新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題33 單變量不等式能成立之參變分離法 (教師版)_第1頁(yè)
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(1)曲線y＝f(x)在x＝e處的切線與直線l平行，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若至少存在一個(gè)x0∈[1，e]，使f(x0)＜g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)k∈Z，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象恒在直線l的上方，求k的最大值．7．解析(1)由已知得f′(x)＝lnx＋1，且f′(e)＝lne＋1＝2＝k－3，解得k＝5．(2)因?yàn)橹辽俅嬖谝粋€(gè)x0∈[1，e]，使f(x0)＜g(x0)成立，所以至少存在一個(gè)x0∈[1，e]，使x0lnx0＜eq\f(axeq\o\al(2,0),2)成立，即至少存在一個(gè)x0∈[1，e]，使a＞eq\f(2lnx0,x0)成立．令h(x)＝eq\f(2lnx,x)，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，h′(x)＝eq\f(2(1－lnx),x2)≥0恒成立，因此h(x)＝eq\f(2lnx,x)在[1，e]上單調(diào)遞增．故當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)min＝0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，＋∞)．(3)由已知得，xlnx＞(k－3)x－k＋2在(1，＋∞)上恒成立，即k＜eq\f(xlnx＋3x－2,x－1)在(1，＋∞)上恒成立，令F(x)＝eq\f(xlnx＋3x－2,x－1)，則F′(x)＝eq\f(x－lnx－2,(x－1)2)，令m(x)＝x－lnx－2，則m′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以m(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且m(3)＝1－ln3＜0，m(4)＝2－ln4＞0，所以在(1，＋∞)上存在唯一實(shí)數(shù)x0(x0∈(3，4))使m(x0)＝0，即x0－lnx0－2＝0．當(dāng)1＜x＜x0時(shí)，m(x)＜0，即F′(x)＜0，當(dāng)x＞x0時(shí)，m(x)＞0，即F′(x)＞0，所以F(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，故F(x)min＝F(x0)＝eq\f(x0lnx0＋3x0－2,x0－1)＝eq\f(x0(x0－2)＋3x

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