5400cm列方程得

(2x+80)(2x+50)=5400所以原方程可化為(2x+)2-()2=5400即(2x+65)2-152=5400所以2x+65=±75x1=5x2=-70（不合題意,舍去）答：金色紙邊的寬度應(yīng)該是5cm。

第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日問題6某種商品每件的進(jìn)價為30元，在某段時間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100-x）件，應(yīng)如何定價才能使利潤最大？

三、平方差公式的應(yīng)用解：設(shè)利潤為y元。因每件利潤為（x-30）元，賣出（100-x）件，所得利潤

y=(x-30)(100-x)因為=35=x-65所以所以當(dāng)x=65時，y有最大值，y最大=352

答：這種商品以每件65元出售才能使利潤最大，最大利潤是1225元。

第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日四、靈活應(yīng)用平方差公式如果我們機械理解平方差公式的這種應(yīng)用，能解的問題的“面”就太窄了。前面問題3、問題4、問題5、問題6，都是未知數(shù)的系數(shù)相同或者相反的。請看問題7某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可銷售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價格不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷量將減少20千克，現(xiàn)商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)該漲價多少元？解：設(shè)每千克漲價x元，則每千克的利潤為(x+10)元，日銷量為(500-20x)千克。根據(jù)商場保證每天盈利6000元列方程得(x+10)(500-20x)=6000因為=255-9.5x=10.5x-245則原方程就化為(255-9.5x)2-(10.5x-245)2=6000第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日四、靈活應(yīng)用平方差公式可見這種未知數(shù)的系數(shù)不相同或者不相反時，轉(zhuǎn)化為平方差以后，兩項都含有未知數(shù)了。這種轉(zhuǎn)化是沒有實際意義的，那么是不是平方差公式的這種應(yīng)用對其就沒有作用了呢？答案肯定是否定的。我們采取化歸的方法把(x+10)(500-20x)變形為-20(x+10)(x-25)，則(x+10)(x-25)就是我們上面認(rèn)知的問題類型了。所以原方程就轉(zhuǎn)化為-20(x+10)(x-25)=6000-20(x+)2+20×()2=6000(x-7.5)2=6.25x-7.5=±2.5x1=5x2=10（不合題意,舍去）答：每千克應(yīng)該漲價5元。第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日問題8某商店經(jīng)營一種商品，進(jìn)價為2.5元，據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是13.5元時，平均每天銷售量是500件,而銷售價每降低1元，平均每天就可以多銷售100件，每件商品銷售價是多少元時，商店每天銷售這種商品的利潤最大？最大利潤是多少？四、靈活應(yīng)用平方差公式解：設(shè)每件商品銷售價為x元，商店每天銷售這種商品的利潤是y元，則

y=(x-2.5)［500+100(13.5-x)］

=-100(x-2.5)(x-18.5)=-100(x-10.5)2+100×82所以當(dāng)x=10.5時，y有最大值，y最大=6400答：每件商品銷售價是10.5元時，商店每天銷售這種商品的利潤最大，最大利潤是6400元。第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日綜上所述，兩個二項式的積直接轉(zhuǎn)化為平方差的形式分兩種情況：

1.兩個二項式的未知數(shù)的系數(shù)相同的，形如

(ax+b)(ax+c)，直接用公式(ax+b)(ax+c)=(ax+)2-()2

2.兩個二項式的未知數(shù)的系數(shù)不相同的，形如(ax+b)(cx+d)，需要把它化歸為未知數(shù)系數(shù)相同的兩個二項式的積的類型上去?；瘹w的時候視情況定，也可以化歸為未知數(shù)的系數(shù)是1，也可以化歸為系數(shù)相同。第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日另外，兩個二項式(ax+b)(ax+c)轉(zhuǎn)化為(ax+h)2+k還有一種求法:(ax+b)(ax+c)=(ax+h)2+(-h+b)(-h+c)

也就是先求出h=再把ax=-h的值代入(ax+b)(ax+c)中，求出：(ax+b)(ax+c)=(-h+b)(-h+c)于是(ax+b)(ax+c)=(ax+h)2+(-h+b)(-h+c)在計算的過程中其實(-h+b)(-h+c)=-()2把（ax+b)(ax+c)=(

ax+)2-()2或者(ax+b)(ax+c)=(ax+h)2+(-h+b)(-h+c)其實是一樣的。第十八頁，共二十頁，2022年，8月28日如：問題4中方程(x-7)(x-19)=13可以將方程變?yōu)?x-13)2+(13-7)(13-19)=13問題5中方程(2x+80)(2x+50)=5400可以將方程變形為(2x+65)2+(

-65+80)(-65+50)=5400問題6中y=(x-30)(100-x)=-(x-65)2+(65-30)(65-1