理論力學(xué)-第3章new LWG 2003

第3章靜力學(xué)平衡問題

第1篇工程靜力學(xué)基礎(chǔ)2023年2月5日

基于平衡概念，應(yīng)用力系等效與力系簡(jiǎn)化理論，本章將討論力系平衡的充分與必要條件，在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出一般情形下力系的平衡方程。并且將力系的平衡方程應(yīng)用于各種特殊情形，特別是各力作用線位于同一平面被稱為平面力系的情形。

第3章力系的平衡

剛體系統(tǒng)的平衡問題是所有機(jī)械和結(jié)構(gòu)靜力學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。分析和解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，必須綜合應(yīng)用第1、2章中的基本概念、原理與基本方法，包括：約束、等效、簡(jiǎn)化、平衡以及受力分析等等。

本章還將對(duì)桁架桿件的受力分析以及考慮摩擦?xí)r的平衡問題作簡(jiǎn)單介紹。

平面力系平衡方程及其在剛體與簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用，是本章的重點(diǎn)。

第3章力系的平衡

平衡與平衡條件任意力系的平衡方程平面力系的平衡方程

結(jié)論與討論平衡方程的應(yīng)用剛體系統(tǒng)平衡問題平面靜定桁架的靜力分析

考慮摩擦?xí)r的平衡問題

第3章力系的平衡

平衡與平衡條件返回平衡與平衡條件平衡的概念平衡的必要條件平衡與平衡條件平衡的概念

物體相對(duì)慣性參考系靜止或作等速直線運(yùn)動(dòng)，這種狀態(tài)稱為平衡。平衡是運(yùn)動(dòng)的一種特殊情形。

平衡是相對(duì)于確定的參考系而言的。例如，地球上平衡的物體是相對(duì)于地球上固定參考系的，相對(duì)于太陽系的參考系則是不平衡的。本章所討論的平衡問題是以地球（將固聯(lián)其上的參考系視為慣性參考系）作為參考系的。

工程靜力學(xué)所討論的平衡問題，可以是單個(gè)剛體，也可能是由若干個(gè)剛體組成的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)稱為剛體系統(tǒng)。剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否，取決于作用在其上的力系。

平衡的概念重要概念：

整體平衡，局部必然平衡整體平衡與局部平衡平衡與平衡條件平衡的概念對(duì)于剛體：平衡與平衡條件平衡的概念整體的概念:由二個(gè)或二個(gè)以上剛體組成的系統(tǒng)。對(duì)于變形體：平衡與平衡條件平衡的概念整體的概念:單個(gè)物體，或者由二個(gè)以及二個(gè)以上物體組成的系統(tǒng)CFR2FR1FR1′FRAxFRAy平衡與平衡條件平衡的概念FR1

′FRAxFRCxFRAyFRCy

局部對(duì)于剛體：組成系統(tǒng)的單個(gè)剛體或幾個(gè)剛體組成的子系統(tǒng)。FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2

局部

對(duì)于變形體：組成物體的任意一部分。FP1FP2FP3M1q(x)x平衡與平衡條件平衡的概念平衡與平衡條件平衡的概念FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2dxq(x)FQ(x)M(x)

局部

對(duì)于變形體：組成物體的任意一部分。平衡與平衡條件平衡的概念

局部

對(duì)于變形體：組成物體的任意一部分。平衡與平衡條件平衡的必要條件平衡與平衡條件平衡的必要條件

力系的平衡是剛體和剛體系統(tǒng)平衡的必要條件。

力系平衡的條件是，力系的主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。因此，如果剛體或剛體系統(tǒng)保持平衡，則作用在剛體或剛體系統(tǒng)的力系主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。FR—主矢；

MO—對(duì)任意點(diǎn)的主矩平衡與平衡條件平衡的必要條件

第3章力系的平衡

任意力系的平衡方程返回任意力系的平衡方程平衡方程的一般形式y(tǒng)zxOF1FnF2M2M1Mn

對(duì)于作用在剛體或剛體系統(tǒng)上的任意力系，平衡方程的一般形式任意力系的平衡方程平衡條件的投影形式為

任意力系的平衡方程平衡方程的一般形式

略去所有表達(dá)式中的下標(biāo)i，空間任意力系平衡方程可以簡(jiǎn)寫為任意力系的平衡方程平衡方程的一般形式

上述方程表明，平衡力系中的所有力在直角坐標(biāo)系各軸上投影的代數(shù)和都等于零；同時(shí)，平衡力系中的所有力對(duì)各軸之矩的代數(shù)和也分別等于零。任意力系的平衡方程平衡方程的一般形式

上述6個(gè)平衡方程都是互相獨(dú)立的。這些平衡方程適用于任意力系。只是對(duì)于不同的特殊情形，例如包括平面力系、力偶系以及其他特殊力系，其中某些平衡方程是自然滿足的，因此，獨(dú)立的平衡方程數(shù)目會(huì)有所不同。任意力系的平衡方程空間力系的特殊情形任意力系的平衡方程空間力系的特殊情形

對(duì)于力系中所有力的作用線都相交于一點(diǎn)的空間匯交力系，上述平衡方程中三個(gè)力矩方程自然滿足，因此，平衡方程為：任意力系的平衡方程空間力系的特殊情形

對(duì)于力偶作用面位于不同平面的空間力偶系，平衡方程中的三個(gè)力的投影式自然滿足，其平衡方程為：任意力系的平衡方程空間力系的特殊情形

對(duì)于力系中所有力的作用線相互平行的空間平行力系,若坐標(biāo)系的軸與各力平行，則上述6個(gè)平衡方程中自然滿足。于是,平衡方程為：

第3章力系的平衡

平面力系的平衡方程返回平面力系的平衡方程平面力系平衡方程的一般形式平面力系的平衡方程平面力系平衡方程的一般形式

所有力的作用線都位于同一平面的力系稱為平面任意力系（arbitraryforcesysteminaplane）。這時(shí)，若坐標(biāo)平面與力系的作用面相一致，則任意力系的6個(gè)平衡方程中，自然滿足，且yxzOyxzO力對(duì)軸之矩與力對(duì)點(diǎn)之矩的關(guān)系Mz(F)=Fxyd

Fxy=Fcos力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩力對(duì)軸之矩Fx=0,MO=0Fy=0,平衡方程的一般形式任意力系的平衡方程

于是，平面力系平衡方程的一般形式為：

其中矩心O為力系作用面內(nèi)的任意點(diǎn)。yxzO平面力系的平衡方程平面力系平衡方程的其他形式平面力系的平衡方程平面力系平衡方程的其他形式上述平面力系的3個(gè)平衡方程中的

可以一個(gè)或兩個(gè)都用力矩式平衡方程代替，但所選的投影軸與取矩點(diǎn)之間應(yīng)滿足一定的條件。Fx=0,MO=0Fy=0,Fx=0Fy=0yxzO平面一般力系平衡方程的其他形式：Fx=0,MA=0,MB

=0。BAxA、B連線不垂直于x軸任意力系的平衡方程平面力系平衡方程的其他形式

這是因?yàn)椋?dāng)上述3個(gè)方程中的第二式和第三式同時(shí)滿足時(shí)，力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶（否則兩者不可能為零），只可能簡(jiǎn)化為通過AB兩點(diǎn)(?)的一合力或者是平衡力系。

但是，當(dāng)?shù)谝皇酵瑫r(shí)成立時(shí)，而且AB與x軸不垂直，力系便不可能簡(jiǎn)化為一合力FR，否則，力系中所有的力在x軸上投影的代數(shù)和不可能等于零。因此原力系必然為平衡力系。FR平面一般力系平衡方程的其他形式：MA=0，

MB

=0,MC=0。CBAA、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上任意力系的平衡方程平面力系平衡方程的其他形式

因?yàn)?，?dāng)式中的第一式滿足時(shí)，力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只可能簡(jiǎn)化為通過A點(diǎn)的一個(gè)合力FR。同樣如果第二、三式也同時(shí)被滿足，則這一合力也必須通過B、C兩點(diǎn)。（力偶是自由矢量，對(duì)每點(diǎn)都相同）CFR

但是由于A、B、C三點(diǎn)不共線，所以力系也不可能簡(jiǎn)化為一合力。因此，滿足上述方程的平面力系只可能是一平衡力系。

第3章力系的平衡

平衡方程的應(yīng)用返回單個(gè)剛體的平衡問題

基本步驟：1畫出剛體的受力分析圖2選用合理的平衡方程組3運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行未知量求解例題1

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和

l

已知，確定四種情形下的約束力lACBllFPllACBl第一種情形第二種情形M=FPl平衡方程的應(yīng)用例題

1lllFPACBD第三種情形第四種情形lllACBDM=FPl平衡方程的應(yīng)用

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l

已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用dDBlACllFPFAyFAxFBClACBllFP第一種情形D

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用MA(F)=0:FBCd-FP2l=0dDBlACllFPFAyFAxFBC第一種情形

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l

已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用MB(

F)=0

-

FAy

l-

FPl=0FAy=-

FPdDBlACllFPFAyFAxFBC第一種情形

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用Fx=0FAx+FBCcos=0FAx=-2FPdDBlACllFPFAyFAxFBC第一種情形

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l

已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用分析BC

和

ABD桿受力M=FPlllACBl第二種情形D

圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′llACBl第二種情形DM=FPl

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用ABDFAxFByFBxFAy考察ABD桿

的平衡MB(

F

)=0:MA(

F

)=0:FBy=0FAy=0Fx=0:FBx+

FAx=0

FBx=

-FAx

圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用CB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′考察BC桿的平衡Fx=0:

FBx′

-

FCx′=0

FCx′=FBx′=

FBxFy=0:

FBy′-

FCy′=0

FCy′=FBy′=FBy=0MB'

(

F

)=0:l

FCx′+M=0FCx′=FBx′=

-FP

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l

已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用llACBl第二種情形DM=FPlABDFPCB'M=FPlFPFPFP

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定四種情形下的約束力

分析ABD桿

二力桿例題

1平衡方程的應(yīng)用lllFPACBD第三種情形ACBDllFPlFCyFAFCx

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用ACBDllFPlFCyFAFCxME(

F

)=0:MA(

F

)=0:MC(

F

)=0:FCx

l-FP2l=0-FA

l-FP2l=0-FCy

2l-FAl=0EFCx=2FP,FCy=FP,FA=-2FP

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用lM=FPlllACBDFAFC第四種情形lllACBDM=FPl

圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定四種情形下的約束力例題

1平衡方程的應(yīng)用lM=FPlllACBDFAFCMC(F)=0:

FA=FC=FP-FA×l+M=0

圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定四種情形下的約束力例題2007006

平面剛架的所有外力的作用線都位于剛架平面內(nèi)。A處為固定端約束。若圖中q、FP、M、l等均為已知，試求:A處的約束力。

平衡方程的應(yīng)用解：1.選擇平衡對(duì)象

本例中只有折桿ABCD一個(gè)剛體，因而是惟一的平衡對(duì)象。例題

2平衡方程的應(yīng)用

解：2.受力分析

剛架A處為固定端約束，又因?yàn)槭瞧矫媸芰?，故?個(gè)同處于剛架平面內(nèi)的約束力FAx、FAy和MA。剛架的隔離體受力圖如圖示。qlFAxFAyMA

其中作用在CD部分的均布載荷已簡(jiǎn)化為一集中力ql作用在CD的中點(diǎn)。例題

2平衡方程的應(yīng)用解：3.建立平衡方程求解未知力應(yīng)用平衡方程

Fx=0,MA=0Fy=0,由此解得qlFAxFAyMA例題

2平衡方程的應(yīng)用

解：4.驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性

為了驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性，可以將作用在平衡對(duì)象上的所有力（包括已經(jīng)求得的約束力），對(duì)任意點(diǎn)（包括剛架上的點(diǎn)和剛架外的點(diǎn)）取矩。若這些力矩的代數(shù)和為零，則表示所得結(jié)果是正確的，否則就是不正確的。qlFAxFAyMA例題3005

作用在水力渦輪發(fā)電機(jī)主軸上的力：平衡方程的應(yīng)用

水力推動(dòng)渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩Mz=1200N.m。

錐齒輪B處受到的力分解為三個(gè)分力：圓周力Ft，軸向力Fa和徑向力Fr。三者大小的比例為Ft:Fa:Fr=1:0.32:0.17。

已知渦輪連同軸和錐齒輪的總重量為W=12kN，其作用線沿軸Cz；錐齒輪的平均半徑OB=0.6m。

試求：止推軸承C和軸承A處的約束力。例題

3平衡方程的應(yīng)用

解：以“軸－錐齒輪－渦輪”組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。

先求錐齒輪B處三個(gè)分力大小。根據(jù)所有力對(duì)z軸的力矩平衡方程，有由此解得作用在錐齒輪上的圓周力FCxFAyFAxFCzFCy

滑動(dòng)軸承A處有2個(gè)約束力；

止推軸承C處有3個(gè)約束力；例題

3平衡方程的應(yīng)用由此解得作用在錐齒輪上的圓周力再由三個(gè)力的數(shù)值比，得到最后應(yīng)用空間力系的平衡方程，可以寫出FCxFAyFAxFCzFCy例題

3平衡方程的應(yīng)用由此解得

需要注意的是：在空間力系平衡問題的六個(gè)平衡方程中，應(yīng)使每個(gè)方程的未知數(shù)盡可能的少，以避免解聯(lián)立方程。列寫六個(gè)方程的先后順序也應(yīng)靈活選取。FCxFAyFAxFCzFCyPartB單個(gè)剛體的平衡問題

例題4計(jì)算圖中各柔性索受到的力。PartB單個(gè)剛體的平衡問題

[解方法1]1)畫出剛體ABC的受力分析圖2)平衡方程

通過聯(lián)立上述三個(gè)方程，可以解出所有的未知力，但是聯(lián)立方程組的求解在數(shù)學(xué)上比較麻煩，因此建立這樣的方程組不利于計(jì)算。PartB單個(gè)剛體的平衡問題

[解方法2]1)畫出剛體ABC的受力分析圖2)平衡方程利用方程檢驗(yàn)結(jié)果是否正確PartB單個(gè)剛體的平衡問題

[解方法2]很清楚方法2要優(yōu)于方法1.從上述例題可以總結(jié)出兩個(gè)有用的技巧：技巧1:

矩方程的矩心是任意選擇的，因此可以選擇剛體形狀以外的點(diǎn)作為矩心。技巧2:

矩方程矩心選擇在兩個(gè)未知力的作用線的交點(diǎn)可以簡(jiǎn)化方程。

第3章力系的平衡

剛體系統(tǒng)平衡問題返回靜定和靜不定問題的概念剛體系統(tǒng)平衡問題的解法剛體系統(tǒng)平衡問題返回靜定和靜不定問題的概念剛體系統(tǒng)平衡問題

前面幾節(jié)所討論的平衡問題中，未知力的個(gè)數(shù)正好等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，由平衡方程可以解出全部未知數(shù)。這類問題，稱為靜定問題（staticallydeterminateproblems），相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)（staticallydeterminatestructures）。

工程上，為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，或者為了滿足其他工程要求，常常在靜定結(jié)構(gòu)上再附加一個(gè)或幾個(gè)約束，從而使未知約束力的個(gè)數(shù)大于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。這時(shí)，僅僅由靜力學(xué)平衡方程無法求得全部未知約束力。這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題（staticallyindeterminateproblems），相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)（staticallyindeterminatestructures）。靜定和靜不定問題的概念

剛體系統(tǒng)平衡問題

靜不定問題中，未知量的個(gè)數(shù)Nr與獨(dú)立的平衡方程數(shù)目Ne之差，稱為靜不定次數(shù)（degreeofstaticallyindeterminateproblem）。與靜不定次數(shù)對(duì)應(yīng)的約束對(duì)于結(jié)構(gòu)保持靜定是多余的，因而稱為多余約束。

靜不定次數(shù)或多余約束個(gè)數(shù)用i表示，由下式確定：i=Nr－Ne

靜定和靜不定問題的概念

剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題的解法剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題的解法

剛體系統(tǒng)平衡問題

由兩個(gè)或兩個(gè)以上的剛體所組成的系統(tǒng)，稱為剛體系統(tǒng)（rigidmultibodysystem）。工程中的各類機(jī)構(gòu)或結(jié)構(gòu)，當(dāng)研究其運(yùn)動(dòng)效應(yīng)時(shí)，其中的各個(gè)構(gòu)件或部件均被視為剛體，這時(shí)的結(jié)構(gòu)或機(jī)構(gòu)即屬于剛體系統(tǒng)。

剛體系統(tǒng)平衡問題的特點(diǎn)是：僅僅考察系統(tǒng)的整體或某個(gè)局部（單個(gè)剛體或局部剛體系統(tǒng)），不能確定全部未知力。

為了解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，需將平衡的概念加以擴(kuò)展，即：系統(tǒng)若整體是平衡的，則組成系統(tǒng)的每一個(gè)局部以及每一個(gè)剛體也必然是平衡的。

根據(jù)這一重要概念，應(yīng)用平衡方程，即可求解剛體系統(tǒng)的平衡問題。已知

:

FP、l、r求:

A、D

二處約束力例題4ABCDEll1.5llr1.5llllABCDE2FP

FP簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問題例題

4ABCDE2FPABCDE2FPFAyMAFAxBCE2FPFDEFByFBx剛體系統(tǒng)平衡問題1.5llllABDEClllr

FP1.5llllABDEClllr

FPFP'FPFAyMAFAx例題

4剛體系統(tǒng)平衡問題ABCDEBECFDEFPFPFPFAyMAFAxFBxFByFPFP例題

4剛體系統(tǒng)平衡問題1.5llllABDEClllr1.5lllABDEClllrlqq—載荷集度2qlFPFP例題

4剛體系統(tǒng)平衡問題ABCDEBECFDEFPFPFAyMAFAxFBxFByFPFP2ql2qlFP例題

4剛體系統(tǒng)平衡問題討論：在不改變結(jié)構(gòu)和載荷FP的位置與方向的情形下，怎樣改變纜索CH的位置，才能使A端的約束力偶MA

減小?例題

4C1.5lllABDEllrHlFP剛體系統(tǒng)平衡問題例題5剛體系統(tǒng)平衡問題

結(jié)構(gòu)由桿AB與BC在B處鉸接而成。結(jié)構(gòu)A處為固定端，C處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為M。若q、l、M等均為已知，試求A、C二處的約束力。例題

5

解：1.受力分析，選擇平衡對(duì)象

考察結(jié)構(gòu)整體，在固定端處有3個(gè)約束力，設(shè)為FAx、FAy和MA；在輥軸支座處有1個(gè)豎直方向的約束力FRC。FAxFAyMAFRC

這些約束力稱為系統(tǒng)的外約束力（externalconstraintforce）。僅僅根據(jù)整體的3個(gè)平衡方程，無法確定所要求的4個(gè)未知力。因而，除了整體外，還需要其他的平衡對(duì)象。為此，必須將系統(tǒng)拆開。

剛體系統(tǒng)平衡問題B例題

5

將結(jié)構(gòu)從B處拆開，則鉸鏈B處的約束力可以用相互垂直的兩個(gè)分量表示，但作用在兩個(gè)剛體AB和BC上同一處B的約束力，互為作用與反作用力。這種約束力稱為系統(tǒng)的內(nèi)約束力（internalconstraintforce）。內(nèi)約束力在考察結(jié)構(gòu)整體平衡時(shí)并不出現(xiàn)。受力圖中ql為均布載荷簡(jiǎn)化的結(jié)果。FAxFAyMAFRCMAFRCFAxFAyFBxFByF'BxF'By剛體系統(tǒng)平衡問題例題

5解：2.整體平衡根據(jù)整體結(jié)構(gòu)的受力圖(為了簡(jiǎn)便起見，當(dāng)取整體為研究對(duì)象時(shí)，可以在原圖上畫受力圖)，由平衡方程FAxFAyMAFRC剛體系統(tǒng)平衡問題例題

5解：3.局部平衡

桿AB的A、B二處作用有5個(gè)約束力，其中已求得FAx=0，尚有4個(gè)未知，故桿AB不宜最先選作平衡對(duì)象。

桿BC的B、C二處共有3個(gè)未知約束力，可由3個(gè)獨(dú)立平衡方程確定。因此，先以桿BC為平衡對(duì)象。MAFAxFAyFBxFByFRCF'BxF'ByB剛體系統(tǒng)平衡問題例題

5先考察BC桿的平衡，由

求得BC上的約束力后，再應(yīng)用B處兩部分約束力互為作用與反作用關(guān)系，考察桿AB的平衡，即可求得A處的約束力。FRCF'BxF'ByB

也可以在確定了C處的約束力之后再考察整體平衡也可以求得A處的約束力。剛體系統(tǒng)平衡問題例題

5

再考察整體平衡，將DE段的分布載荷簡(jiǎn)化為作用于B處的集中力，其值為2ql，由平衡方程FAxFAyMAFRC剛體系統(tǒng)平衡問題例題

5

解：4.討論

上述分析過程表明，考察剛體系統(tǒng)的平衡問題，局部平衡對(duì)象的選擇并不是惟一的。正確選擇平衡對(duì)象，取決于正確的受力分析與正確地比較獨(dú)立的平衡方程數(shù)Ne和未知量數(shù)Nr。

剛體系統(tǒng)平衡問題例題

5解：4.討論

此外，本例中，主動(dòng)力系的簡(jiǎn)化極為重要，處理不當(dāng)，容易出錯(cuò)。

例如，考察局部平衡時(shí)，即系統(tǒng)拆開之前，先將均勻分布載荷簡(jiǎn)化為一集中力FP，F(xiàn)P=2ql。系統(tǒng)拆開之后，再將力FP按下圖所示分別加在兩部分桿件上。請(qǐng)讀者自行分析，圖中的受力分析錯(cuò)在哪里？MAFRCFAxFAyFBxFByF'BxF'By剛體系統(tǒng)平衡問題系統(tǒng)拆開之后，再簡(jiǎn)化作業(yè)1－2，1－3，1－6;2－2，2－4，2－6，2－7，2－9，2－10;3－3，3－4，3－5，3－8;

4－1，4－2，4－3，4－4，4－5，4－6，4－8，4－15，4－16，4－17，4－21，4－22，4－23。平面力系的平衡條件與平衡方程007005

006平面一般力系的平衡條件與平衡方程

懸臂式吊車結(jié)構(gòu)中AB為吊車大梁，BC為鋼索，A處為固定鉸鏈支座，B處為鉸鏈約束。已知起重電動(dòng)機(jī)E與重物的總重力為FW(因?yàn)閮苫喼g的距離很小，F(xiàn)W可視為集中力作用在大梁上)，梁的重力為FQ。已知角度θ=30o。

求：1.電動(dòng)機(jī)處于任意位置時(shí)，鋼索BC所受的力和支座A處的約束力；2.分析電動(dòng)機(jī)處于什么位置時(shí)，鋼索受力的最大，并確定其數(shù)值。

例題1平面力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程－例題1

解：

1．選擇研究對(duì)象本例中要求的是鋼索BC所受的力和支座A處的約束力。鋼索受有一個(gè)未知拉力，若以鋼索為研究·對(duì)象，不可能建立已知力和未知力之間的關(guān)系。

吊車大梁AB上既有未知的A處約束力和鋼索的拉力，又作用有已知的電動(dòng)機(jī)和重物的重力以及大梁的重力。所以選擇吊車大梁AB作為研究對(duì)象。將吊車大梁從吊車中隔離出來。

解：

1．分析受力

因?yàn)橐箅妱?dòng)機(jī)處于任意位置時(shí)的約束力，所以假設(shè)力FW作用在坐標(biāo)為x處。于是，可以畫出吊車大梁AB的受力圖。

在吊車大梁AB的受力圖中，F(xiàn)Ax、FAy和FTB均為未知約束力與已知的主動(dòng)力FW和FQ組成平面力系。因此，應(yīng)用平面力系的3個(gè)平衡方程可以求出全部3個(gè)未知約束力。

平面力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程－例題1

建立Oxy坐標(biāo)系。

A處約束力分量為FAx和FAy

；鋼索的拉力為FTB。選擇吊車大梁AB作為研究對(duì)象。將吊車大梁從吊車中隔離出來。

解：

2．建立平衡方程

因?yàn)锳點(diǎn)是力FAx和FAy的匯交點(diǎn)，故先以A點(diǎn)為矩心，建立力矩平衡方程，由此求出一個(gè)未知力FTB

。然后，再應(yīng)用力的平衡方程投影形式求出約束力FAx和FAy

。平面力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程－例題1

解：

2．建立平衡方程平面力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程－例題1

解：

3．討論

由結(jié)果可以看出，當(dāng)x＝l，即電動(dòng)機(jī)移動(dòng)到吊車大梁右端B點(diǎn)處時(shí)，鋼索所受拉力最大。鋼索拉力最大值為

平面力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程－例題1

平面力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程例題2

A端固定的懸臂梁AB受力如圖示。梁的全長上作用有集度為q的均布載荷；自由端B處承受一集中力和一力偶M的作用。已知FP＝ql，M=ql2；l為梁的長度。試求固定端處的約束力。求：固定端處的約束力。

解：

1．研究對(duì)象、隔離體與受力圖本例中只有梁一個(gè)構(gòu)件，以梁AB為研究對(duì)象，解除A端的固定端約束，代之以約束力FAx、FAy和約束力偶MA。于是，可以畫出梁AB的受力圖。平面力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程－例題2

圖中FP

、M、q為已知的外加載荷，是主動(dòng)力。

2．將均布載荷簡(jiǎn)化為集中力作用在梁上的均勻分布力的合力等于載荷集度與作用長度的乘積，即ql；合力的方向與均布載荷的方向相同；合力作用線通過均布載荷作用段的中點(diǎn)。

ql

解：

3．建立平衡方程，求解未知約束力通過對(duì)A點(diǎn)的力矩平衡方程，可以求得固定端的約束力偶MA；利用兩個(gè)力的平衡方程求出固定端的約束力FAx和FAy。

平面力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程－例題2

ql考慮摩擦?xí)r的平衡問題返回

第3章力系的平衡

考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題

梯子不滑倒的最小傾角考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題θ鋼絲不滑脫的最大直徑工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題夾紙器的最小傾角工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題夾持器的最小傾角考慮摩擦?xí)r的平衡問題磨削工具利用摩擦力工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題磨削工具利用摩擦力考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題利用摩擦力錨緊泊船考慮摩擦?xí)r的平衡問題工程中的摩擦問題剎車器利用摩擦力考慮摩擦?xí)r的平衡問題輪軸承工程中的摩擦問題軸承中摩擦力越小越好考慮摩擦?xí)r的平衡問題賽車后輪的摩擦力是驅(qū)動(dòng)力WFNFs工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題放大后的接觸面工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題接觸面的計(jì)算機(jī)模擬工程中的摩擦問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題滑動(dòng)摩擦力庫侖定律考慮摩擦?xí)r的平衡問題干摩擦—滑動(dòng)摩擦力庫侖定律流體摩擦—考慮摩擦?xí)r的平衡問題固體對(duì)固體的摩擦；流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力。FPWFFN干摩擦?xí)r的摩擦力－庫侖定律滑動(dòng)摩擦力庫侖定律考慮摩擦?xí)r的平衡問題

考察質(zhì)量為m、靜止地放置于水平面上的物塊，設(shè)二者接觸面都是非光滑面。在物塊上施加水平力Fp，并令其自零開始連續(xù)增大，使物塊具有相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)。因?yàn)槭欠枪饣娼佑|，故作用在物塊上的約束力除法向力FN外，還有一與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反的力，稱為靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力（static

frictionforce）,用F表示。

FFPO45°FmaxFd運(yùn)動(dòng)狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)臨界狀態(tài)FPWFFN

當(dāng)FP＝0時(shí)，由于二者無相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)，故靜摩擦力F＝0。當(dāng)FP開始增加時(shí)，靜摩擦力F隨之增加，直至F＝FP時(shí)，物塊仍然保持靜止。

物塊開始運(yùn)動(dòng)后，靜滑動(dòng)摩擦力突變至動(dòng)滑動(dòng)摩擦力Fd。此后，主動(dòng)力FP的數(shù)值若再增加，則摩擦力基本上保持為常值Fd。

FP再繼續(xù)增加，達(dá)到某一臨界值FPmax時(shí)，摩擦力達(dá)到最大值，F(xiàn)＝Fmax。這時(shí)，物塊開始沿力Fp的作用方向滑動(dòng)?；瑒?dòng)摩擦力庫侖定律考慮摩擦?xí)r的平衡問題FmaxFd運(yùn)動(dòng)狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)臨界狀態(tài)FFPO靜止?fàn)顟B(tài)F＝Fmax=fsFNF＝Fd；F<Fmax；運(yùn)動(dòng)狀態(tài)臨界狀態(tài)滑動(dòng)摩擦力庫侖定律考慮摩擦?xí)r的平衡問題干摩擦?xí)r的摩擦力－庫侖定律滑動(dòng)摩擦力庫侖定律考慮摩擦?xí)r的平衡問題

根據(jù)庫侖(Coulomb)摩擦定律，最大靜摩擦力（maximumstaticfrictionforce）與正壓力成正比，，其方向與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，而與接觸面積的大小無關(guān)。

式中，fs稱為靜摩擦因數(shù)（staticfrictionfactor）。靜摩擦因數(shù)fs主要與材料和接觸面的粗糙程度有關(guān)，可在機(jī)械工程手冊(cè)中查到，但由于影響摩擦因數(shù)的因素比較復(fù)雜，所以如果需要較準(zhǔn)確的fs數(shù)值，則應(yīng)由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。

上述分析表明，開始運(yùn)動(dòng)之前，即物體保持靜止時(shí)，靜摩擦力的數(shù)值在零與最大靜摩擦力之間，即

從約束的角度，靜滑動(dòng)摩擦力也是一種約束力，而且是在一定范圍內(nèi)取值的約束力。

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題007

考慮摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題

考慮摩擦?xí)r的平衡問題，與不考慮摩擦?xí)r的平衡問題有著共同特點(diǎn)，即：物體平衡時(shí)應(yīng)滿足平衡條件，解題方法與過程也基本相同。

但是，這類平衡問題的分析過程也有其特點(diǎn)：

首先，受力分析時(shí)必須考慮摩擦力，而且要注意摩擦力的方向與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反；

其次，在滑動(dòng)之前，即處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，摩擦力不是一個(gè)定值，而是在一定的范圍內(nèi)取值。

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題

放置于斜面上的物塊重FW＝1000N；斜面傾角為30o。物塊承受一方向自左至右的水平推力，其數(shù)值為FP＝400N。若已知物塊與斜面之間的摩擦因數(shù)fs＝0.2。

求：1.物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，靜摩擦力的大小和方向；

2．使物塊向上滑動(dòng)時(shí)，力FP的最小值。

例題9考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題－例題9

考慮摩擦?xí)r的平衡問題

解：根據(jù)本例的要求,需要判斷物塊是否靜止。這一類問題的解法是：假設(shè)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，首先由平衡方程求出靜摩擦力F和法向反力FN。再求出最大靜摩擦力Fmax。將F與Fmax加以比較，若物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，所求F有意義；若，物體已進(jìn)入運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所求F無意義?？紤]摩擦?xí)r的平衡問題

解：1．確定物塊靜止時(shí)的摩擦力F值

以物塊為研究對(duì)象，假設(shè)物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，并有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)，受力如圖示。其中摩擦力的指向是假設(shè)的，若結(jié)果為負(fù)，表明實(shí)際指向與假設(shè)方向相反。由

F＝－153.6N

負(fù)號(hào)表示實(shí)際摩擦力F的指向與圖中所設(shè)方向相反，即物體實(shí)際上有下滑的趨勢(shì)，摩擦力的方向?qū)嶋H上是沿斜面向上的。

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題－例題9

考慮摩擦?xí)r的平衡問題

最大靜摩擦力為

因此，物塊在斜面上靜止；摩擦力大小為153．6N,其指向沿斜面向上。

解：1．確定物塊靜止時(shí)的摩擦力F值

FN＝1066NF＝－153.6N考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題－例題9

考慮摩擦?xí)r的平衡問題

仍以物塊為研究對(duì)象，此時(shí)，物塊處于臨界狀態(tài)，即力FP再大于FPmin，物塊將發(fā)生運(yùn)動(dòng)，此時(shí)摩擦力F達(dá)到最大值Fmax。這時(shí)，必須根據(jù)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)確定Fmax的實(shí)際方向。

解：2．確定物塊向上滑動(dòng)時(shí)所需要主動(dòng)力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和關(guān)于摩擦力的物理方程：

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題－例題9

考慮摩擦?xí)r的平衡問題

解：2．確定物塊向上滑動(dòng)時(shí)所需要主動(dòng)力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和關(guān)于摩擦力的物理方程：

聯(lián)立，解得：FPmin＝878.75N

當(dāng)力FP的數(shù)值超過878.75N時(shí)，物塊將沿斜面向上滑動(dòng)。

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題－例題9

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題梯子的上端B靠在鉛垂的墻壁上，下端A擱置在水平地面上。假設(shè)梯子與墻壁之間為光滑約束，而與地面之間為非光滑約束。已知：梯子與地面之間的摩擦因數(shù)為fs；梯子的重力為W。1．設(shè)梯子在傾角1的位置保持平衡，求:

A、B二處約束力FNA、FNB和摩擦力FA；2．若使梯子不致滑倒，求:

傾角的范圍。

例題9005考慮摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題－例題10

解:

1.梯子在傾角1的位置保持平衡時(shí)的約束力

這種情形下，梯子的受力如圖示。其中將摩擦力FA作為一般的約束力，假設(shè)其方向如圖示。于是有

由此解得

考慮摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題－例題10

解:

1.梯子在傾角1的位置保持平衡時(shí)的約束力

由此解得

所得FA的結(jié)果為負(fù)值，表明梯子下端所受的摩擦力與圖中所假設(shè)的方向相反。思考，能否用物理方程求FA???考慮摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題－例題10

這種情形下，摩擦力FA的方向必須根據(jù)梯子在地上的滑動(dòng)趨勢(shì)預(yù)先確定，不能任意假設(shè)。解:

2.求梯子不滑倒的傾角的范圍

平衡方程和物理方程分別為

考慮摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題－例題10

解:

2.求梯子不滑倒的傾角的范圍

聯(lián)立，不僅可以解出A、B二處的約束力，而且可以確定保持梯子平衡時(shí)的臨界傾角由常識(shí)可知，角度越大，梯子越易保持平衡，故平衡時(shí)梯子對(duì)地面的傾角范圍為

為什么滑動(dòng)摩擦力的方向不能任意假設(shè)

摩擦力不僅要與作用在物體上的其它力共同滿足平衡方程，而且還要滿足與摩擦有關(guān)的物理方程。

結(jié)論與討論考慮摩擦?xí)r平衡問題的幾個(gè)重要概念為什么滑動(dòng)摩擦力的方向不能任意假設(shè)

由于正壓力FN一般都沿真實(shí)方向，故FN＞0，而摩擦因數(shù)fs＞0，所以必有F＞0。而在平衡方程中，若將摩擦力F任意假設(shè)方向且沒有錯(cuò)時(shí)，即可能出現(xiàn)F＜0的情形。這樣，包含同一摩擦力的平衡方程和物理方程便不相容，從而導(dǎo)致最后計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤，而不僅僅是正負(fù)號(hào)的差異。這一問題結(jié)合例題中的第二問題，分析：如果，梯子與地面之間的摩擦力方向假設(shè)反了，將會(huì)產(chǎn)生怎樣的結(jié)果？

結(jié)論與討論考慮摩擦?xí)r平衡問題的幾個(gè)重要概念考慮摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題－例題10

解:

2.求梯子不滑倒的傾角的范圍

聯(lián)立，不僅可以解出A、B二處的約束力，而且可以確定保持梯子平衡時(shí)的臨界傾角由常識(shí)可知，角度越大，梯子越易保持平衡，故平衡時(shí)梯子對(duì)地面的傾角范圍為包含同一摩擦力的平衡方程和物理方程便不相容，從而導(dǎo)致最后計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤，而不僅僅是正負(fù)號(hào)的差異。摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題FR干摩擦?xí)r的摩擦力－摩擦角FsFN

總約束力FR與法向約束力FN作用線之間的夾角用

表示。摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題

開始運(yùn)動(dòng)前,角隨FP的改變而改變，臨近運(yùn)動(dòng)時(shí)達(dá)到最大值m

0

mm摩擦角。FNFmaxFRm干摩擦?xí)r的摩擦力－摩擦角摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題干摩擦?xí)r的摩擦力－摩擦角關(guān)于摩擦角的兩點(diǎn)結(jié)論：

摩擦角是靜摩擦力取值范圍的幾何表示。

三維受力狀態(tài)下，摩擦角變?yōu)槟Σ铃F。摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題自鎖及其應(yīng)用WyWxFFNW

斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題自鎖及其應(yīng)用－斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)WyWxFFN坡度很小時(shí)，剛性塊不滑動(dòng)摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題自鎖及其應(yīng)用－斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)WyWxFFN坡度增加到一定數(shù)值時(shí)，剛性塊處于臨界狀態(tài)摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題自鎖及其應(yīng)用－斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)WyWxFFN坡度增加到一定數(shù)值以后，剛性塊滑動(dòng)摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題

不僅斜面與物塊系統(tǒng)具有這種現(xiàn)象，考察平面－物塊系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)：自鎖及其應(yīng)用摩擦角與自鎖現(xiàn)象FQFQFQFQFQFQFQ考慮摩擦?xí)r的平衡問題

主動(dòng)力作用線位于摩擦角范圍內(nèi)時(shí)，不管主動(dòng)力多大，物體都保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。自鎖及其應(yīng)用摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題

主動(dòng)力作用線位于摩擦角范圍以外時(shí)，不管主動(dòng)力多小，物體都將發(fā)生運(yùn)動(dòng)。摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題自鎖及其應(yīng)用

主動(dòng)力作用線與法線之間的夾角等于摩擦角時(shí)物體處于臨界狀態(tài)。摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題自鎖及其應(yīng)用摩擦角與自鎖現(xiàn)象考慮摩擦?xí)r的平衡問題自鎖及其應(yīng)用考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題兩種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)與臨界運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滑動(dòng)（slip)FPWFRFNFmaxFPWFRFNFmaxFPWFRFNFmaxFPWFRFNFmaxFPWFRFNFmax考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題

翻倒（tipover)WFPFsFNWFPFsFNWFPFsFNWFPFsFNWFPFsFN考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題兩種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)與臨界運(yùn)動(dòng)狀態(tài)兩類摩擦平衡問題(1)

F

Fmax，,物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，已知主動(dòng)力求約束力，與一般平衡問題無異?？紤]滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題

平衡問題—臨界運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)確定平衡位置；F

＝Fmax

不平衡問題—滑動(dòng)或翻倒確定各主動(dòng)力之間的關(guān)系。[兩類摩擦平衡問題(2)考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題

已知：三角塊和矩形塊的質(zhì)量分別為20kg和10kg；各部分之間的摩擦因數(shù)均為fs

=0.4。F例題1

確定：二物體均不發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，所能施加的最大推力?？紤]滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題F解：分析幾種可能運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)：

三角塊滑動(dòng)；

三角塊與矩形塊一起滑動(dòng)。

三角塊翻倒；考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題例題1

考慮摩擦?xí)r的平衡問題F

三角塊翻倒—約束力作用在角點(diǎn)A。

二者一起滑動(dòng)—約束力作用點(diǎn)在C、D兩點(diǎn)之間。

三角塊滑動(dòng)—約束力作用點(diǎn)在A、B

兩點(diǎn)之間。ABCD考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題例題1

考慮摩擦?xí)r的平衡問題Fx=0F－FP=0Fy=0FN－W=0庫侖定律

FfsFN

FP78.48NFPFFNWAB

三角塊滑動(dòng)—約束力作用點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)之間?？紤]滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題例題1

考慮摩擦?xí)r的平衡問題三角塊翻倒—約束力作用在角點(diǎn)A。MA(F)

=0

FP×1.0－W×0.5=0FP=98.1NWABFPFFN1m0.5m考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題例題1

考慮摩擦?xí)r的平衡問題Fx=0F-FP=0FP117.7NFPFNFWW

′ABCDFy=0FN-W-W′=0庫侖定律F

fsFN二者一起滑動(dòng)—約束力作用點(diǎn)在C、D兩點(diǎn)之間。考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題例題1

考慮摩擦?xí)r的平衡問題結(jié)論

上述結(jié)果表明，僅三角塊可能發(fā)生滑動(dòng)，可以施加的最大推力為FP78.48N