氣體分子統(tǒng)計(jì)分布率

笫三章氣體分子統(tǒng)計(jì)分布率§1、統(tǒng)計(jì)方法簡(jiǎn)介§2、麥克斯韋分布律§3、玻耳茲曼分布律§4、能量均分定理§1統(tǒng)計(jì)方法簡(jiǎn)介2、伽爾頓板實(shí)驗(yàn):1、擲骰子實(shí)驗(yàn):A伽爾頓板實(shí)驗(yàn)分布曲線統(tǒng)計(jì)規(guī)律是自然界中關(guān)于大量偶然事件的普遍規(guī)律。一、統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)驗(yàn)二、概率及統(tǒng)計(jì)規(guī)律2、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：一定條件下，系列可能發(fā)生的事件中發(fā)生某一事件的可能性。1、概率：N次實(shí)驗(yàn),出現(xiàn)Ai的次數(shù)Ni大量熱運(yùn)動(dòng)分子組成的宏觀物體系統(tǒng)，在一定宏觀條件下系統(tǒng)所處的微觀狀態(tài)都是隨機(jī)的，但每個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率是一定的，與隨機(jī)事件一一對(duì)應(yīng)的任何量的統(tǒng)計(jì)平均值也是一定的。歸一化條件物理量的宏觀量P是相應(yīng)微觀量pi

的統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)計(jì)分布的最直接應(yīng)用就是求平均值。3、概率歸一化4、平均值§2麥克斯韋分布律溫度公式：雖然單個(gè)分子的速率取值是偶然的,但大量分子的速率滿足一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。例如溫度T一定時(shí),大量分子的方均根速率是確定的.一、氣體分子速率分布函數(shù)

設(shè)分子可能的速率值:取速率區(qū)間:第i個(gè)速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比或單個(gè)分子速率值落在區(qū)間內(nèi)的概率。平衡態(tài)時(shí)

Ni/N是完全確定的,當(dāng)v0時(shí),

Ni/(Nv)與v無關(guān),僅是v的連續(xù)函數(shù)，即速率分布函數(shù)。速率分布函數(shù)速率在v

附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比,或某分子速率出現(xiàn)在v

附近的單位速率間隔內(nèi)的概率.滿足歸一化條件物理意義：性質(zhì)：形式：速率分布函數(shù)是概率密度函數(shù)，是單位區(qū)間上概率的大小。速率范圍v1～v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率:與氣體熱運(yùn)動(dòng)速率有關(guān)的物理量F(v)的平均值為:已知f(v)是速率分布函數(shù),說明以下各式的物理意義：二、麥克斯韋速度分布率麥克斯韋速度分布率表達(dá)式為平衡態(tài)氣體分子的速率及速度分布規(guī)律是Maxwell在1859年發(fā)表的論文《氣體動(dòng)力理論的說明》中給出的。麥克斯韋速度分布率及速率分布率的推導(dǎo)：⑴以dNvx表示速度分量vx在vx+dvx之間的粒子數(shù)，用分布函數(shù)g(vx)表示在單位vx區(qū)間dvx寬度內(nèi)出現(xiàn)的概率，則同理有⑵假設(shè)三個(gè)概率是彼此獨(dú)立的，則粒子同時(shí)出現(xiàn)在vx~

vx+dvx

，vy~

vy+dvy，vz~vz+dvz間的概率為:式中為速度分布率（3）由于粒子在各方向運(yùn)動(dòng)的概率相等，所以速度分布與粒子的速度方向無關(guān)，即速度分布函數(shù)只是速度大小的函數(shù)速度分布率可以寫成要滿足這一關(guān)系，函數(shù)應(yīng)具有的形式，分布函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件，所以利用數(shù)學(xué)積分公式，可得麥克斯韋速度分布率：令A(yù)=-1/2,則具有無限大速率的粒子的概率極小，故A應(yīng)為負(fù)值。三、麥克斯韋速率分布率將速度分布率中的換成,得粒子在v到v+dv區(qū)間出現(xiàn)的概率1、速度空間在半徑為v，厚度為dv、體積為

的球殼內(nèi)，粒子的速率v出現(xiàn)在同一速率區(qū)間dv內(nèi)的概率相同。由上式可得速率平方的平均值2、確定常數(shù)α速率平方的平均值壓強(qiáng)微觀公式麥克斯韋速度分布率及速率分布率表達(dá)式為：理想氣體狀態(tài)方程四、麥克斯韋分布律的特征1、適用對(duì)象：平衡態(tài)的理想氣體f(vp)0vf(v)vpvv+dv面積=dNNA2、分布曲線面積表示速度在該區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總數(shù)的比率b)曲線隨溫度T變化:f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)T1T3T2vp2vp1AT1<T2<T3a)有極大值vp，

一邊無限延伸,最小值為0(v=0時(shí))。曲線的特點(diǎn):當(dāng)分子質(zhì)量相同時(shí),T升高，速率大的分子數(shù)增多，A點(diǎn)右下移,分布變平坦。c)曲線隨質(zhì)量m變化:當(dāng)溫度相同時(shí),粒子質(zhì)量越大,大速率分子的數(shù)量越少，A點(diǎn)左上移,分布變陡峭.f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)m1m3m2vp2vp1Am1>m2>m3例氫氣的溫度是300K.求速率在3000～3010ms–1之間的分子數(shù)與速率在1500～1510ms–1之間的分子數(shù)之比。解：v～v+Δv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為：Maxwell速率分布率：五、麥克斯韋速率分布的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證OD蒸汽源檢測(cè)器R抽氣抽氣1955年密勒(Miller)和庫(kù)什(P.Kusch)的實(shí)驗(yàn)比較精確地驗(yàn)證了麥克斯韋速率分布定律。密勒-庫(kù)什實(shí)驗(yàn)裝置及演示當(dāng)園柱體R以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，只有速率v滿足速率選擇條件的原子才能通過細(xì)槽。改變?chǔ)?，?duì)不同速率范圍內(nèi)的原子射線測(cè)其強(qiáng)度，就可驗(yàn)證麥克斯韋速度分布率速率選擇條件：應(yīng)用麥克斯韋分布律計(jì)算有關(guān)問題時(shí)常用到的一些廣義函數(shù)積分的遞推公式積分積分表1、平衡態(tài)下微觀粒子的三種速率六、麥克斯韋分布律的應(yīng)用c.方均根速率b.平均速率a.最可幾速率

vp:出現(xiàn)概率最大的速率三種速率在不同的問題中各有自已的應(yīng)用v02、氣體分子碰壁數(shù)與瀉流碰壁數(shù)(Γ):單位時(shí)間內(nèi)速度在v～v+dv范圍內(nèi)碰撞器壁內(nèi)表面(y-z面)面元dσ的分子數(shù)為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)碰到單位面積容器壁上的分子數(shù).單位時(shí)間內(nèi)同dσ碰撞的各種速度的總分子數(shù)ΔN為：利用積分公式得碰壁數(shù)：把面元dσ挖掉成一小孔。當(dāng)小孔很小，以致跑出的氣體分子對(duì)容器內(nèi)氣體平衡狀態(tài)的影響可以忽略，這樣小孔的漏氣現(xiàn)象稱為瀉流.Γ值就是單位時(shí)間內(nèi)泄漏出單位面積小孔的分子數(shù)?！?玻耳茲曼分布律一、氣體分子在重力場(chǎng)中按高度的分布重力場(chǎng)中平衡態(tài)理想氣體，即p0pp+dpz+dzz0z考慮z—z+dz段:兩邊積分：p0是z＝0時(shí)的壓強(qiáng)。玻爾茲曼分子數(shù)密度分布率在登山運(yùn)動(dòng)和航空駕駛中常通過測(cè)壓強(qiáng)p來估算高度.由等溫氣壓公式

保守力場(chǎng)中粒子按位置的分布率(玻耳茲曼數(shù)密度分布率)：在(x,y,z)～(x+dx,y+dy,z+dz)空間內(nèi)氣體的分子數(shù)為：一個(gè)分子在(x,y,z)～(x+dx,y+dy,z+dz)的概率為：玻爾茲曼位置分布函數(shù)（位置概率密度函數(shù)）保守力場(chǎng)中粒子按位置的分布率(玻耳茲曼分布率)：二、麥克斯韋－玻耳茲曼分布（MB分布）而粒子按速度的分布律（麥克斯韋速度分布率）為：經(jīng)典力學(xué)中位置和動(dòng)量（或速度）互相獨(dú)立，因此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相獨(dú)立事件，由獨(dú)立事件的概率乘法法則可知，粒子按速度及位置的分布律為：上式稱為麥克斯韋－玻耳茲曼分布律，適用于保守場(chǎng)中的系統(tǒng)。

玻耳茲曼因子§4、能量均分定理

確定運(yùn)動(dòng)物體在空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目.一、自由度雙原子分子：剛性i=5非剛性i=6多原子分子：剛性:i=6非剛性:i3n

氣體分子運(yùn)動(dòng)自由度：?jiǎn)卧臃肿樱?個(gè)平動(dòng)自由度,i=3二、能量按自由度均分定理理想氣體的平均平動(dòng)能為在平衡狀態(tài)下每個(gè)平動(dòng)自由度上的平均動(dòng)能都等于kT/2能量均分定理：t：平動(dòng)自由度數(shù)；r：轉(zhuǎn)動(dòng)自由度數(shù)；s：振動(dòng)自由度數(shù)平衡態(tài)時(shí)，各個(gè)自由度上運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)均等且能量均分，任何一種運(yùn)動(dòng)都不比另一種運(yùn)動(dòng)更占優(yōu)勢(shì)。分子的平均總能量在溫度為T的平衡態(tài)下,物質(zhì)分子的任何一個(gè)自由度上均分配有kT/2

的平均熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能。三、理想氣體的內(nèi)能與熱容1mol理想氣體的內(nèi)能：mol理想氣體的內(nèi)能：理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)U=U(T)理想氣體定容摩爾熱容：?jiǎn)卧臃肿託怏w雙原子剛性分子氣體例

求在溫度為30℃時(shí)氧氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能,平均動(dòng)能,平均能量以及4.010-3kg的氧氣的內(nèi)能(常溫下可以認(rèn)為是剛性分子，不考慮振動(dòng)能)。解:氧分子是雙原子分子，平動(dòng)自由度t=3，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r=2。平均平動(dòng)動(dòng)能平均動(dòng)能平均能量?jī)?nèi)能例

星體周圍大氣的穩(wěn)定性。試計(jì)算氣體在大氣中的逃逸速率與方均根速率之比。其中大氣溫度T=290K,地球質(zhì)量Me=6.0×1024kg,地球半徑Re=6.4×106m.解:設(shè)無窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零,在地球表面附近大氣層中的分子具有引力勢(shì)能為：分子逃逸條件：而對(duì)于氣體分子，其方均根速率為分子逃逸速率故兩速率之比:氣體種類氫氣氦氣氮?dú)庋鯕舛趸妓俾手?.98.322.123.627.7◆氣體的兩速率比值愈小表明分子愈容易逃脫地球引力場(chǎng)作用空間，這是大氣層中氫氣和氦氣成分遠(yuǎn)小于氮?dú)夂脱鯕獾脑蛑?/p>