高中數(shù)學(xué) 合情推理與演繹證明三 新人教A選修12

2.1.2類比推理.一.復(fù)習(xí):1.合情推理的主要形式有

和

.2.歸納推理是從

事實(shí)中概括出

結(jié)論的一種推理模式.歸納推理的思維過程大致是:歸納類比個別一般.類比推理“快回火星吧，地球是很危險滴”.類比推理的定義可能存在生命.類比推理從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子..類比推理茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.魯班的思路是這樣的：這個推理過程是歸納推理嗎？.問題：試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？類比推理.

這種由兩個（兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．類比推理的定義:.1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸2.仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發(fā)明了潛水艇.3.科學(xué)家對火星進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征;1)火星也繞太陽運(yùn)行、饒軸自轉(zhuǎn)的行星;2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更;3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學(xué)家猜想;火星上也可能有生命存在.類比推理.類比推理舉例構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目：四面體三角形.平面圖形（二維）立體圖形（三維）點(diǎn)點(diǎn)或線線線或面平面直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系.類比推理舉例構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目：四面體三角形.直角三角形∠C＝90°3個邊的長度a，b，c

2條直角邊a，b和1條斜邊c類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．3個面兩兩垂直的四面體∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4個面的面積S1，S2，S3和S

3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S.優(yōu)化設(shè)計(jì)P61~~~~5P62~~~~6P62~~~~下7P65~~~~3,4P65~~~~右3P66~~~~4,8.幾何中常見的類比對象三角形四面體（各面均為三角形）四邊形六面體（各面均為四邊形）圓球代數(shù)中常見的類比對象復(fù)數(shù)向量方程函數(shù)不等式交集，并集，補(bǔ)集或，且，非運(yùn)算.例1.(2003年新課程)在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則

.DABC.平面向量空間向量①②③④⑤⑥若，則

①②③④⑤⑥若，則

⑦⑦利用平面向量的性質(zhì)類比得空間向量的性質(zhì).等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和利用等差數(shù)列性質(zhì)類比等比數(shù)列性質(zhì).類比推理“類比是一個偉大的引路人,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題.”————數(shù)學(xué)家波利亞

.例4.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論..平面上空間中圖形結(jié)論證法優(yōu)化設(shè)計(jì)P66ABCPpapbpcABCDP.例1、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.球的定義：到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.圓弦直徑周長面積球截面圓大圓表面積體積.圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出求的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積.例題講解ABCabcc2=

a2+b2s1s2s3⊿FEF的面積為SPEFD.例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動一個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?.n=1時,.n=2時,n=1時,.n=3時,n=2時,n=1時,.n=2時,n=1時,n=3時,.n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,.古印度有一個傳說，婆羅賀摩(Brahma，眾生之父)在Berares地方的廟宇安置了一個含有64個金盤的婆羅賀摩塔，婆羅門教的憎侶們，奉命依遊戲規(guī)則要不停移動這些金盤，傳說中還說，當(dāng)重排完成時，就是世界末日的到來，而經(jīng)過計(jì)算，這64個金盤的遊戲至少要經(jīng)過264-1次才會完成，如果移動一次以1秒鐘計(jì)算，還要經(jīng)過184467440737095551615天才能完成，照這樣看來，這世界還算蠻安全的。.圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心