大學(xué)工程力學(xué)3章

靜力學(xué)平衡問題一.多個匯交力的合成力多邊形法則§3-1平面力系平衡條件與平衡方程力多邊形力多邊形法則

平衡條件平面匯交力系平衡的幾何條件

平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉.一、力在坐標(biāo)軸上的投影

X=Fx=F·cosa=F·sinbY=Fy=F·cosb

=

F·sina

平面匯交力系合成與平衡的解析法由合矢量投影定理，得合力投影定理即合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和合力的大小為：方向為：

作用點為力的匯交點.二.平面匯交力系合成的解析法三.平面匯交力系的平衡方程平衡條件平衡方程[例]已知壓路機碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉過h=8cm的障礙物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對障礙物的壓力。又由幾何關(guān)系：①選碾子為研究對象②取分離體畫受力圖解： ∵當(dāng)碾子剛離地面時NA=0,拉力F最大,這時拉力F和自重及支反力NB構(gòu)成一平衡力系。由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故（用幾何法中的數(shù)解法求解）由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對障礙物的壓力等于23.1kN。此題也可用力多邊形方法用比例尺去量（圖解法）。F=11.5kN,NB=23.1kN所以幾何法（圖解法）解題步驟：①選研究對象；②作出受力圖；③選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，作力多邊?④求出未知數(shù)。圖解法解題不足：①精度不夠，誤差大②作圖要求精度高；③不能表達各個量之間的函數(shù)關(guān)系。下面我們研究平面匯交力系合成與平衡的另一種方法：

解析法。

[例]已知P=2kN求SCD,RA由EB=BC=0.4m，解得：；解：①研究AB桿；④列平衡方程求解：③取Axy直角坐標(biāo)軸；②受力分析：[例]已知如圖P、Q，求平衡時=？地面的反力ND=？由①得①②解：①研究球體；②受力分析：如圖；③選Axy直角坐標(biāo)軸；④列平衡方程求解：由②得求：此力系的合力.解：用解析法例已知：圖示平面共點力系；已知：系統(tǒng)如圖，不計桿、輪自重，忽略滑輪大小，P=20kN；求：系統(tǒng)平衡時，桿AB,BC受力.例解：AB、BC桿為二力桿，

取滑輪B（或點B），畫受力圖.建圖示坐標(biāo)系例求：平衡時，壓塊C對工件與地面的壓力，AB桿受力.已知：F=3kN,l=1500mm,h=200mm，忽略自重；解：AB、BC桿為二力桿.取銷釘B.得解得選壓塊C解得解得直接投影法一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影§3-2空間匯交力系平衡問題間接（二次）投影法合矢量（力）投影定理空間匯交力系的合力二、空間匯交力系的合力與平衡條件合力的大小方向余弦(由于力多邊形是空間力多邊形，合成并不方便，一般不采用幾何法合成） 空間匯交力系平衡的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程.該力系的合力等于零，即

空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點.

空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零.例：求圖示手柄上的力F在三個坐標(biāo)軸上的投影例求：三根桿所受力.已知：P=1000N,各桿重不計.解：各桿均為二力桿，取球鉸O，畫受力圖。（拉）§3-2

剛體系統(tǒng)平衡問題未知力的數(shù)目等于獨立平衡方程數(shù)目，稱為靜定問題未知約束力的數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目，稱為靜不定問題例題如圖所示的平面剛架ABCD,自重不計。

在B點作用一水平力P,設(shè)P=20kN。

求支座A和D的約束反力。PADBC2m4mPADBCRDRA解:1、取平面鋼架ABCD為研究對象,畫出受力圖。PADBCRDRA2、取匯交點C為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系：tg=0.5cos=0.89sin=0.447X

=0

P+RAcos=0RA=-22.36kNY=0RAsin+RD=0RD=10kNxy4m2m負(fù)號說明它的實際方向和假設(shè)的方向相反。3、列平衡方程并求解：ABClllPl/2例.求圖示支座A和B的約束反力.解:畫整體的受力圖ABCPRARBO取O點為研究對象Sin=0.32X=00.71RA-0.32RB=0Y=00.71RA+0.95RB–P=0聯(lián)立兩式得:RA=0.35PRB=0.79P一、靜定與靜不定問題的概念我們學(xué)過：平面匯交力系 有兩個獨立的平衡方程，只能解兩個未知量。 一個獨立方程，只能解出一個未知量。 三個獨立方程，只能解出三個未知量。平面力偶系平面任意力系當(dāng)：未知量數(shù)目≤獨立方程數(shù)目時，是靜定問題（可求解）未知量數(shù)目＞獨立方程數(shù)目時，是靜不定問題（超靜定問題）靜定和超靜定問題[例]①物體受平面匯交力系作用未知量數(shù)2=獨立平衡方程數(shù)2靜定問題未知量數(shù)3＞獨立平衡方程數(shù)2靜不定問題②物體受平面平行力系作用未知量數(shù)2=獨立平衡方程數(shù)2靜定問題未知量數(shù)3＞獨立平衡方程數(shù)2靜不定問題靜不定問題在變形體力學(xué)（材力,結(jié)力,彈力）中，除列出靜力學(xué)平衡方程外，還需考慮變形諧調(diào)條件，列出補充方程來聯(lián)合求解。靜定問題未知量數(shù)3=獨立平衡方程數(shù)3靜不定問題

未知量數(shù)4＞獨立平衡方程數(shù)3③物體受平面一般力系作用例已知:F=20kN,q=10kN/m,l=1m;求:固定端A處,鉸鏈B處的約束力.解:取CD梁,畫受力圖.FB=45.77kN取整體,畫受力圖.例已知:P=60kN,P1=20kN,P2=10kN,風(fēng)載F=10kN,

尺寸如圖;求:A,B處的約束力.解:取整體,畫受力圖.取吊車梁,畫受力圖.取右邊剛架,畫受力圖.例已知：P=20kN，q=5kN／m

，a=45°；求支座A、C的反力和中間鉸B處的壓力。解：㈠先研究

BC梁（附屬部分）

受力分析如圖，列平衡方程求解：①②③解得：

NC=14.14kN;XB=10kN

YB=10kN

㈡再研究AB

部分（基本部分）

受力分析如圖，列平衡方程求解：其中：Q=q﹒2=5×2=10kN,10kNMA=30kN·m,解得：10kNYA=20kN④⑤⑥例已知：尺寸如圖；求：BC桿受力及鉸鏈A受力.解:取AB

梁，畫受力圖.又可否列下面的方程？（2）可否列下面的方程?ABD[例]已知:構(gòu)架ABC由AB、AC

、AF三桿組成，受力及尺寸如圖所示。DF桿上的銷子E可在AC

桿的槽內(nèi)滑動，求AB桿上A、D和B點所受的力。分析:它有六個反力，不可直接求解。2、整體優(yōu)先，再看整體。1、ADB桿中包含了所有未知數(shù)，先分析它。四個未知數(shù)，也不可直接求解。但可求出垂直方向反力。FDE3、從已知力處分析，分析DEF桿。故先分析DEF桿，則D處兩個反力已知。三個未知數(shù)，可直接求解。E處反力如何？接下來分析何處？整體？ADB桿？AEC桿？4、分析整體，求出B處垂直反力。5、分析ADB

桿，求出其余反力。整體→ADB桿DEF桿→