2023年陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購(gòu)買!第1卷一.綜合題(共50題)1.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn),自M,N向準(zhǔn)線l作垂線,垂足分別為M1,N1,則∠M1FN1等于()

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°答案:C2.以拋物線y2=2px(p>0)的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸位置關(guān)系是______.答案:根據(jù)拋物線定義可知|PF|=p2,而圓的半徑為p2,圓心為(p2,0),|PF|正好等于所求圓的半徑,進(jìn)而可推斷圓與y軸位置關(guān)系是相切.3.某工廠生產(chǎn)產(chǎn)品,用傳送帶將產(chǎn)品送到下一道工序,質(zhì)檢人員每隔十分鐘在傳送帶的某一個(gè)位置取一件檢驗(yàn),則這種抽樣方法是()A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.非上述答案答案:本題符合系統(tǒng)抽樣的特征:總體中各單位按一定順序排列,根據(jù)樣本容量要求確定抽選間隔,然后隨機(jī)確定起點(diǎn),每隔一定的間隔抽取一個(gè)單位的一種抽樣方式.故選B.4.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,則k的取值范圍為(

A.-1<k<1

B.k>1

C.k<-1

D.k>1或k<-1答案:A5.老師在班級(jí)50名學(xué)生中,依次抽取學(xué)號(hào)為5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的學(xué)和進(jìn)行作業(yè)檢查,這種抽樣方法是()

A.隨機(jī)抽樣

B.分層抽樣

C.系統(tǒng)抽樣

D.以上都是答案:C6.將(x+y+z)5展開合并同類項(xiàng)后共有______項(xiàng),其中x3yz項(xiàng)的系數(shù)是______.答案:將(x+y+z)5展開合并同類項(xiàng)后,每一項(xiàng)都是m?xa?yb?zc

的形式,且a+b+c=5,其中,m是實(shí)數(shù),a、b、c∈N,構(gòu)造8個(gè)完全一樣的小球模型,分成3組,每組至少一個(gè),共有分法C27種,每一組中都去掉一個(gè)小球的數(shù)目分別作為(x+y+z)5的展開式中每一項(xiàng)中x,y,z各字母的次數(shù),小球分組模型與各項(xiàng)的次數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.故將(x+y+z)5展開合并同類項(xiàng)后共有C27=21項(xiàng).把(x+y+z)5的展開式看成5個(gè)因式(x+y+z)的乘積形式.從中任意選3個(gè)因式,這3個(gè)因式都取x,另外的2個(gè)因式分別取y、z,相乘即得含x3yz項(xiàng),故含x3yz項(xiàng)的系數(shù)為C35=20,故為21;20.7.

點(diǎn)M分有向線段的比為λ,已知點(diǎn)M1(1,5),M2(2,3),λ=-2,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()

A.(3,8)

B.(1,3)

C.(3,1)

D.(-3,-1)答案:C8.“x2>2012”是“x2>2011”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:由于“x2>2

012”時(shí),一定有“x2>2

011”,反之不成立.所以“x2>2

012”是“x2>2

011”的充分不必要條件.故選A.9.已知不等式a≤對(duì)x取一切負(fù)數(shù)恒成立,則a的取值范圍是____________.答案:a≤2解析:要使a≤對(duì)x取一切負(fù)數(shù)恒成立,令t=|x|>0,則a≤.而≥=2,∴a≤2.10.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為90°.如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng),若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則xy的范圍是______.答案:由OC=xOA+yOB?OC2=x2OA2+y2OB2+2xyOA?OB,又|OC|=|OA|=|OB|=1,OA?OB=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤12,而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng),得x,y∈[0,1],于是,0≤xy≤12,故為[0,12].11.教學(xué)大樓共有五層,每層均有兩個(gè)樓梯,由一層到五層的走法有()

A.10種

B.25種

C.52種

D.24種答案:D12.選做題:如圖,點(diǎn)A、B、C是圓O上的點(diǎn),且AB=4,∠ACB=30°,則圓O的面積等于______.答案:連接OA,OB,∵∠ACB=30°,∴∠AoB=60°,∴△AOB是一個(gè)等邊三角形,∴OA=AB=4,∴⊙O的面積是16π故為16π13.已知函數(shù)f(x)=2x,x≥01,

x<0,若f(1-a2)>f(2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.答案:函數(shù)f(x)=2x,x≥01,

x<0,x<0時(shí)是常函數(shù),x≥0時(shí)是增函數(shù),由f(1-a2)>f(2a),所以2a<1-a21-a2>0,解得:-1<a<2-1,故為:-1<a<2-1.14.半徑為1、2、3的三個(gè)圓兩兩外切.證明:以這三個(gè)圓的圓心為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.

答案:證明:設(shè)⊙O1、⊙O2、⊙O3的半徑分別為1、2、3.因這三個(gè)圓兩兩外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,則有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32根據(jù)勾股定理的逆定理,得到△O1O2O3為直角三角形.15.給出下列問題:

(1)求面積為1的正三角形的周長(zhǎng);

(2)求鍵盤所輸入的三個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù);

(3)求鍵盤所輸入兩個(gè)數(shù)的最小數(shù);

(4)求函數(shù)f(x)=2xx2(x≥3)(x<3)當(dāng)自變量取相應(yīng)值時(shí)的函數(shù)值.

其中不需要用條件語句描述的算法的問題有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案:(1)求面積為1的正三角形的周長(zhǎng)用順序結(jié)構(gòu)即可,故不需要用條件語句描述;(2)求鍵盤所輸入的三個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)用順序結(jié)構(gòu)即可解決問題,不需要用條件語句描述;(3)求鍵盤所輸入兩個(gè)數(shù)的最小數(shù),由于要作出判斷,找出最小數(shù),故本問題的解決要用到條件語句描述;(4)求函數(shù)f(x)=2xx2(x≥3)(x<3)當(dāng)自變量取相應(yīng)值時(shí)的函數(shù)值,由于此函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),所以要用條件結(jié)構(gòu)選擇相應(yīng)的函數(shù)解析式,需要用條件語句描述.綜上,(3)(4)兩個(gè)問題要用到條件語句描述,(1),(2)不需要用條件語句描述故選B16.已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,實(shí)軸長(zhǎng)為8,離心率e=2,過雙曲線的弦AB被點(diǎn)P(4,2)平分;

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求弦AB所在直線方程;

(3)求直線AB與漸近線所圍成三角形的面積.答案:(1)∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1;∵實(shí)軸長(zhǎng)為8,離心率e=2,∴a=4,c=42,∴b2=c2-a2=16.或∵實(shí)軸長(zhǎng)為8,離心率e=2,∴雙曲線為等軸雙曲線,a=b=4.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216-x216=1.(2)設(shè)弦AB所在直線方程為y-2=k(x-4),A,B的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2).∴k=y1-y2x1-x2,x1+x22=4,y1+y22=2;∴y1216-x1216=1

y2216-x2216=1?y12-y2216-x12-x2216=0?(y1-y2)(y1+y2)16-(x1-x2)(x1+x2)16=0代入x1+x2=8,y1+y2=4,得(y1-y2)×416-(x1-x2)×816=0,∴y1-y2x1-x2×14-12=0,∴14k-12=0,∴k=2;所以弦AB所在直線方程為y-2=2(x-4),即2x-y-6=0.(3)等軸雙曲線y216-x216=1的漸近線方程為y=±x.∴直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形.又漸近線與弦AB所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6,6),(2,-2),∴直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為62、22;∴直線AB與漸近線所圍成三角形的面積S=12×62×22=12.17.若函數(shù)y=ax(a>1)在[0,1]上的最大值與最小值之和為3,則a=______.答案:①當(dāng)0<a<1時(shí)函數(shù)y=ax在[0,1]上為單調(diào)減函數(shù)∴函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值分別為1,a∵函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值和為3∴1+a=3∴a=2(舍)②當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)y=ax在[0,1]上為單調(diào)增函數(shù)∴函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值分別為a,1∵函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值和為3∴1+a=3∴a=2故為:2.18.從甲、乙兩人手工制作的圓形產(chǎn)品中,各自隨機(jī)抽取6件,測(cè)得其直徑如下(單位:cm):

甲:9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20

乙:8.90,9.60,9.50,8.54,8.60,8.90

據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)兩人的技術(shù)穩(wěn)定性,結(jié)論是()

A.甲優(yōu)于乙

B.乙優(yōu)于甲

C.兩人沒區(qū)別

D.無法判斷答案:A19.圓心既在直線x-y=0上,又在直線x+y-4=0上,且經(jīng)過原點(diǎn)的圓的方程是______.答案:∵圓心既在直線x-y=0上,又在直線x+y-4=0上,∴由x-y=0x+y-4=0,得x=2y=2.∴圓心坐標(biāo)為(2,2),∵圓經(jīng)過原點(diǎn),∴半徑r=22,故所求圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=8.20.為了了解1200名學(xué)生對(duì)學(xué)校某項(xiàng)教改試驗(yàn)的意見,打算從中抽取一個(gè)容量為30的樣本,考慮采用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔(抽樣距)K為()

A.40

B.30

C.20

D.12答案:A21.命題“若A∩B=A,則A∪B=B”的逆否命題是()A.若A∪B=B,則A∩B=AB.若A∩B≠A,則A∪B≠BC.若A∪B≠B,則A∩B≠AD.若A∪B≠B,則A∩B=A答案:∵“A∩B=A”的否定是“A∩B≠A”,∴命題“若A∩B=A,則A∪B=B”的逆否命題是“若A∪B≠B,則A∩B≠A”.故選C.22.在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,則△ABC外接圓半徑r=a2+b22.運(yùn)用類比方法,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a,b,c,則其外接球的半徑R=______.答案:直角三角形外接圓半徑為斜邊長(zhǎng)的一半,由類比推理可知若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a,b,c,將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,其外接球的半徑R為長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.故為a2+b2+c22故為:a2+b2+c2223.直線(a+1)x-(2a+5)y-6=0必過一定點(diǎn),定點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)。答案:(-4,-2)24.每一噸鑄鐵成本y

(元)與鑄件廢品率x%建立的回歸方程y=56+8x,下列說法正確的是()A.廢品率每增加1%,成本每噸增加64元B.廢品率每增加1%,成本每噸增加8%C.廢品率每增加1%,成本每噸增加8元D.如果廢品率增加1%,則每噸成本為56元答案:∵回歸方程y=56+8x,∴當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),對(duì)應(yīng)的y要增加8個(gè)單位,這里是平均增加8個(gè)單位,故選C.25.若x、y∈R+且x+2y≤ax+y恒成立,則a的最小值是()A.1B.2C.3D.1+22答案:由題意,根據(jù)柯西不等式得x+2y≤(1+2)(x+y)∴x+2y≤3(x+y)要使x+2y≤ax+y恒成立,∴a≥3∴a的最小值是3故選C.26.橢圓焦點(diǎn)在x軸,離心率為32,直線y=1-x與橢圓交于M,N兩點(diǎn),滿足OM⊥ON,求橢圓方程.答案:設(shè)橢圓方程x2a2+y2b2=1(a>b>0),∵e=32,∴a2=4b2,即a=2b.∴橢圓方程為x24b2+y2b2=1.把直線方程代入化簡(jiǎn)得5x2-8x+4-4b2=0.設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),則x1+x2=85,x1x2=15(4-4b2).∴y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=15(1-4b2).由于OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0.解得b2=58,a2=52.∴橢圓方程為25x2+85y2=1.27.圓x2+y2-4x=0在點(diǎn)P(1,)處的切線方程為()

A.x+y-2=0

B.x+y-4=0

C.x-y+4=0

D.x-y+2=0答案:D28.已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,下列所給四個(gè)坐標(biāo)中能表示點(diǎn)M的坐標(biāo)是()

A.

B.

C.

D.答案:D29.已知平面向量a,b,c滿足a+b+c=0,且a與b的夾角為135°,c與b的夾角為120°,|c|=2,則|a|=______.答案:∵a+b+c=0∴三個(gè)向量首尾相接后,構(gòu)成一個(gè)三角形且a與b的夾角為135°,c與b的夾角為120°,|c|=2,故所得三角形如下圖示:其中∠C=45°,∠A=60°,AB=2∴|a|=AB?Sin∠Asin∠C=6故為:630.試比較nn+1與(n+1)n(n∈N*)的大?。?/p>

當(dāng)n=1時(shí),有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);

當(dāng)n=2時(shí),有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);

當(dāng)n=3時(shí),有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);

當(dāng)n=4時(shí),有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);

猜想一個(gè)一般性的結(jié)論,并加以證明.答案:當(dāng)n=1時(shí),nn+1=1,(n+1)n=2,此時(shí),nn+1<(n+1)n,當(dāng)n=2時(shí),nn+1=8,(n+1)n=9,此時(shí),nn+1<(n+1)n,當(dāng)n=3時(shí),nn+1=81,(n+1)n=64,此時(shí),nn+1>(n+1)n,當(dāng)n=4時(shí),nn+1=1024,(n+1)n=625,此時(shí),nn+1>(n+1)n,根據(jù)上述結(jié)論,我們猜想:當(dāng)n≥3時(shí),nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.①當(dāng)n=3時(shí),nn+1=34=81>(n+1)n=43=64即nn+1>(n+1)n成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),kk+1>(k+1)k成立,即:kk+1(k+1)k>1則當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)k+2(k+2)k+1=(k+1)?(k+1k+2)k+1>(k+1)?(kk+1)k+1=kk+1(k+1)k>1即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立,∴當(dāng)n≥3時(shí),nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.31.設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集,定義集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}.若P={0,2,5},Q={1,2,6},則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是()A.6B.7C.8D.9答案:∵P={0,2,5},Q={1,2,6},P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}∴當(dāng)a=0時(shí),b∈Q,P+Q={1,2,6}當(dāng)a=2時(shí),b∈Q,P+Q={3,4,8}當(dāng)a=5時(shí),b∈Q,P+Q={6,7,11}∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}故選C32.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-∞,-1]∪[4,+∞)

B.(-∞,-2]∪[5,+∞)

C.[1,2]

D.(-∞,1]∪[2,+∞)答案:A33.某會(huì)議室第一排共有8個(gè)座位,現(xiàn)有3人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐法種數(shù)為()A.12B.16C.24D.32答案:將空位插到三個(gè)人中間,三個(gè)人有兩個(gè)中間位置和兩個(gè)兩邊位置就是將空位分為四部分,五個(gè)空位四分只有1,1,1,2空位五差別,只需要空位2分別占在四個(gè)位置就可以有四種方法,另外三個(gè)人排列A33=6根據(jù)分步計(jì)數(shù)可得共有4×6=24故選C.34.已知,,那么P(B|A)等于()

A.

B.

C.

D.答案:B35.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,π2)關(guān)于直線l:ρcosθ=1的對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為______.答案:在直角坐標(biāo)系中,A(0,2),直線l:x=1,A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B(2,2).由于|OB|=22,OB直線的傾斜角等于π4,且點(diǎn)B在第一象限,故B的極坐標(biāo)為(22,π4),故為

(22,π4).36.不等式0.52x>0.5x-1的解集為______.答案:由于函數(shù)y=0.5x

是R上的減函數(shù),故由0.52x>0.5x-1可得2x<x-1,解得x<-1.故不等式0.52x>0.5x-1的解集為(-∞,-1),故為(-∞,-1).37.已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b⊥(a+λb),則實(shí)數(shù)λ的值是

______.答案:a+λb=(2,4)+λ(1,1)=(2+λ,4+λ).∵b⊥(a+λb),∴b?(a+λb)=0,即(1,1)?(2+λ,4+λ)=2+λ+4+λ=6+2λ=0,∴λ=-3.故:-338.已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a,b,求斜邊長(zhǎng)c的一個(gè)算法分下列三步:

①計(jì)算c=a2+b2;

②輸入直角三角形兩直角邊長(zhǎng)a,b的值;

③輸出斜邊長(zhǎng)c的值;

其中正確的順序是()A.①②③B.②③①C.①③②D.②①③答案:由算法規(guī)則得:第一步:輸入直角三角形兩直角邊長(zhǎng)a,b的值,第二步:計(jì)算c=a2+b2,第三步:輸出斜邊長(zhǎng)c的值;這樣一來,就是斜邊長(zhǎng)c的一個(gè)算法.故選D.39.設(shè)函數(shù)g(x)=ex

x≤0lnx,x>0,則g(g(12))=______.答案:g(g(12))

=g(ln12)

=eln12=12故為:12.40.從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PA,PB及一條割線PCD,A、B為切點(diǎn).求證:ACBC=ADBD.

答案:證明:∠CAP=∠ADP∠CPA=∠APD?△CAP∽△ADP?ACAD=APDP,①∠CBP=∠BDP∠CPB=∠BPD?△CBP∽△BDP?BCDB=BPDP,②又AP=BP,③由①②③知:ACAD=BCBD,故ACBC=ADBD.得證.41.不等式-x≤1的解集是(

)。答案:{x|0≤x≤2}42.(幾何證明選講)如圖,點(diǎn)A、B、C都在⊙O上,過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若AB=5,BC=3,CD=6,則線段AC的長(zhǎng)為______.答案:∵過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,∴DC是圓的切線,DBA是圓的割線,根據(jù)切割線定理得到DC2=DB?DA,∵AB=5,CD=6,∴36=DB(DB+5)∴DB=4,由題意知∠D=∠D,∠BCD=∠A∴△DBC∽△DCA,∴DCDA=BCCA∴AC=3×96=4.5,故為:4.543.如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,上底A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.

(Ⅰ)求證:B1B∥平面D1AC;

(Ⅱ)求二面角B1-AD1-C的余弦值.答案:以D為原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖,則有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).…(3分)(Ⅰ)證明:設(shè)AC∩BD=E,連接D1、E,則有E(1,1,0),D1E=B1B=(1,1,-2),所以B1B∥D1E,∵BB?平面D1AC,D1E?平面D1AC,∴B1B∥平面D1AC;…(6分)(II)D1B1=(1,1,0),D1A=(2,0,-2),設(shè)n=(x,y,z)為平面AB1D1的法向量,n?B1D1=x+y=0,n?D1A=2x-2z=0.于是令x=1,則y=-1,z=1.則n=(1,-1,1)…(8分)同理可以求得平面D1AC的一個(gè)法向量m=(1,1,1),…(10分)cos<m,n>=m?n|m||n|=13.∴二面角B1-AD1-C的余弦值為13.…(12分)44.已知兩直線的方程分別為l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它們?cè)谧鴺?biāo)系中的位置如圖所示()

A.b>0,d<0,a<c

B.b>0,d<0,a>c

C.b<0,d>0,a<c

D.b<0,d>0,a>c

答案:D45.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上()

A.k2+1

B.(k+1)2

C.

D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2答案:D46.ab>0,則①|(zhì)a+b|>|a|②|a+b|<|b|③|a+b|<|a-b|④|a+b|>|a-b|四個(gè)式中正確的是()

A.①②

B.②③

C.①④

D.②④答案:C47.下面為一個(gè)求20個(gè)數(shù)的平均數(shù)的程序,在橫線上應(yīng)填充的語句為()

A.i>20

B.i<20

C.i>=20

D.i<=20

答案:A48.已知圓C:x2+y2-4x-5=0.

(1)過點(diǎn)(5,1)作圓C的切線,求切線的方程;

(2)若圓C的弦AB的中點(diǎn)P(3,1),求AB所在直線方程.答案:由C:x2+y2-4x-5=0得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=9-----------(2分)(1)顯然x=5為圓的切線.------------------------(4分)另一方面,設(shè)過(5,1)的圓的切線方程為y-1=k(x-5),即kx-y+1-5k=0;所以d=|2k-5k+1|k2+1=3,解得k=-43于是切線方程為4x+3y-23=0和x=5.------------------------(7分)(2)設(shè)所求直線與圓交于A,B兩點(diǎn),其坐標(biāo)分別為(x1,y1)B(x2,y2)則有(x1-2)2+y21=9(x2-2)2+y22=9兩式作差得(x1+x2-4)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0--------------(10分)因?yàn)閳AC的弦AB的中點(diǎn)P(3,1),所以(x2+x1)=6,(y2+y1)=2

所以y2-y1x2-x1=-1,故所求直線方程為

x+y-4=0-----------------(14分)49.平面向量、的夾角為60°,=(2,0),=1,則=(

A.

B.

C.3

D.7答案:B50.若集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},則A∪B=______.答案:因?yàn)榧螦={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10},故為:{x|2<x<10}.第2卷一.綜合題(共50題)1.直角三角形兩直角邊邊長(zhǎng)分別為3和4,將此三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周,求得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.答案:根據(jù)題意,所求旋轉(zhuǎn)體由兩個(gè)同底的圓錐拼接而成它的底面半徑等于直角三角形斜邊上的高,高分別等于兩條直角邊在斜邊的射影長(zhǎng)∵兩直角邊邊長(zhǎng)分別為3和4,∴斜邊長(zhǎng)為32+42=5,由面積公式可得斜邊上的高為h=3×45=125可得所求旋轉(zhuǎn)體的底面半徑r=125因此,兩個(gè)圓錐的側(cè)面積分別為S上側(cè)面=π×125×4=48π5;S下側(cè)面=π×125×3=36π5∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S=48π5+36π5=84π5由錐體的體積公式,可得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=13π×(125)2×5=48π52.設(shè)向量a,b的夾角為60°的單位向量,則向量2a+b的模為()A.3B.7C.5D.3答案:|2a+b|=(2a+b)2=4a2+4a?b+b2=4+4×1×1×12+1=7故向量2a+b的模為7故選B3.若A是圓x2+y2=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A向y軸作垂線,垂足為B,則線段AB中點(diǎn)C的軌跡方程為()

A.x2+2y2=16

B.x2+4y2=16

C.2x2+y2=16

D.4x2+y2=16答案:D4.如圖是將二進(jìn)制數(shù)11111(2)化為十進(jìn)制數(shù)的一個(gè)程序框圖,判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A.i≤5B.i≤4C.i>5D.i>4答案:首先將二進(jìn)制數(shù)11111(2)化為十進(jìn)制數(shù),11111(2)=1×20+1×21+1×22+1×23+1×24=31,由框圖對(duì)累加變量S和循環(huán)變量i的賦值S=1,i=1,i不滿足判斷框中的條件,執(zhí)行S=1+2×S=1+2×1=3,i=1+1=2,i不滿足條件,執(zhí)行S=1+2×3=7,i=2+1=3,i不滿足條件,執(zhí)行S=1+2×7=15,i=3+1=4,i仍不滿足條件,執(zhí)行S=1+2×15=31,此時(shí)31是要輸出的S值,說明i不滿足判斷框中的條件,由此可知,判斷框中的條件應(yīng)為i>4.故選D.5.如圖是《集合》的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,如果要加入“子集”,那么應(yīng)該放在()

A.“集合”的下位

B.“含義與表示”的下位

C.“基本關(guān)系”的下位

D.“基本運(yùn)算”的下位

答案:C6.下列說法中正確的是()

A.若∥,則與向相同

B.若||<||,則<

C.起點(diǎn)不同,但方向相同且模相等的兩個(gè)向量相等

D.所有的單位向量都相等答案:C7.若已知A(1,1,1),B(-3,-3,-3),則線段AB的長(zhǎng)為()

A.4

B.2

C.4

D.3答案:A8.已知x1>0,x1≠1,且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1,(n=1,2,…).試證:數(shù)列{xn}或者對(duì)任意自然數(shù)n都滿足xn<xn+1,或者對(duì)任意自然數(shù)n都滿足xn>xn+1.答案:證:首先,xn+1-xn=xn(x2n+3)3x2n+1-xn=2xn(1-x2n)3x2n+1,由于x1>0,由數(shù)列{xn}的定義可知xn>0,(n=1,2,…)所以,xn+1-xn與1-xn2的符號(hào)相同.①假定x1<1,我們用數(shù)學(xué)歸納法證明1-xn2>0(n∈N)顯然,n=1時(shí),1-x12>0設(shè)n=k時(shí)1-xk2>0,那么當(dāng)n=k+1時(shí)1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2>0,因此,對(duì)一切自然數(shù)n都有1-xn2>0,從而對(duì)一切自然數(shù)n都有xn<xn+1②若x1>1,當(dāng)n=1時(shí),1-x12<0;設(shè)n=k時(shí)1-xk2<0,那么當(dāng)n=k+1時(shí)1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2<0,因此,對(duì)一切自然數(shù)n都有1-xn2<0,從而對(duì)一切自然數(shù)n都有xn>xn+19.若關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一個(gè)根在(-2,0)內(nèi),另一個(gè)根在(1,3)內(nèi),求a的取值范圍。答案:解:設(shè)f(x)=3x2-5x+a,則f(x)為開口向上的拋物線,如右圖所示,∵f(x)=0的兩根分別在區(qū)間(-2,0),(1,3)內(nèi),∴,即,解得-12<a<0,故所求a的取值范圍是{a|-12<a<0}。10.抽樣調(diào)查在抽取調(diào)查對(duì)象時(shí)()A.按一定的方法抽取B.隨意抽取C.全部抽取D.根據(jù)個(gè)人的愛好抽取答案:一般地,抽樣方法分為3種:簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣無論是哪種抽樣方法,都遵循機(jī)會(huì)均等的原理,即在抽樣過程中,各個(gè)體被抽到的概率是相等的.根據(jù)以上分析,可知只有A項(xiàng)符合題意.故選:A11.定義直線關(guān)于圓的圓心距單位λ為圓心到直線的距離與圓的半徑之比.若圓C滿足:①與x軸相切于點(diǎn)A(3,0);②直線y=x關(guān)于圓C的圓心距單位λ=2,試寫出一個(gè)滿足條件的圓C的方程______.答案:由題意可得圓心的橫坐標(biāo)為3,設(shè)圓心的縱坐標(biāo)為r,則半徑為|r|>0,則圓心的坐標(biāo)為(3,r).設(shè)圓心到直線y=x的距離為d,d=|3-r|2,則由題意可得λ=d|r|=2,求得r=1,或r=-3,故一個(gè)滿足條件的圓C的方程是(x-3)2+(y-1)2=1,故為(x-3)2+(y-1)2=112.用反證法證明命題“如果a>b,那么a3>b3“時(shí),下列假設(shè)正確的是()

A.a(chǎn)3<b3

B.a(chǎn)3<b3或a3=b3

C.a(chǎn)3<b3且a3=b3

D.a(chǎn)3>b3答案:B13.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),當(dāng)||取最小值時(shí),x的值等于(

A.

B.

C.

D.答案:C14.給出函數(shù)f(x)的一條性質(zhì):“存在常數(shù)M,使得|f(x)|≤M|x|對(duì)于定義域中的一切實(shí)數(shù)x均成立.”則下列函數(shù)中具有這條性質(zhì)的函數(shù)是()A.y=1xB.y=x2C.y=x+1D.y=xsinx答案:根據(jù)|sinx|≤1可知|y|=|xsinx|=|x||sinx|≤|x|永遠(yuǎn)成立故選D.15.口袋內(nèi)有100個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球,其中有45個(gè)紅球,從中摸出1個(gè)球,摸出白球的概率為0.23,則摸出黑球的概率為______.答案:∵口袋內(nèi)有100個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球從中摸出1個(gè)球,摸出白球的概率為0.23,∴口袋內(nèi)白球數(shù)為32個(gè),又∵有45個(gè)紅球,∴為32個(gè).從中摸出1個(gè)球,摸出黑球的概率為32100=0.32故為0.3216.向量b與a=(2,-1,2)共線,且a?b=-18,則b的坐標(biāo)為______.答案:因?yàn)橄蛄縝與a=(2,-1,2)共線,所以設(shè)b=ma,因?yàn)榍襛?b=-18,所以ma2=-18,因?yàn)閨a|=22+1+22=3,所以m=-2.所以b=ma=-2(2,-1,2)=(-4,2,-4).故為:(-4,2,-4).17.直線(x+1)a+(y+1)b=0與圓x2+y2=2的位置關(guān)系是______.答案:直線(x+1)a+(y+1)b=0化為ax+by+(a+b)=0,所以圓心點(diǎn)到直線的距離d=|a+b|a2+b2=a2+b2+2aba2+b2≤2(a2+b2)a2+b2=2.所以直線(x+1)a+(y+1)b=0與圓x2+y2=2的位置關(guān)系是:相交或相切.故為:相交或相切.18.如果雙曲線的焦距為6,兩條準(zhǔn)線間的距離為4,那么該雙曲線的離心率為()

A.

B.

C.

D.2答案:C19.2012年3月2日,國(guó)家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定:居民區(qū)的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米,PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米.

某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:

組別PM2.5濃度

(微克/立方米)頻數(shù)(天)頻率

第一組(0,25]50.25第二組(25,50]100.5第三組(50,75]30.15第四組(75,100)20.1(Ⅰ)從樣本中PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過50微克/立方米的5天中,隨機(jī)抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過75微克/立方米的概率;

(Ⅱ)求樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,從PM2.5的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)?說明理由.答案:(Ⅰ)

設(shè)PM2.5的24小時(shí)平均濃度在(50,75]內(nèi)的三天記為A1,A2,A3,PM2.5的24小時(shí)平均濃度在(75,100)內(nèi)的兩天記為B1,B2.所以5天任取2天的情況有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共10種.

…(4分)其中符合條件的有:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共6種.

…(6分)所以所求的概率P=610=35.

…(8分)(Ⅱ)去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為:12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40(微克/立方米).…(10分)因?yàn)?0>35,所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn),故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn).

…(12分)20.每一噸鑄鐵成本y

(元)與鑄件廢品率x%建立的回歸方程y=56+8x,下列說法正確的是()A.廢品率每增加1%,成本每噸增加64元B.廢品率每增加1%,成本每噸增加8%C.廢品率每增加1%,成本每噸增加8元D.如果廢品率增加1%,則每噸成本為56元答案:∵回歸方程y=56+8x,∴當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),對(duì)應(yīng)的y要增加8個(gè)單位,這里是平均增加8個(gè)單位,故選C.21.如圖,花園中間是噴水池,噴水池周圍的A、B、C、D區(qū)域種植草皮,要求相鄰的區(qū)域種不同顏色的草皮,現(xiàn)有4種不同顏色的草皮可供選用,則共有______種不同的種植方法(以數(shù)字作答).答案:若AD相同,有4×(3+3×2)種種植方法,若AD不同,有4×3×(2+2×1)種種植方法∴共有4×(3+3×2)+4×3×(2+2×1)=36+48=84種不同方法.故為84.22.已知實(shí)數(shù)x、y滿足(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=6,則2x+y的最大值等于______.答案:∵實(shí)數(shù)x、y滿足(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=6,∴點(diǎn)(x,y)的軌跡是橢圓,其方程為x29+y25=1,所以可設(shè)x=3cosθ,y=5sinθ,則z=6cosθ+5sinθ=41sin(θ+

β)≤41,∴2x+y的最大值等于41.故為:4123.若直線

3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為()

A.-1

B.1

C.3

D.-3答案:B24.設(shè)某批產(chǎn)品合格率為,不合格率為,現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行測(cè)試,設(shè)第ε次首次取到正品,則P(ε=3)等于()

A.

B.

C.

D.答案:C25.隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布ξ~B(n,p),且Eξ=300,Dξ=200,則p等于()

A.

B.0

C.1

D.答案:D26.已知圓的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,則點(diǎn)P(3,2)滿足()

A.是圓心

B.在圓上

C.在圓內(nèi)

D.在圓外答案:C27.若事件與相互獨(dú)立,且,則的值等于A.B.C.D.答案:B解析:事件“”表示的意義是事件與同時(shí)發(fā)生,因?yàn)槎呦嗷オ?dú)立,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得:.28.若數(shù)據(jù)x1,x2,x3…xn的平均數(shù).x=5,方差σ2=2,則數(shù)據(jù)3x1+1,3x2+1,3x3+1…,3xn+1的方差為______.答案:∵x1,x2,x3,…,xn的方差為2,∴3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的方差是32×2=18.故為:18.29.如圖⊙0的直徑AD=2,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙0,直線MN切⊙0于點(diǎn)B,∠MBA=30°,則AB的長(zhǎng)為______.答案:連BD,則∠MBA=∠ADB=30°,在直角三角形ABD中sin30°=ABAD,∴AB=12×2=1故為:130.如圖,已知Rt△ABC的兩條直角邊AC,BC的長(zhǎng)分別為3cm,4cm,以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,則BD=______cm.答案:∵易知AB=32+42=5,又由切割線定理得BC2=BD?AB,∴42=BD?5∴BD=165.故為:16531.已知拋物線方程為y2=2px(p>0),過該拋物線焦點(diǎn)F且不與x軸垂直的直線AB交拋物線于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A,點(diǎn)B分別作AM,BN垂直于拋物線的準(zhǔn)線,分別交準(zhǔn)線于M,N兩點(diǎn),那么∠MFN必是()

A.銳角

B.直角

C.鈍角

D.以上皆有可能答案:B32.(幾何證明選講選做題)

如圖,已知AB是⊙O的一條弦,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),PC⊥OP,PC交⊙O于C,若AP=4,PB=2,則PC的長(zhǎng)是______.答案:∵AB是⊙O的一條弦,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),PC⊥OP,PC交⊙O于C,∴AP×PB=PC2,∵AP=4,PB=2,∴PC2=8,解得PC=22.故為:22.33.下列說法中正確的有()

①平均數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,中位數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)影響;

②拋擲兩枚硬幣,出現(xiàn)“兩枚都是正面朝上”、“兩枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬幣正面朝上”的概率一樣大

③用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的過程中,樣本容量越大,估計(jì)越準(zhǔn)確.

④向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn),如果該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的,則該隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型是古典概型.A.①②B.③C.③④D.④答案:中位數(shù)數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,平均數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)影響,故①不正確,拋擲兩枚硬幣,出現(xiàn)“兩枚都是正面朝上”的概率是14“兩枚都是反面朝上的概率是14、“恰好一枚硬幣正面朝上的概率是12”,故②不正確,用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的過程中,樣本容量越大,估計(jì)越準(zhǔn)確.正確向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn),如果該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的,則該隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型是幾何概型,故④不正確,故選B.34.1

甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件,已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為

(1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率;

(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn),求至少有一個(gè)一等品的概率.答案:見解析解析:解:(1)設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件①②③35.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)取得最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()

A.(,,)

B.(,,)

C.(,,)

D.(,,)答案:C36.(x+1)4的展開式中x2的系數(shù)為()A.4B.6C.10D.20答案:(x+1)4的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C4rxr令r=2得T3=C42x2=6x∴展開式中x2的系數(shù)為6故選項(xiàng)為B37.設(shè)a=0.7,b=0.8,c=log30.7,則()

A.c<b<a

B.c<a<b

C.a(chǎn)<b<c

D.b<a<c答案:B38.過點(diǎn)A(3,5)作圓C:(x-2)2+(y-3)2=1的切線,則切線的方程為______.答案:由圓的一般方程可得圓的圓心與半徑分別為:(2,3);1,當(dāng)切線的斜率存在,設(shè)切線的斜率為k,則切線方程為:kx-y-3k+5=0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得:|2k-3-3k+5|k2+1=1解得:k=-34,所以切線方程為:3x+4y-29=0;當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),直線為:x=3,滿足圓心(2,3)到直線x=3的距離為圓的半徑1,x=3也是切線方程;故為:3x+4y-29=0或x=3.39.為了了解學(xué)校學(xué)生的身體發(fā)育情況,抽查了該校100名高中男生的體重情況,根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示,根據(jù)此圖,估計(jì)該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)為()

A.300B.350C.420D.450答案:∵由圖得,∴70.5公斤以上的人數(shù)的頻率為:(0.04+0.035+0.016)×2=0.181,∴70.5公斤以上的人數(shù)為2000×0.181=362,故選B40.已知P為拋物線y2=4x上一點(diǎn),設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d1,P到點(diǎn)A(1,4)的距離為d2,則d1+d2的最小值為______.答案:∵y2=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)根據(jù)拋物線定義可知P到準(zhǔn)線的距離為d1=|PF|d1+d2=|PF|+|PA|進(jìn)而可知當(dāng)A,P,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),d1+d2的最小值=|AF|=4故為441.某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.答案:由莖葉圖可知樣本數(shù)據(jù)共有8個(gè),按照從小到大的順序?yàn)椋?7,89,90,91,92,93,94,96.出現(xiàn)在中間兩位的數(shù)據(jù)是91,92.所以樣本的中位數(shù)是(91+92)÷2=91.5,故為:91.542.如圖,△ABC中,D,E,F(xiàn)分別是邊BC,AB,CA的中點(diǎn),在以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線段中所表示的向量中,

(1)與向量FE共線的有

______.

(2)與向量DF的模相等的有

______.

(3)與向量ED相等的有

______.答案:(1)∵EF是△ABC的中位線,∴EF∥BC且EF=12BC,則與向量FE共線的向量是BC、BD、DC、CB、DB、CD;(2))∵DF是△ABC的中位線,∴DF∥AC且DF=12AC,則與向量DF的模相等的有CE,EA,EC,AF;(3)∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥AB且DE=12AB,則與向量ED相等的有AF,F(xiàn)B.43.已知正三角形的外接圓半徑為63cm,求它的邊長(zhǎng).答案:設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a,則12a=Rcos30°=63?32=9(cm)∴a=18(cm).它的邊長(zhǎng)為18cm.44.如圖,有兩條相交成π3角的直線EF,MN,交點(diǎn)是O.一開始,甲在OE上距O點(diǎn)2km的A處;乙在OM距O點(diǎn)1km的B處.現(xiàn)在他們同時(shí)以2km/h的速度行走.甲沿EF的方向,乙沿NM的方向.設(shè)與OE同向的單位向量為e1,與OM同向的單位向量為e2.

(1)求e1,e2;

(2)若過2小時(shí)后,甲到達(dá)C點(diǎn),乙到達(dá)D點(diǎn),請(qǐng)用e1,e2表示CD;

(3)若過t小時(shí)后,甲到達(dá)G點(diǎn),乙到達(dá)H點(diǎn),請(qǐng)用e1,e2表示GH;

(4)什么時(shí)間兩人間距最短?答案:(1)由題意可得e1=12OA,e2=OB,(2)若過2小時(shí)后,甲到達(dá)C點(diǎn),乙到達(dá)D點(diǎn),則OC=-2e1,OD=5e2,故CD=OD-OC=2e1+5e2,(3)同(2)可得:經(jīng)過t小時(shí)后,甲到達(dá)G點(diǎn),乙到達(dá)H點(diǎn),則OG=(-2t+2)e1,OH=(2t+1)e2,故GH=OH-OG=(2t-2)e1+(2t+1)e2,(4)由(3)可得GH=(2t-2)e1+(2t+1)e2,故兩人間距離y=|GH|=[(2t-2)e1+(2t+1)e2]2=(2t-2)2+(2t+1)2+2(2t-2)(2t+1)×12=12t2-6t+3,由二次函數(shù)的知識(shí)可知,當(dāng)t=--62×12=14時(shí),上式取到最小值32,故14時(shí)兩人間距離最短.45.方程2x2+ky2=1表示的曲線是長(zhǎng)軸在y軸的橢圓,則實(shí)數(shù)k的范圍是()A.(0,+∞)B.(2,+∞)C.(0,2)D.(2,0)答案:橢圓方程化為x212+y21k=1.焦點(diǎn)在y軸上,則1k>12,即k<2.又k>0,∴0<k<2.故選C.46.已知隨機(jī)變量X滿足D(X)=2,則D(3X+2)=()

A.2

B.8

C.18

D.20答案:C47.設(shè)向量=(0,2),=,則,的夾角等于(

A.

B.

C.

D.答案:A48.某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人,中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍.為了解職工身體狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中的老年職工人數(shù)為()

A.9

B.18

C.27

D.36答案:B49.在線性回歸模型y=bx+a+e中,下列說法正確的是()A.y=bx+a+e是一次函數(shù)B.因變量y是由自變量x唯一確定的C.隨機(jī)誤差e是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的,可以通過精確計(jì)算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生D.因變量y除了受自變量x的影響外,可能還受到其它因素的影響,這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生答案:線性回歸是利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析,來確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法之一,分析按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型,可分為線性回歸分析和非線性回歸分析.A不正確,根據(jù)線性回歸方程做出的y的值是一個(gè)預(yù)報(bào)值,不是由x唯一確定,故B不正確,隨機(jī)誤差不是由于計(jì)算不準(zhǔn)造成的,故C不正確,y除了受自變量x的影響之外還受其他因素的影響,故D正確,故選D.50.設(shè)集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤1},那么“a∈M”是“a∈N”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案:B第3卷一.綜合題(共50題)1.已知兩條直線l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a為實(shí)數(shù),當(dāng)這兩條直線的夾角在(0,)內(nèi)變動(dòng)時(shí),a的取值范圍是(

A.(0,1)

B.

C.

D.答案:C2.如圖,I表示南北方向的公路,A地在公路的正東2km處,B地在A地北偏東60°方向2km處,河流沿岸PQ(曲線)上任一點(diǎn)到公路l和到A地距離相等,現(xiàn)要在河岸PQ上選一處M建一座碼頭,向A,B兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物,經(jīng)測(cè)算從M到A,B修建公路的費(fèi)用均為a萬元/km,那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是(單位萬元)()

A.(2+)a

B.5a

C.2(+1)a

D.6a

答案:B3.如圖示程序運(yùn)行后的輸出結(jié)果為______.答案:該程序的作用是求數(shù)列ai=2i+3中滿足條件的ai的值∵最終滿足循環(huán)條件時(shí)i=9∴ai的值為21故為:214.設(shè)m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是()

A.若m∥n,m∥α,則n∥α

B.若α⊥β,m∥α,則m⊥β

C.若α⊥β,m⊥β,則m∥α

D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,則α⊥β答案:D5.設(shè)x,y,z∈R,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,則x+y+z=______.答案:根據(jù)柯西不等式,得(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2)當(dāng)且僅當(dāng)x1=y2=z3時(shí),上式的等號(hào)成立∵x2+y2+z2=1,∴(x+2y+3z)2≤14,結(jié)合x+2y+3z=14,可得x+2y+3z恰好取到最大值14∴x1=y2=z3=1414,可得x=1414,y=147,z=31414因此,x+y+z=1414+147+31414=3147故為:31476.如圖,CD是⊙O的直徑,AE切⊙O于點(diǎn)B,連接DB,若∠D=20°,則∠DBE的大小為()

A.20°

B.40°

C.60°

D.70°答案:D7.某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸,每次都購(gòu)買x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x=______噸.答案:某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸,每次都購(gòu)買x噸,則需要購(gòu)買400x次,運(yùn)費(fèi)為4萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為400x?4+4x萬元,400x?4+4x≥2(400x×4)×4x=160,當(dāng)且僅當(dāng)1600x=4x即x=20噸時(shí),等號(hào)成立即每次購(gòu)買20噸時(shí),一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最?。蕿椋?0.8.不等式≥0的解集為[-2,3∪[7,+∞,則a-b+c的值是(

)A.2B.-2C.8D.6答案:B解析:∵-a、b的值為-2,7中的一個(gè),x≠c

c=3∴a-b=-(b-a)=-(-2+7)=-5a-b+c=-5+3=-2

選B評(píng)析:考察考生對(duì)不等式解集的結(jié)構(gòu)特征的理解,關(guān)注不等式中等號(hào)與不等號(hào)的關(guān)系。9.已知平面上的向量PA、PB滿足|PA|2+|PB|2=4,|AB|=2,設(shè)向量PC=2PA+PB,則|PC|的最小值是

______.答案:|PA|2+|PB|2=4,|AB|=2∴|PA|2+|PB|2=|AB|2∴PA?PB=0∴PC2=4PA2+4PA?PB+PB2=3PA2+4≥4∴|PC|≥2故為2.10.(Ⅰ)已知z∈C,且|z|-i=.z+2+3i(i為虛數(shù)單位),求復(fù)數(shù)z2+i的虛部.

(Ⅱ)已知z1=a+2i,z2=3-4i(i為虛數(shù)單位),且z1z2為純虛數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.答案:(Ⅰ)設(shè)z=x+yi,代入方程|z|-i=.z+2+3i,得出x2+y2-i=x-yi+2+3i=(x+2)+(3-y)i,故有x2+y2=x+23-y=-1,解得x=3y=4,∴z=3+4i,復(fù)數(shù)z2+i=3+4i2+i=2+i,虛部為1(Ⅱ)z1z2=a+2i3-4i=3a-8+(4a+6)i25,且z1z2為純虛數(shù)則3a-8=0,且4a+6≠0,解得a=8311.下列各組向量中,可以作為基底的是()A.e1=(0,0),e2=(-2,1)B.e1=(4,6),e2=(6,9)C.e1=(2,-5),e2=(-6,4)D.e1=(2,-3),e2=(12,-34)答案:A、中的2個(gè)向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例,0-2=01,所以,這2個(gè)向量是共線向量,故不能作為基底.B、中的2個(gè)向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例,46=69,所以,這2個(gè)向量是共線向量,故不能作為基底.C中的2個(gè)向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例,2-6≠-54,所以,這2個(gè)向量不是共線向量,故可以作為基底.D、中的2個(gè)向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例,212=-3-34,這2個(gè)向量是共線向量,故不能作為基底.故選C.12.已知F1、F2為橢圓x225+y216=1的左、右焦點(diǎn),若M為橢圓上一點(diǎn),且△MF1F2的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于3π,則滿足條件的點(diǎn)M有

()個(gè).A.0B.1C.2D.4答案:設(shè)△MF1F2的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓的半徑等于r,則由題意可得2πr=3π,∴r=32.由橢圓的定義可得

MF1+MF2=2a=10,又2c=6,∴△MF1F2的面積等于12

(MF1+MF2+2c)r=8r=12.又△MF1F2的面積等于12

2cyM=12,∴yM=4,故M是橢圓的短軸頂點(diǎn),故滿足條件的點(diǎn)M有2個(gè),故選

C.13.將y=sin2x的圖象向右按作最小的平移,使平移后的圖象在[k,k+](kz)上遞減,試求平移后的函數(shù)解析式和.答案:y=-cos2x,

=(,0)解析:將y=sin2x的圖象向右按作最小的平移,使平移后的圖象在[k,k+](kz)上遞減,試求平移后的函數(shù)解析式和.14.點(diǎn)P1,P2是線段AB的2個(gè)三等分點(diǎn),若P∈{P1,P2},則P分有線段AB的比λ的最大值和最小值分別為()

A.3,

B.3,

C.2,

D.2,1答案:C15.點(diǎn)(1,2)到原點(diǎn)的距離為()

A.1

B.5

C.

D.2答案:C16.設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1),如果f(x1+x2+…+x2009)=8,那么f(2x1)×f(2x2)×…×f(2x2009)的值等于()A.32B.64C.16D.8答案:f(x1+x2+…+x2009)=8可得ax1+x2+…+x2009=8f(2x1)×f(2x2)×…×f(2x2009)=a2(x1+x2+…+x2009)=82=64故選B.17.中,是邊上的中線(如圖).

求證:.

答案:證明見解析解析:取線段所在的直線為軸,點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.可得,,,.,..18.下列有關(guān)相關(guān)指數(shù)R2的說法正確的有()

A.R2的值越大,說明殘差平方和越小

B.R2越接近1,表示回歸效果越差

C.R2的值越小,說明殘差平方和越小

D.如果某數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析,一般選擇R2小的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型答案:A19.計(jì)算:x10÷x5=______.答案:根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):x10÷x5=x5故為:x520.若不共線的平面向量,,兩兩所成角相等,且||=1,||=1,||=3,則|++|等于(

A.2

B.5

C.2或5

D.或答案:A21.設(shè)a、b為單位向量,它們的夾角為90°,那么|a+3b|等于______.答案:∵a,b它們的夾角為90°∴a?b=0∴(a+3b)2=a2+6a?b+9b2=10∴|a+3b|=10故為1022.兩平行直線5x+12y+3=0與10x+24y+5=0間的距離是

______.答案:∵兩平行直線

ax+by+m=0

ax+by+n=0間的距離是|m-n|a2+b2,5x+12y+3=0即10x+24y+6=0,∴兩平行直線5x+12y+3=0與10x+24y+5=0間的距離是|5-6|102+242=1576=126.故為126.23.若長(zhǎng)方體的三個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)分別是a,b,c,則長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為()A.a(chǎn)2+b2+c2B.12a2+b2+c2C.22a2+b2+c2D.32a2+b2+c2答案:解析:設(shè)同一頂點(diǎn)的三條棱分別為x,y,z,則x2+y2=a2,y2+z2=b2,x2+z2=c2得x2+y2+z2=12(a2+b2+c2),則對(duì)角線長(zhǎng)為12(a2+b2+c2)=22a2+b2+c2.故選C.24.已知a、b是不共線的向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是______.答案:由于AB,AC有公共點(diǎn)A,∴若A、B、C三點(diǎn)共線則AB與AC共線即存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使AB=tAC即λ=at1=μt消去參數(shù)t得:λμ=1反之,當(dāng)λμ=1時(shí)AB=1μa+b此時(shí)存在實(shí)數(shù)1μ使AB=1μAC故AB與AC共線又由AB,AC有公共點(diǎn)A,∴A、B、C三點(diǎn)共線故A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是λμ=125.已知直線l的參數(shù)方程為x=-4+4ty=-1-2t(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=22cos(θ+π4),則圓心C到直線l的距離是______.答案:直線l的普通方程為x+2y+6=0,圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y=0.所以圓心C(1,-1)到直線l的距離d=|1-2+6|5=5.故為5.26.已知:|.a|=1,|.b|=2,<a,b>=60°,則|a+b|=______.答案:由題意|a+b|2=(a+b)2=a2+2b?a+b2=1+4+2×2×1×cos<a,b>=5+2=7∴|a+b|=7故為727.(1)在數(shù)軸上求一點(diǎn)的坐標(biāo),使它到點(diǎn)A(9)與到點(diǎn)B(-15)的距離相等;

(2)在數(shù)軸上求一點(diǎn)的坐標(biāo),使它到點(diǎn)A(3)的距離是它到點(diǎn)B(-9)的距離的2倍.答案:(1)設(shè)該點(diǎn)為M(x),根據(jù)題意,得A、M兩點(diǎn)間的距離為d(A,M)=|x-9|,B、M兩點(diǎn)間的距離為d(M,B)=|-15-x|,結(jié)合題意,可得|x-9|=|-15-x|,∴x-9=15+x或x-9=-15-x,解之得x=-3,得M的坐標(biāo)為-3故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為-3.(2)設(shè)該點(diǎn)為N(x'),則A、N兩點(diǎn)間的距離為d(A,N)=|x'-3|,B、N兩點(diǎn)間的距離為d(N,B)=|-9-x'|,根據(jù)題意有|x'-3|=2|9+x'|,∴x'-3=18+2x'或x'-3=-18-2x',解之得x'=-21,或x'=-5.故所求點(diǎn)的坐標(biāo)是-21或-5.28.已知某離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=76,ξ的分布列如下,則a=______.

答案:∵Eξ=76=0×a+1×13+2×16+3b∴b=16,∵P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1∴a+13+16+16=1∴a=13.故為:1329.函數(shù)y=ax+b和y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)的圖象只可能是()A.

B.

C.

D.

答案:對(duì)于A:函數(shù)y=ax+b遞增可得a>0,0<b<1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0故A正確對(duì)于B:函數(shù)y=ax+b遞增可得a>0,b>1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0,矛盾,故B不正確對(duì)于C:函數(shù)y=ax+b遞減可得a<0,0<b<1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0,矛盾,故C不正確對(duì)于D:函數(shù)y=ax+b遞減可得a<0,b>1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞增可得b>1且a>0,矛盾,故D不正確故選A30.由1、2、3可以組成______個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù).答案:沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)共有3×2=6個(gè)故為:631.如圖,一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,俯視圖是一個(gè)圓,那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為()A.π4B.5π4C.πD.3π2答案:此幾何體是一個(gè)底面直徑為1,高為1的圓柱底面周長(zhǎng)是2π×12=π故側(cè)面積為1×π=π故選C32.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)F

是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ)試確定點(diǎn)F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;

(Ⅱ)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),求二面角C1-EF-A的余弦值以及BA1與面C1EF所成的角的大?。鸢福海↖)由題意可得:以A為原點(diǎn),分別以直線AB、AD、AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,且DF=x,則A1(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,12,0),F(xiàn)(x,1,0)所以D1E=(1,-12,-1),AB1=(1,0,1),AF=(x,1,0)由D1E⊥面AB1F?D1E⊥AB1且D1E⊥AF,所以D1E?AB1=0D1E?AF=0,可解得x=12所以當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí),D1E⊥平面AB1F.(II)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),F(xiàn)是CD的中點(diǎn),F(xiàn)(12,1,0)由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得:平面AEF的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),設(shè)平面C1EF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),在平面C1EF中,EC1=(0,12,1),EF=(-12,12,0),所以EC1?n=0EF?n

=0,即y=-2zx=y,所以取平面C1EF的一個(gè)法向量為n=(2,2,-1),所以cos<m,n>=-13,所以<m,n>=π-arccos13,又因?yàn)楫?dāng)把m,n都移向這個(gè)二面角內(nèi)一點(diǎn)時(shí),m背向平面AEF,而n指向平面C1EF,所以二面角C1-EF-A的大小為π-arccos13又因?yàn)锽A1=(-1,0,1),所以cos<BA1,n>=-22,所以<BA1,n>=135°,∴BA1與平面C1EF所成的角的大小為45°.33.要使直線y=kx+1(k∈R)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x27+y2a=1總有公共點(diǎn),實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.答案:要使方程x27+y2a=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,需a<7,由直線y=kx+1(k∈R)恒過定點(diǎn)(0,1),所以要使直線y=kx+1(k∈R)與橢圓x27+y2a=1總有公共點(diǎn),則(0,1)應(yīng)在橢圓上或其內(nèi)部,即a>1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,7).故為[1,7).34.已知空間四邊形OABC,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示向量MN為()A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.-12a+12b+12cD.-12a+12b-12c答案:如圖所示,連接ON,AN,則ON=12(OB+OC)=12(b+c),AN=12(AC+AB)=12(O

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