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文檔簡介
高考資訊從新課改兩年各省份的高考信息統(tǒng)計可以看出,命題呈現(xiàn)以下特點:1.考查題型以選擇題為主,有時也會出現(xiàn)填空題,基本屬于容易題、中檔題.2.重點考查集合間的關(guān)系與基本運算,充分條件和必要條件的判斷,命題及其關(guān)系以及全稱命題、特稱命題的否定.特別是利用充要條件考查其他知識的掌握.3.預(yù)計在今后的高考中仍將在集合的運算,充分條件與必要條件的判斷處命題,同時,全稱命題和特稱命題,命題及其關(guān)系的考查力度會逐漸加強(qiáng).1.集合的概念與運算,主要從以下三個方面考查:一是對集合基本概念的認(rèn)識和理解水平,如集合的表示法、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系、集合的運算;二是以集合為工具考查對集合語言和集合思想的應(yīng)用水平,在考查集合知識的同時突出考查準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言能力及應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想解決問題的能力;三是以集合為載體考查對信息的收集、捕捉、加工能力.因此,集合的復(fù)習(xí)應(yīng)抓好基本概念與運算的落實和對集合語言的識讀理解能力.2.掌握各種邏輯用語的含義、表示方法、用法及注意事項,理解命題結(jié)構(gòu)及邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義,掌握四種命題的內(nèi)在聯(lián)系,熟練判斷充要條件.考綱要求1.了解集合的含義,元素與集合的屬于關(guān)系;2.能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題;3.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集;4.在具體情境中,了解全集與空集的含義;5.理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集;6.理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集;7.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算.熱點提示1.理解掌握集合的表示法,能夠判斷元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系,能夠判斷集合是否相等.以考查集合的運算為主,掌握集合的交、并、補的運算和性質(zhì),同時注意韋恩圖(文氏圖)的考查,會用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想研究集合問題.2.本節(jié)的考題以集合為載體考查函數(shù)的定義域、值域、方程、不等式及曲線間相交等問題,常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),屬中檔題,有時也是一塊創(chuàng)新的“試驗田”.偶爾也會出現(xiàn)與其他章節(jié)結(jié)合的解答題,但一般難度不大.1.集合的含義與表示(1)一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為
,把一些元素組成的總體叫做
(簡稱為
.(2)集合中的元素有三個性質(zhì):
,
, .(3)集合中元素與集合的關(guān)系分為
和
兩種,分別用
和
表示.元素集合確定性互異性無序性屬于不屬于∈?集)(4)幾個常用集合的表示法.(5)集合有三種表示法:
、
、Venn圖法.?dāng)?shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集表示法NN*或N+ZQR列舉法描述法2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同
?A=B子集A中任意一元素均為B中的元素
或
真子集A中任意一元素均為B中的元素,且B中至少有一元素不是A中的元素
或
空集空集是任何集合的子集,是任何
的真子集??A,?B(B≠?)A?B且A?BA?BB?A非空集合3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U,則集合A的補集為
圖形表示意義{x|
{x|?UA={x|
,
x∈A或x∈B}x∈A且x∈B}x∈U且x?A}?UA4.常見結(jié)論(1)若集合A中有n個元素,則集合A的子集有
個,真子集有
個.(2)交集:A∩B=
,A∩A=
,A∩?=
,A∩B
A,A∩B=A?A?B.(3)并集:A∪B=
,A∪A=
,A∪?=
,A∪B
A,A∪B=B?A?B.(4)補集:A∩?UA=
,A∪?UA=
.2n2n-1B∩AA??B∪AAA??U1.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},那么集合A∩(?UB)等于 (
)A.{x|-2≤x<4}
B.{x|x≤3或x≥4}C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x≤3}解析:?UB={x|-1≤x≤4},A∩(?UB)={x|-1≤x≤3}.答案:D2.設(shè)全集U是實數(shù)集R,M={x|x2>4},N={x|≥1},則右圖中陰影部分所表示的集合是 (
)A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2}C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2}解析:題圖中陰影部分可表示為(?UM)∩N,集合M為{x|x>2或x<-2},集合N為{x|1<x≤3}.由集合的運算,知(?UM)∩N={x|1<x≤2}.答案:C3.設(shè)集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},則?U(A∩B)等于 (
)A.{2,3} B.{1,4,5}C.{4,5} D.{1,5}解析:∵A={1,2,3},B={2,3,4},∴A∩B={2,3}.又∵U={1,2,3,4,5},∴?U(A∩B)={1,4,5}.答案:B4.若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a},滿足A∩B={2},則實數(shù)a=________.解析:由A∩B={2}?A,B只有一個公共元素2?a=2.答案:25.已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩(?UB)={1,3,5,7},求集合B.解:U=A∪B={x∈N|0≤x≤10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},{1,3,5,7}?A,而B中不包含{1,3,5,7},用Venn圖表示∴B={0,2,4,6,8,9,10}.【例1】已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求實數(shù)a的值.解:∵1∈A,∴a+2=1,或(a+1)2=1,或a2+3a+3=1.(1)若a+2=1,則a=-1,當(dāng)a=-1時,a+2=a2+3a+3=1.∴a=-1不符合題意.(2)若(a+1)2=1,則a=0,或a=-2.當(dāng)a=0時,a+2=2,(a+1)2=1,a2+3a+3=3,符合題意,當(dāng)a=-2時,(a+1)2=a2+3a+3=1,∴a=-2不符合題意,(3)若a2+3a+3=1,則a=-1,或a=-2,由(1)(2)可知,a=-1,a=-2都不符合題意.綜上可知,實數(shù)a的值為0.①條件m∈A,若集合A是用列舉法表示的,則m應(yīng)是集合A中的一個元素,若集合A是用描述法表示的,則m應(yīng)滿足集合中的描述條件;②解答過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分類思想的靈活運用,分類應(yīng)注意:不重復(fù)、不遺漏、分類的標(biāo)準(zhǔn)一致.
變式遷移
1
有三個實數(shù)構(gòu)成的集合,既可以表示為{a,,1},也可表示為{a2,a+b,0},則a2010+b2010=________.解析:根據(jù)集合中元素的確定性,我們不難得到兩集合的元素是相同的,這樣需要列方程組分類討論,顯然復(fù)雜又繁瑣.這時若能發(fā)現(xiàn)0這個特殊元素和中的a不為0的隱含信息,就能得到如下解法:由已知得=0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根據(jù)集合中元素的互異性a=1應(yīng)舍去,因而a=-1,故a2010+b2010=(-1)2010=1.答案:1【例2】已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B={x|-<x≤2}.(1)若A?B,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若B?A,求實數(shù)a的取值范圍;(3)A、B能否相等?若能,求出a的值;若不能,試說明理由.思路分析:(1)根據(jù)集合的基本關(guān)系,構(gòu)造關(guān)于a的不等式;(2)要注意討論a的取值.在處理數(shù)集與數(shù)集關(guān)系時一定要注意等號是否成立,這是易錯點,本例中(2)尤其明顯.
變式遷移2
(2009·江蘇卷)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A?B,則實數(shù)a的取值范圍是(c,+∞),其中c=________.解析:由log2x≤2,得0<x≤4,A={x|0<x≤4}.由A?B,知a>4,所以c=4.故填4.答案:4【例3】
(2009·江西卷)已知全集U=A∪B中有m個元素,(?UA)∪(?UB)中有n個元素.若A∩B非空,則A∩B的元素個數(shù)為 (
)A.mn
B.m+nC.n-m D.m-n思路分析:結(jié)合韋恩圖可知,兩個集合的交集的補集等于兩個集合補集的并集,可利用這個知識點直接解決本題.解析:如下圖所示,因為?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),所以A∩B共有m-n個元素,故選D.答案:D
在集合中,有限集的個數(shù)問題以及用列舉法表示集合問題是高考中的常見題型,本題是通過并集、補集的元素個數(shù)來考查集合的運算,是一種很好的命題方式.容易出錯的是選項B,錯誤原因是將交集的符號看做并集符號.
變式遷移
3
設(shè)全集是實數(shù)集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}.(1)當(dāng)a=-4時,求A∩B和A∪B;(2)若(?RA)∩B=B,求實數(shù)a的取值范圍.【例4】已知集合A=[2,log2t],集合B={x|x2-14x+24≤0},x,t∈R,且A?B.(1)對于區(qū)間[a,b],定義此區(qū)間的“長度”為b-a,若A的區(qū)間“長度”為3,試求t的值;(2)某個函數(shù)f(x)的值域是B,且f(x)∈A的概率不少于0.6,試確定t的取值范圍.解:(1)∵A的區(qū)間“長度”為3,∴l(xiāng)og2t-2=3,即log2t=5,t=32.(2)由x2-14x+24≤0,得2≤x≤12,∴B=[2,12],∴B的區(qū)間“長度”為10.設(shè)A的區(qū)間“長度”為y,∵f(x)∈A的概率不小于0.6,∴≥0.6,∴y≥6,即log2t-2≥6,解得t≥28=256.又A?B,∴l(xiāng)og2t≤12,即t≤212=4096,∴t的取值范圍為[256,4096](或[28,212]).本題將集合問
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