理論力學(xué) 第11章 動能定理 (PPT下載)

11.1力的功11.2質(zhì)點系和剛體的動能11.3質(zhì)點系動能定理11.4功率和功率方程11.5勢力場勢能機械能守恒定律11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

小結(jié)第11章動能定理與動力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用11.1力的功11.1.1功的一般表達式11.1.2幾種常見力的功11.1.3質(zhì)點系內(nèi)力的功11.1.4約束力的功11.1.1

功的一般表達式11.1力的功直角坐標形式力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分。

在一無限小位移中力所做的功稱為元功，以表示即或11.1.2幾種常見力的功1．常力的功11.1力的功2．重力的功11.1力的功質(zhì)點沿軌跡由M1運動到M2，其重力在直角坐標軸上的投影為重力的功為對于質(zhì)系，所有質(zhì)點重力做功之和為

重力的功僅與質(zhì)點運動開始和終了位置的高度差有關(guān)，而與運動軌跡無關(guān)。由此可得由質(zhì)心坐標公式，有彈性力在有限路程A1A2上的功為式中分別為質(zhì)點在起點及終點處彈簧的變形量。彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在起始及終了位置的變形量，而與質(zhì)點的運動路徑無關(guān)。3．彈性力的功11.1力的功或作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力F的元功為于是力在有限轉(zhuǎn)動中的功為11.1力的功4．定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功*5．平面運動剛體上力系的功11.1力的功剛體上任意一點Mi的無限小位移可寫為其中為質(zhì)心的無限小位移，為Mi點繞質(zhì)心C的無限小轉(zhuǎn)動位移作用于點Mi

上的力Fi的元功為用于剛體上的全部力的元功為其中FR為力系的主矢，MC為力系對質(zhì)心C的主矩。在有限路程上的功為11.1力的功*11.1.3質(zhì)點系內(nèi)力的功xzyFAFBAB系統(tǒng)內(nèi)力

FA＝－FB這一對內(nèi)力在什么情形下作功？什么情形下不作功？11.1力的功xzyFAFBBrArBA這一結(jié)果表明：當兩點之間的距離發(fā)生變化時，這兩點之間的內(nèi)力所作之元功不等于零。

FA和FB在drA

和drB

上所作之元功11.1力的功*工程上幾種內(nèi)力作功的情形＊

所有發(fā)動機作為整體考察，其內(nèi)力都是有功力。例如汽車內(nèi)燃機工作時，氣缸內(nèi)膨脹的氣體質(zhì)點之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點與活塞之間的內(nèi)力；氣體質(zhì)點與氣缸內(nèi)壁間的內(nèi)力；這些內(nèi)力都要作功。＊機器中有相對滑動的兩個零件之間的內(nèi)摩擦力作負功。＊人行走和奔跑時腿的肌肉內(nèi)力作功。對剛體來說，任何兩質(zhì)點間的距離均保持不變，所以剛體的內(nèi)力所作功之和恒等于零。11.1.4約束力的功

11.1力的功約束力作功等于零的約束稱為理想約束，即（1）光滑固定面和輥軸約束（2）光滑鉸鏈或軸承約束常見的理想約束有其約束力垂直于作用點的位移，約束力不做功。約束力的方向恒與位移的方向垂直，故約束力的功為零。（3）剛性連接的約束這種約束力和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。（4）柔性而不可伸長的繩索約束不可伸長的繩索的約束力元功之和等于零。11.1力的功純滾動時，靜滑動摩擦力(約束力)不作功。OvOC*FFN

C*為瞬時速度中心，在這一瞬時C*點的位移為零。作用在C*點的摩擦力F所作元功為※一般情形下，兩個相對滑動物體之間的摩擦力，其作用點都會發(fā)生相對位移，而且位移的方向與摩擦力的方向相反，因而，這時的摩擦力作功，且為負功。純滾動11.2質(zhì)點系和剛體的動能11.2.1質(zhì)點的動能11.2.2質(zhì)點系的動能11.2.3平移剛體的動能11.2.4定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能11.2.5平面運動剛體的動能11.2質(zhì)點系和剛體的動能11.2.1質(zhì)點的動能11.2.2質(zhì)點系的動能質(zhì)點的動能質(zhì)點系的動能動能是度量質(zhì)點或質(zhì)點系整體運動效應(yīng)的特征量。11.2.3平移剛體的動能平移剛體各點的速度相同，可以用質(zhì)心的速度表示。平移剛體動能相當于將剛體的質(zhì)量集中在質(zhì)心時質(zhì)點的動能。11.2質(zhì)點系和剛體的動能11.2.4定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對于定軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度平方乘積的一半。當剛體繞固定軸z轉(zhuǎn)動時，其上任一點的速度為11.2質(zhì)點系和剛體的動能11.2.5平面運動剛體的動能剛體作平面運動時，可視為繞通過速度瞬心并與運動平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動，動能可寫為平面運動剛體的動能等于剛體跟隨質(zhì)心平移的動能與相對于質(zhì)心平移系的轉(zhuǎn)動動能之和。11.3質(zhì)點系動能定理11.3.1

質(zhì)點的動能定理11.3.2

質(zhì)點系的動能定理11.3.1質(zhì)點的動能定理11.3質(zhì)點系動能定理——微分形式質(zhì)點動能的微分等于作用在質(zhì)點上合力的元功——積分形式質(zhì)點從某一位置運動到另一位置，其動能改變量等于運動過程中作用在質(zhì)點上的合力所作之功11.3.2質(zhì)點系的動能定理11.3質(zhì)點系動能定理質(zhì)點系動能的微分等于作用在質(zhì)點系上所有力的元功之和——微分形式質(zhì)點系從某一位形運動到另一位形，其動能改變量等于運動過程中作用在質(zhì)點系上的所有有功力所作之功的代數(shù)和

——積分形式所有有功力--既包括外力，也包括內(nèi)力；既包括主動力，也包括約束力。在理想約束系統(tǒng)中，只包括主動力(外力和內(nèi)力)。11.3質(zhì)點系動能定理（1）明確分析對象，一般以整個系統(tǒng)為研究對象,以某物體的速度(或角速度)為變量；（2）分析系統(tǒng)的受力，計算力的功。注意區(qū)分主動力與約束力，在理想約束的情況下約束力不作功；（3）分析系統(tǒng)的運動，計算系統(tǒng)在任意位置的動能或在起始和終了位置的動能；（4）應(yīng)用動能定理建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，而后求解；（5）對問題作進一步分析與討論。應(yīng)用動能定理解題的步驟：

【例11-1】圖示均質(zhì)圓輪A，B的質(zhì)量均為m,半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉(zhuǎn)動，B處摩擦不計。物塊C的質(zhì)量也為m。A，B，C用輕繩相連，繩相對輪B無滑動。系統(tǒng)初始為靜止狀態(tài)。求：（1）當物塊C下降高度為h時，輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度；（2）系統(tǒng)運動時，物塊C的加速度。11.3質(zhì)點系動能定理用動能定理的積分形式求解：選擇整個系統(tǒng)為對象，作受力分析和運動分析：設(shè)物塊C下降h時速度為vC

系統(tǒng)動能系統(tǒng)作功11.3質(zhì)點系動能定理【解法1】根據(jù)動能定理：視h為變量，對兩邊同時對t求導(dǎo)注意到：有11.3質(zhì)點系動能定理【解法1】用動能定理的微分形式求解系統(tǒng)動能取微分系統(tǒng)所有力的元功之和

11.3質(zhì)點系動能定理【解法2】積分：求aC：11.3質(zhì)點系動能定理【解法2】11.4功率和功率方程11.4.1

功率11.4.2

功率方程11.4.3機械效率11.4.1功率11.4功率和功率方程功率(power)

－力所作之功對時間的變化率力的功率等于力與其作用點速度的點積。作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩與剛體轉(zhuǎn)動角速度的乘積。11.4.2功率方程11.4功率和功率方程質(zhì)點系動能定理的微分形式等式兩邊同除以dt質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和。——功率方程

(equationofpower)

——輸入功率——有用功率，輸出功率——無用功率，損耗功率11.4.3機械效率11.4功率和功率方程有效功率（=）與輸入功率的比值稱為機器的機械效率

【例11-2】車床的電動機功率P輸入

=5.4kW。傳動零件之間的摩擦損耗功率占輸入功率的30%。工件的直徑d=100mm，轉(zhuǎn)速n=42r/min。求允許的最大切削力；若工件的轉(zhuǎn)速改為n'=112r/min，允許的最大切削力為多少？11.4功率和功率方程車床的輸入功率為P輸入=5.4kW，損耗的無用功率當工件勻速轉(zhuǎn)動時，動能不變，即設(shè)切削力為F，切削速度為v

當n=42r/min時，允許的最大切削力為當n'=112r/min時，求得允許的最大切削力為11.4功率和功率方程【解】11.5勢力場勢能機械能守恒定律11.5.1勢力場11.5.2勢能11.5.3有勢力的功與勢能的關(guān)系11.5.4機械能守恒定律11.5勢力場勢能機械能守恒定律11.5.1勢力場質(zhì)點在勢力場內(nèi)所受的力稱為有勢力或保守力。例如重力、彈性力及萬有引力都是有勢力。若質(zhì)點在某空間內(nèi)任一位置都受有一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，具有這種特性的空間就稱為力場，例如地球表面的空間為重力場。若質(zhì)點在某一力場內(nèi)運動時，力場中的力對質(zhì)點所做的功僅與質(zhì)點起點與終點位置有關(guān)，而與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)，則這種力場稱為勢力場或保守力場。11.5勢力場勢能機械能守恒定律11.5.2勢能勢能零點—人為選定的勢能為零的位置M0，稱為零勢位置，又稱為勢能零點。

系統(tǒng)在某一位置M的勢能，在數(shù)值上等于系統(tǒng)從這一位置回到勢能零點M0時，其上所有保守力所作之功的總和。勢能—系統(tǒng)在某一位置M所具有的對外作功的能力，稱為系統(tǒng)在這一位置的勢能。11.5勢力場勢能機械能守恒定律1.重力場中的勢能：2.彈性力場中的勢能：—扭轉(zhuǎn)彈簧的彈性勢能—線彈簧的彈性勢能11.5勢力場勢能機械能守恒定律＊對質(zhì)點系來說，“零勢能位置”應(yīng)理解為組成質(zhì)點系的每一個質(zhì)點的零勢能點的集合。11.5.3有勢力的功與勢能的關(guān)系質(zhì)系從位置1運動到位置2時，有勢力的功等于質(zhì)系在位置1時的勢能和在位置2時的勢能之差。積分得：根據(jù)有勢力的定義和功的概念，可得＊若質(zhì)點系受幾種有勢力作用時，既可以取同一位置為系統(tǒng)零勢能位置，也可以分別選擇每種勢力場的零勢能位置，分別計算對應(yīng)的勢能，其代數(shù)和為總勢能。11.5勢力場勢能機械能守恒定律11.5.4機械能守恒定律(conservationofmechanicalenergy)對于保守系統(tǒng)，動能定理保守系統(tǒng)(conservativesystem)

：具有理想約束，且所受的主動力皆為有勢力的質(zhì)系稱為保守系統(tǒng)。有勢力的功與路徑無關(guān)，可通過勢能計算由此得：

（常量）

上式稱為質(zhì)系機械能守恒定律，即保守系統(tǒng)在運動過程中，其機械能保持不變?；蛸|(zhì)系的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但總的機械能保持不變?！|(zhì)系在某瞬時的動能與勢能的代數(shù)和稱為機械能(mechanicalenergy)

。11.5勢力場勢能機械能守恒定律●

動能定理建立了作用在質(zhì)點系上的力所作之功與質(zhì)點系動能變化之間的關(guān)系；機械能守恒所建立的是質(zhì)點系的動能與勢能之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系?！?/p>

動能定理中可以包含任何非有勢力所作之功，因此，動能定理所包含的內(nèi)容比機械能守恒更加廣泛?？梢哉f，機械能守恒是質(zhì)點系所受之力均為有勢力時的動能定理。●當系統(tǒng)存在摩擦力，并且摩擦力作功，這時機械能守恒不成立，只能應(yīng)用動能定理；●當系統(tǒng)存在摩擦力，但是摩擦力不作功，這時機械能守恒成立，可以應(yīng)用機械能守恒。11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例動力學(xué)普遍定理動量定理動量矩動量動能定理分別建立了質(zhì)系動量和動量矩與質(zhì)系所受外力系的主矢和外力系的主矩之間的關(guān)系。建立了質(zhì)系的動能與作用于質(zhì)系上的力的功之間的關(guān)系。11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例動量定理、動量矩定理和動能定理的比較●

動量定理、動量矩定理的表達式為矢量形式（常用其投影式），描述質(zhì)點系整體運動時，不僅涉及有關(guān)運動量的大小，而且涉及運動量的方向?！駝幽芏ɡ淼谋磉_式為代數(shù)量形式，描述質(zhì)點系整體運動時，不涉及運動量的方向，無論質(zhì)點系如何運動，動能定理只能提供一個方程。●動量定理、動量矩定理的表達式中只包含外力，而不包含內(nèi)力(內(nèi)力的主矢和主矩均為零)?！?/p>

動能定理的表達式中可以包含主動力和約束力，主動力中可以是外力，也可以是內(nèi)力(可變質(zhì)點系)；對于理想約束，則只包含主動力。11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例2、在所選擇的定理表達式中，不出現(xiàn)相關(guān)的未知力。若選用動能定理，對于受理想約束的系統(tǒng)，可以不必將系統(tǒng)拆開，而直接對系統(tǒng)整體應(yīng)用動能定理，建立一個代數(shù)量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)?！?/p>

分析和解決復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)問題時，選擇哪一個定理的思路是：1、所要求的運動量在所選擇的定理中能不能比較容易地表達出來；●

對于由多個剛體組成的復(fù)雜系統(tǒng)，求解動力學(xué)問題時，若選用動量定理或動量矩定理，需要將系統(tǒng)拆開，不僅涉及的方程數(shù)目比較多，而且會涉及求解聯(lián)立方程。

【例11-3】

在水平面內(nèi)運動的行星齒輪機構(gòu)如圖所示。質(zhì)量為m的均質(zhì)曲柄AB帶動均質(zhì)行星齒輪II在固定齒輪I上純滾動。齒輪II的質(zhì)量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。桿與輪鉸接處的摩擦力忽略不計。當曲柄受力偶矩為M的常力偶作用時，求桿的角加速度a及輪II邊緣所受切向力F。11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例（1）求桿的角加速度選桿（曲柄AB

）和輪Ⅱ組成系統(tǒng)為對象系統(tǒng)具有1個自由度，取j為廣義坐標。理想約束力FAx,FAy

,

FN,F不作功，僅有力偶矩M作功系統(tǒng)在任意位置的動能為11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例【解】代入上式經(jīng)整理得由動能定理的微分形式兩邊同時除以dt

，11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例【解】

（2）求輪Ⅱ邊緣所受的切向力F取輪Ⅱ為研究對象由相對質(zhì)心B的動量矩定理，得因輪Ⅱ作純滾，故代入上式且已知得11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例【解】

【例11-4】三角柱體ABC質(zhì)量為m1，放置于光滑水平面上。質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓柱體沿斜面AB向下滾動而不滑動。若斜面傾角為q，系統(tǒng)初始靜止。求三角柱體的加速度。11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

【分析】這是2自由度系統(tǒng)，圓柱相對三角柱作向下純滾，同時三角柱沿光滑水平面向左作直線平移，三角柱與圓柱組成的系統(tǒng)水平方向合外力為零，故可用動能定理及水平方向動量守恒聯(lián)合求解。11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例圓柱與三角柱組成系統(tǒng)，受力分析設(shè)圓柱相對斜面向下滾動s時，其質(zhì)心O相對三角柱體的速度vr。此時三角柱向左滑動的速度為v1圓柱質(zhì)心O絕對速度：圓柱質(zhì)心O絕對速度的水平分量：圓柱下滾s時：解得11.6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用舉例【解】初始動能下滾s時動能

式中代入上式，得11.