D3-4單調(diào)性極值與最值

第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的單調(diào)性與極值

第三章三、最大值與最小值問(wèn)題觀察機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性?問(wèn)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理證例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束討論函數(shù)單調(diào)性的步驟:P131例2.

證明時(shí),成立不等式證:

令從而因此且證證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3：證明令則從而即證明思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、函數(shù)的極值定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

.注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),定理2

(第一充分條件)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)(2)(3)自證例4.

求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為定理3(第二充分條件)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一充分條件知(2)類(lèi)似可證.例5.

求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.定理4

(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng)充分接近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確.證:利用在點(diǎn)的泰勒公式,可得例如

,

例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理2~

定理4)都是充分的.說(shuō)明:當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí),不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理2~定理4的條件.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:所以是原方程所確定函數(shù)的極小值點(diǎn)三、函數(shù)的最值則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)

最大值最小值例7.

求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此也可通過(guò)例7.

求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束情形1:

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)(小)

當(dāng)在一個(gè)區(qū)間(有限或無(wú)窮,開(kāi)或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)且是的極值點(diǎn),情形2:

對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別可導(dǎo)函數(shù)確有最大(小)值,且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得.這時(shí)如果在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)可斷定是最大值或最小值.例8.

做半徑為R的球的外切正圓錐，問(wèn)此圓錐的高為何值時(shí)其體積最小，最小值是多少？解:

球的外切正圓錐如圖，設(shè)圓錐底半徑為r，高為h,其體積為Rrh例11.一頂角為解:

設(shè)t時(shí)刻水深為h(t),(如圖）水面上升得最快，的正圓錐形容器，頂在下，底面處在水平位置，里面有b升水，從某一時(shí)刻開(kāi)始往容器中注水，從開(kāi)始經(jīng)過(guò)t秒，注入的水量為升，（a,b為正常數(shù)），問(wèn)何時(shí)水面上升的速度最快？h(t)t時(shí)刻容器內(nèi)水的體積內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過(guò)由正變負(fù)為極大值過(guò)由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣(Th.4)定理3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.

設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返