江蘇專用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量84直線平面垂直的判定與性質(zhì)課件理

§8.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面α內(nèi)的

直線都垂直，則直線l與平面α垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理知識梳理

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條

直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面?l⊥α相交a，b?αa∩b＝Ol⊥al⊥b任意一條性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線____?a∥b平行a⊥αb⊥α2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線與

所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它們所成的角是

，若一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是

的角.(2)范圍：[0，].它在這個平面內(nèi)的射影直角0°3.平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的

所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作

的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定義如果兩個平面所成的二面角是

，就說這兩個平面互相垂直.兩個半平面垂直于棱直二面角

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條

，那么這兩個平面互相垂直?α⊥β(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理垂線性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們

的直線垂直于另一個平面?l⊥α交線知識拓展重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(

)(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.(

)(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(

)(4)若α⊥β，a⊥β?a∥α.(

)(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直.(

)××√×√考點(diǎn)自測1.(教材改編)下列命題中正確的是________.①如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β；②如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β；③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β；④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.答案解析②③④根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，知①不正確，直線l可能平行平面β，也可能在平面β內(nèi)，②③④正確.2.設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的____________條件.答案解析充分不必要若α⊥β，因為α∩β＝m，b?β，b⊥m，所以根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反過來，當(dāng)a∥m時，因為b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β.3.(2016·宿遷質(zhì)檢)對于四面體ABCD，給出下列四個命題：①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.其中為真命題的是________.答案解析①④①如圖，取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD.④設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影為O，連結(jié)BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O為△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.4.(2016·徐州模擬)α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三個論斷作為條件，剩余的一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：___________________________________.答案可填①③④?②與②③④?①中的一個5.(教材改編)在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.(1)若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的____心.答案解析外如圖1，連結(jié)OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的____心.垂答案解析如圖2，延長AO，BO，CO，分別交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高.同理可證BD，AH為△ABC底邊上的高，即O為△ABC的垂心.題型分類深度剖析題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1

如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝

，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.OD′＝.證明：D′H⊥平面ABCD.證明由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得

，故AC∥EF.因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝

＝4.由EF∥AC得.所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF?平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD.證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2015·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E.求證：(1)DE∥平面AA1C1C；證明由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC.又因為DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)BC1⊥AB1.證明因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因為BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因為AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因為AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2

如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn).(1)求證：CE∥平面PAD；證明方法一取PA的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，DH.又E為PB的中點(diǎn)，所以EH綊

AB.又CD綊

AB，所以EH綊CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD.所以CE∥平面PAD.方法二連結(jié)CF.因為F為AB的中點(diǎn)，所以AF＝

AB.又CD＝

AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF∥AD，又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD.因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD.因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.證明因為E、F分別為PB、AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又因為AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG.又因為EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因為M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因為MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1.在本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC.證明因為AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN?平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.2.在本例條件下，證明：平面EFG∥平面PAC.證明因為E，F(xiàn)，G分別為PB，AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥PA，F(xiàn)G∥AC，又EF?平面PAC，PA?平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理，F(xiàn)G∥平面PAC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).(2)在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；證明由已知，DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.證明在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1?平面ABB1A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，A1F，A1C1?平面A1C1F，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D?平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.題型三垂直關(guān)系中的探索性問題例3

如圖，在三棱臺ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)設(shè)平面ACE∩平面DEF＝a，求證：DF∥a；證明在三棱臺ABC－DEF中，AC∥DF，AC?平面ACE，DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)若EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，請確定G點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.解答線段BE上存在點(diǎn)G，且BG＝

BE，使得平面DFG⊥平面CDE.證明如下：取CE的中點(diǎn)O，連結(jié)FO并延長交BE于點(diǎn)G，連結(jié)GD，GF∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱臺ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF.由CF⊥平面DEF?CF⊥DE.又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.?GF⊥平面CDE.又GF?平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.此時，如平面圖所示，延長CB，F(xiàn)G交于點(diǎn)H，∵O為CE的中點(diǎn)，EF＝CF＝2BC，由平面幾何知識易證△HOC≌△FOE，∴HB＝BC＝

EF.由△HGB∽△FGE可知

，即BG＝

BE.同“平行關(guān)系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2016·北京東城區(qū)模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點(diǎn).AB＝BC，AC＝2，AA1＝.(1)求證：B1C∥平面A1BM；證明連結(jié)AB1與A1B，兩線交于O點(diǎn)，連結(jié)OM，在△B1AC中，∵M(jìn)，O分別為AC，AB1中點(diǎn)，∴OM∥B1C，又∵OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM.(2)求證：AC1⊥平面A1BM；證明∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC，∴AA1⊥BM，又∵M(jìn)為棱AC中點(diǎn)，AB＝BC，∴BM⊥AC.∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，∴BM⊥AC1.又∵AA1＝

，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝.∴∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，∴A1M⊥AC1.∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.∵AC＝2，∴AM＝1.(3)在棱BB1上是否存在點(diǎn)N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時

的值；如果不存在，請說明理由.解答當(dāng)點(diǎn)N為BB1中點(diǎn)，即

時，證明如下：設(shè)AC1中點(diǎn)為D，連結(jié)DM，DN.∵D，M分別為AC1，AC中點(diǎn)，∴DM∥CC1，且DM＝

CC1.又∵N為BB1中點(diǎn)，∴DM∥BN，且DM＝BN，∴MBND為平行四邊形，∴BM∥DN，∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1.又∵DN?平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.平面AC1N⊥平面AA1C1C.典例

(14分)如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點(diǎn).求證：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.立體幾何證明問題中的轉(zhuǎn)化思想思想方法系列17規(guī)范解答思想方法指導(dǎo)(1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；(2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ).證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；(3)證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規(guī)范.返回證明

(1)如圖所示，連結(jié)NK.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分]∵N，K分別為CD，C1D1的中點(diǎn)，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四邊形DD1KN為平行四邊形，

[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四邊形AA1KN為平行四邊形，∴AN∥A1K. [4分]∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK，∴AN∥平面A1MK. [6分](2)如圖所示，連結(jié)BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M(jìn)，K分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四邊形BC1KM為平行四邊形，∴MK∥BC1. [8分]在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵M(jìn)K∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C. [12分]∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵M(jìn)K?平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]返回課時作業(yè)1.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直線l，則下列命題正確的有_____.①垂直于平面β的平面一定平行于平面α；②垂直于直線l的直線一定垂直于平面α；③垂直于平面β的平面一定平行于直線l；④垂直于直線l的平面一定與平面α，β都垂直.④對于①，垂直于平面β的平面與平面α平行或相交，故①錯誤；對于②，垂直于直線l的直線與平面α垂直、斜交、平行或在平面α內(nèi)，故②錯誤；對于③，垂直于平面β的平面與直線l平行或相交，故③錯誤；易知④正確.答案解析123456789101112132.(2016·常州模擬)設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是_____.①若m⊥n，n∥α，則m⊥α；

②若m∥β，β⊥α，則m⊥α；③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α；

④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α.答案解析③①中，由m⊥n,n∥α，可得m?α或m∥α或m與α相交，錯誤；②中，由m∥β，β⊥α，可得m?α或m∥α或m與α相交，錯誤；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，則m⊥α，正確；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m與α相交或m?α或m∥α，錯誤.123456789101112133.(2016·無錫模擬)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線_____上.答案解析AB由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上.123456789101112134.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點(diǎn)，則下列敘述正確的是____.①CC1與B1E是異面直線；②AC⊥平面ABB1A1；③AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.答案解析③12345678910111213①不正確，因為CC1與B1E在同一個側(cè)面中，故不是異面直線；②不正確，由題意知，上底面ABC是一個正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；③正確，因為AE，B1C1為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線；④不正確，因為A1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點(diǎn)，故A1C1∥平面AB1E不正確.123456789101112135.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的是________.答案解析①②③12345678910111213由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯.123456789101112136.如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長.其中正確的是______.答案解析①②③12345678910111213對于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；對于②，∵點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC；對于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長即是點(diǎn)B到平面PAC的距離，故①②③都正確.123456789101112137.(2016·鎮(zhèn)江模擬)已知a、b、l表示三條不同的直線，α、β、γ表示三個不同的平面，有下列四個命題：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，則b⊥α；④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α.其中正確命題的序號是______.答案解析②③12345678910111213在三棱柱中，三條側(cè)棱互相平行，但三個側(cè)面所在平面兩兩相交，故①錯誤；因為a、b相交，假設(shè)其確定的平面為γ，根據(jù)a∥α，b∥α，可得γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，②正確；由兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個平面垂直，易知③正確；當(dāng)且僅當(dāng)a、b相交時結(jié)論正確，④錯誤.123456789101112138.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為___.答案解析12345678910111213設(shè)B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝

，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝

.所以h＝

，DE＝.在Rt△DB1E中，由面積相等得

，得x＝.123456789101112139.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是_______.答案解析①②③由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，故①②③正確.1234567891011121310.如圖，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜邊BC?α，一直角邊AC?β，BC與β所成角的正弦值為

，則AB與β所成的角是____.答案解析12345678910111213如圖所示，作BH⊥MN于點(diǎn)H，連結(jié)AH，則BH⊥β，∠BCH為BC與β所成的角.∵sin∠BCH＝

，設(shè)BC＝1，則BH＝.∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝AB＝

，∴AB與β所成的角為∠BAH.∴∠BAH＝.1234567891011121311.(2016·四川)如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝

AD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；解答12345678910111213取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個點(diǎn)，理由如下：連結(jié)BM，CM.因為AD∥BC，BC＝

AD，所以BC∥AM，且BC＝AM，所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB.又AB?平面PAB，CM?平面PAB.所以CM∥平面PAB.(說明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))12345678910111213(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.證明12345678910111213由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.因為AD∥BC，BC＝CD＝

AD，所以直線AB與CD相交，所以PA⊥平面ABCD，從而PA⊥BD.又BC∥MD，且BC＝MD.所以四邊形BCDM是平行四邊形，又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.所以BM＝CD＝

AD，所以BD⊥AB.1234567891011121312.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝

，DE＝3，∠BAD＝60°，G為BC的中點(diǎn).(1)求證：FG∥平面BED；證明12345