四川省蒼溪中學2022年高三最后一卷數學試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數滿足約束條件，則的最小值為（）A．-5 B．2 C．7 D．112．的展開式中的常數項為()A．－60 B．240 C．－80 D．1803．已知，則p是q的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．一個頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數據在上的頻率為，則估計樣本在、內的數據個數共有（）A． B． C． D．5．函數的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．6．已知集合，，若AB，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知集合，則等于（）A． B． C． D．8．在中，，，，若，則實數()A． B． C． D．9．已知集合，，則集合子集的個數為（）A． B． C． D．10．函數的部分圖象大致是（）A． B．C． D．11．等差數列中，，，則數列前6項和為（）A．18 B．24 C．36 D．7212．已知實數滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩人同時參加公務員考試，甲筆試、面試通過的概率分別為和；乙筆試、面試通過的概率分別為和．若筆試面試都通過才被錄取，且甲、乙錄取與否相互獨立，則該次考試只有一人被錄取的概率是__________．14．五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側，可排成______種不同的音序.15．設第一象限內的點(x，y)滿足約束條件,若目標函數z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為40，則＋的最小值為_____.16．已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍是____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）討論函數單調性；（2）當時，求證：.18．（12分）已知數列滿足，且.（1）求證：數列是等差數列，并求出數列的通項公式；（2）求數列的前項和.19．（12分）某公司欲投資一新型產品的批量生產，預計該產品的每日生產總成本價格)(單位:萬元)是每日產量(單位:噸)的函數:.（1）求當日產量為噸時的邊際成本(即生產過程中一段時間的總成本對該段時間產量的導數)；（2）記每日生產平均成本求證：；（3）若財團每日注入資金可按數列(單位:億元)遞減，連續(xù)注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.20．（12分）如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值21．（12分）某公司為了鼓勵運動提高所有用戶的身體素質，特推出一款運動計步數的軟件，所有用戶都可以通過每天累計的步數瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數和性別是否有關”，統(tǒng)計了2019年1月份所有用戶的日平均步數，規(guī)定日平均步數不少于8000的為“運動達人”，步數在8000以下的為“非運動達人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個用戶，得到如下列聯表：運動達人非運動達人總計男3560女26總計100（1）（i）將列聯表補充完整；（ii）據此列聯表判斷，能否有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”？（2）將頻率視作概率，從該公司的所有人“運動達人”中任意抽取3個用戶，求抽取的用戶中女用戶人數的分布列及期望.附：22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，側面為等邊三角形，側棱.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐外接球的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據約束條件畫出可行域，再將目標函數化成斜截式，找到截距的最小值.【詳解】由約束條件，畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線，為在軸的截距，最小的時候為過點的時候，解得所以，此時故選A項【點睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標函數，屬于常規(guī)題型，是簡單題.2．D【解析】

求的展開式中的常數項，可轉化為求展開式中的常數項和項，再求和即可得出答案.【詳解】由題意，中常數項為，中項為，所以的展開式中的常數項為：.故選：D【點睛】本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.3．B【解析】

根據誘導公式化簡再分析即可.【詳解】因為,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選：B【點睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導公式的運用,屬于基礎題.4．B【解析】

計算出樣本在的數據個數，再減去樣本在的數據個數即可得出結果.【詳解】由題意可知，樣本在的數據個數為，樣本在的數據個數為，因此，樣本在、內的數據個數為.故選：B.【點睛】本題考查利用頻數分布表計算頻數，要理解頻數、樣本容量與頻率三者之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.5．B【解析】

根據定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據函數圖象得定義域為，所以不合題意；選項，計算，不符合函數圖象；對于選項，與函數圖象不一致；選項符合函數圖象特征.故選：B【點睛】此題考查根據函數圖象選擇合適的解析式，主要利用函數性質分析，常見方法為排除法.6．D【解析】

先化簡，再根據，且AB求解.【詳解】因為，又因為，且AB，所以.故選：D【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.7．C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎題.8．D【解析】

將、用、表示，再代入中計算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.9．B【解析】

首先求出，再根據含有個元素的集合有個子集，計算可得.【詳解】解：，，，子集的個數為.故選：.【點睛】考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運算，集合子集個數的計算公式，屬于基礎題．10．C【解析】

判斷函數的性質，和特殊值的正負，以及值域，逐一排除選項.【詳解】，函數是奇函數，排除，時，，時，，排除，當時，，時，，排除，符合條件，故選C.【點睛】本題考查了根據函數解析式判斷函數圖象，屬于基礎題型，一般根據選項判斷函數的奇偶性，零點，特殊值的正負，以及單調性，極值點等排除選項.11．C【解析】

由等差數列的性質可得，根據等差數列的前項和公式可得結果.【詳解】∵等差數列中，，∴，即，∴，故選C.【點睛】本題主要考查了等差數列的性質以及等差數列的前項和公式的應用，屬于基礎題.12．B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設，則，易知當直線經過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

分別求得甲、乙被錄取的概率，根據獨立事件概率公式可求得結果.【詳解】甲被錄取的概率；乙被錄取的概率；只有一人被錄取的概率.故答案為：.【點睛】本題考查獨立事件概率的求解問題，屬于基礎題.14．1【解析】

按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個或第四個位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側，此時有種；②若“角”在中間,則不可能出現宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側；③若“角”在第二個或第四個位置上,則有種；綜上，共有種.故答案為：1．【點睛】本題主要考查利用排列知識解決實際問題,涉及分步計數乘法原理和分類計數加法原理的應用,意在考查學生分類討論思想的應用和綜合運用知識的能力,屬于基礎題.15．【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(8,10)時，目標函數z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而當且僅當時取等號，則的最小值為.16．（-4，2）【解析】試題分析：因為當且僅當時取等號，所以考點：基本不等式求最值三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）根據的導函數進行分類討論單調性（2）欲證，只需證，構造函數，證明，這時需研究的單調性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域為，，①當時，由得，由，得，所以在上單調遞增，在單調遞減；②當時，由得，由，得，或，所以在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增；③當時，，所以在上單調遞增；④當時，由，得，由，得，或，所以在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.（2）當時，欲證，只需證，令，，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當變化時，，的變化如下：0單調遞增單調遞減所以.因為，所以，所以.即，所以當時，成立.【點睛】考查求函數單調性的方法和用函數的最值證明不等式的方法，難題.18．（1）證明見解析，；（2）.【解析】

（1）將等式變形為，進而可證明出是等差數列，確定數列的首項和公差，可求得的表達式，進而可得出數列的通項公式；（2）利用錯位相減法可求得數列的前項和.【詳解】（1）因為，所以，即，所以數列是等差數列，且公差，其首項所以，解得；（2），①，②①②，得，所以.【點睛】本題考查利用遞推公式證明等差數列，同時也考查了錯位相減法求和，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.19．（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】

（1）求得函數的導函數，由此求得求當日產量為噸時的邊際成本.（2）將所要證明不等式轉化為證明，構造函數，利用導數證得，由此證得不等式成立.（3）利用（2）的結論，判斷出，由此結合對數運算，證得.【詳解】（1）因為所以當時，（2）要證，只需證，即證，設則所以在上單調遞減，所以所以，即；（3）因為又由（2）知，當時，所以所以所以【點睛】本小題主要考查導數的計算，考查利用導數證明不等式，考查放縮法證明數列不等式，屬于難題.20．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點，連接，根據條件證明，即；（2）以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求兩個平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點，連接.∵，∴為的中點.又為的中點，∴.依題意可知，則四邊形為平行四邊形，∴，從而.又平面，平面，∴平面.（2），且，平面，平面，，，且，平面，以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，，，，，，，，.設平面的法向量為，則，即，令，得.設平面的法向量為，則，即，令，得.從而，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明和空間坐標法解決二面角的問題，意在考查空間想象能力，推理證明和計算能力，屬于中檔題型，證明線面平行，或證明面面平行時，關鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時，需考慮構造中位線或平行四邊形，這些都是證明線線平行的常方法.21．（1）（i）填表見解析（ii）沒有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”（2）詳見解析【解析】

（1）(i)由已給數據可完成列聯表，(ii)計算出后可得；（2）由列聯表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，的取值為，，由二項分布概率公式計算出各概率得分布列，由期望公式計算期望．【詳解】解（1）（i）運動達人非運動達人總計男352560女142640總計4951100（ii）由列聯表得所以沒有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”（2）由列聯表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，.易知所以的分布列為0123．【點睛】本題考查列聯表，考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和期望．屬于中檔題．本題難點在于認識到．22．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）設中點為，連接、，利用等腰三角形三線合一的性質得出，利用勾股定理得出，由線面垂直的判定定理可證得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）先確定三棱錐的