高中文科數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

..ll//m立體幾何知識(shí)點(diǎn)整理〔文科ml//m一．直線和平面的三種位置關(guān)系：αl線面平行方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。l//l//αl符號(hào)表示：線面相交lβlαAα方法三：用平面法向量實(shí)現(xiàn)。

符號(hào)表示：線在面內(nèi)nl若n為平面的一個(gè)法向量,nl且l則l//。lαα符號(hào)表示：二．平行關(guān)系：線線平行：l方法一：用線面平行實(shí)現(xiàn)。l//ll//mm面面平行：方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。l//l'αlβml'm'mm//l,m且相交//方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。l',且相交l//βll//mγmmα方法二：用線面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。l//若l,m,則l//m。m////方法四：用向量方法：l,m且相交βlm若向量l和向量m共線且lm不重合,則l//m。α線面平行：方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。1/11..lAαCB方法三：用向量方法：若向量l和向量m的數(shù)量積為0,則lm。三．垂直關(guān)系：三．夾角問(wèn)題。線面垂直：<一>異面直線所成的角：方法一：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。

<1>范圍：<0,90]

lAClABABABACAC,Al<2>求法：方法一：定義法。步驟：平移,使它們相交,找到夾角。PnAθOα方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。步驟：解三角形求出角。<常用到余弦定理>余弦定理：

βlmla

cmllcos2a2bc2θbα<計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角>面面垂直：方法二：向量法。轉(zhuǎn)化為向量方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。C的夾角βllθ<>計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角：lABαABACABACcos方法二：計(jì)算所成二面角為直角。<二>線面角線線垂直：<1>定義：直線l上任取一點(diǎn)〔交點(diǎn)除外,作方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。mllmlmPO于O,連結(jié)AOAO為斜線PA在面內(nèi)的射影,PAO<圖中>為直線l與面所成的角。αP方法二：三垂線定理及其逆定理。POPθAOαAOlαlOAlPAl<2>范圍：[0]2/11..0ll//當(dāng)時(shí),或當(dāng)90時(shí),ln1n2θ<3>求法：方法一：定義法。步驟1：作出線面角,并證明。步驟2：解三角形,求出線面角。步驟一：計(jì)算cosnn12nn12nn12<三>二面角及其平面角步驟二：判斷與nn的關(guān)系,可能相等或12<1>定義：在棱l上取一點(diǎn),兩個(gè)半平面內(nèi)分別作者互補(bǔ)。l的垂線〔射線m、n,則射線m和n的夾角為四．距離問(wèn)題。二面角—l—的平面角。

1．點(diǎn)面距。方法一：幾何法。m

PlPnAO<2>范圍：[0]步驟P作PO于OPO即為所求。步驟：計(jì)算線段PO的長(zhǎng)度。<直接解三角形；等<3>求法：體積法和等面積法；換點(diǎn)法>方法一：定義法。2．線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距。步驟1<三垂線定理>3．異面直線之間的距離步驟2：解三角形,求出二面角的平面角。方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。方法二：截面法。m步驟1POA同時(shí)垂直于平面和,n則交線<射線>AP和AO的夾角就是二面角。如圖,m和n為兩條異面直線,n且步驟2：解三角形,求出二面角。m//m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直βP線m與平面之間的距離。θA方法二：直接計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。Oα方法三：公式法。方法三：坐標(biāo)法<計(jì)算結(jié)果可能與二面角互補(bǔ)>。3/11..如圖,AD是異面直線m和n的公垂線段,BaAmd

nm//,則異面直線m和n之間的距離為：cCm'Dbdc2abab222cos五．空間向量<一>空間向量基本定理AA1CDC1若向量a,b,c為空間中不共面的三個(gè)向量,則對(duì)空間中任意一個(gè)向量p,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)BB1、、z,使得pxayb。<二>三點(diǎn)共線,四點(diǎn)共面問(wèn)題A,B,C三點(diǎn)共線OAxOByOC,且xy1當(dāng)1xy時(shí),A是線段BC的2A,B,C三點(diǎn)共線ABACA,B,,D四點(diǎn)共面OAxOByOCzOD,且xyz1當(dāng)1xyz時(shí),A是△BCD的3A,B,,D四點(diǎn)共面ABxACyAD<三>空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知空間中A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A<x,y,z>,B<x2,y2,2>則：111AB;dA,BAB若空間中的向量a<1,y1,1>,<2,y,z>bx22則abab4/11..abcosab六．常見幾何體的特征及運(yùn)算<一>長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體的對(duì)角線相等且互相平分。若長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與相鄰的三條棱所成的角分別為、、,則222cos+cos+cosαβγαβγ若長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與相鄰的三個(gè)面所成的角分別為、、,則222cos+cos+cos若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為、b、c,則體對(duì)角線長(zhǎng)為,表面積為,體積為。<二>正棱錐：底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影在底面中心。<三>正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。<四>正多面體：每個(gè)面有相同邊數(shù)的正多邊形,且每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)有相同棱數(shù)的凸多面體。<只有五種正多面體><五>棱錐的性質(zhì)：平行于底面的的截面與底面相似,且面積比等于頂點(diǎn)到截面的距離與棱錐的高的平方比。正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形。<六>體積：V棱柱V棱錐<七>球定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫球面。設(shè)球半徑為R,小圓的半徑為r,小圓圓心為O,球心O到小圓的距離為d,則它們?nèi)咧g的數(shù)量關(guān)系是。球面距離：經(jīng)過(guò)球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度。球的表面積公式：體積公式：高考題典例考點(diǎn)1點(diǎn)到平面的距離5/11..例1如圖,正三棱柱ABCABC的所有棱長(zhǎng)都為2,D為111CC中點(diǎn)．1〔Ⅰ求證：AB⊥平面1ABD1AADB的大??；1〔Ⅲ求點(diǎn)C到平面ABD的距離．1解答過(guò)程〔Ⅰ取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO．△ABC為正三角形,AO⊥BC．正三棱柱ABC11中,平面ABC⊥平面BCCB,11AA1AO⊥平面BCCB11BO,在正方形1BBCC中,,D分別為11FB,CC1的中點(diǎn),BO⊥BD,1AB⊥BD．1OCDC1在正方形ABBA中,11AB⊥AB,11AB⊥平面1ABD．1BB1〔Ⅱ設(shè)AB與1AB交于點(diǎn)G,在平面1ABD中,作1GF⊥AD于F,連結(jié)1AF,由〔Ⅰ得AB⊥平面1ABD．1AF⊥AD,∠AFG為二面角1AADB的平面角．1在△中,由等面積法可求得45AADAF,15又1AGAB,sin2102AG∠AFG12AF4545．所以二面角AADB的大小為arcsin1014．〔Ⅲ△中,ABD1,,,△1．BDD51B22SABD6S△BCD1在正三棱柱中,A到平面1BCCB的距離為3．11設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為d．1由VV,得ABCDCABD1111S3Sd△△BCDABD331,d3S2△BCDS△ABD12．點(diǎn)C到平面ABD的距離為212．考點(diǎn)2異面直線的距離例2已知三棱錐SABC,底面是邊長(zhǎng)為42的正三角形,棱SC的長(zhǎng)為2,且垂直于底面.、D分別為BC、AB的中點(diǎn),求6/11..CD與SE間的距離.解答過(guò)程：如圖所示,取BD的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,SF,CF,EF為BCD的中位線,EF∥CD,CD∥面SEF,CD到平面SEF的距離即為兩異面直線間的距離又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線CD上一點(diǎn)C到平面SEF的距離,設(shè)其為h,由題意知,BC42,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點(diǎn),CD126,EFCD6,DF2,SC22VSCEF1312EFDFSE2在RtSCE中,SESC232CF2在RtSCF中,SFSC4242301又EF6,S3由于VCSEFSCEFSSEFhSEF3,即13323h,解得3h23323故CD與SE間的距離為.3考點(diǎn)3直線到平面的距離例3．如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體AC中,G是1AA的中點(diǎn),求BD到平面1GB1D的距離.1思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離,再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.解答過(guò)程：解析一BD∥平面GB1D,1A1D1O1B1C1BD上任意一點(diǎn)到平面GB1D1的距離皆為所求,以下求H點(diǎn)O平面GB1D1的距離,GD

C1DAC,B1D11A,1D1平面11,111OAB又1D1平面GB1D1平面1ACC1GB1D1,兩個(gè)平面的交線是G,作OH1G于H,則有OH平面GB1D1,即OH是O點(diǎn)到平面GB1D1的距離.11在OG中,S1OOAO222O.OG1227/11..又1126SOOGOHOGOHOH.32,1223即BD到平面GB1D1的距離等于263.解析二BD∥平面GB1D,1BD上任意一點(diǎn)到平面GB1D1的距離皆為所求,以下求點(diǎn)B平面GB1D1的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面GB1D的距離為h,將它視為三棱錐1BGB的高,則1D11VBV,由于S2236,GB1DDGBBGBD111112114V222,1GBB1323h46263,即BD到平面GB1D的距離等于1263.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí),直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等,都是線面距離所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn),轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離.考點(diǎn)4異面直線所成的角例4如圖,在Rt△AOB中,OAB,斜邊AB4．Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)6A得到,且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中點(diǎn)．〔I求證：平面COD平面AOB；D〔II求異面直線AO與CD所成角的大?。獯疬^(guò)程由題意,COAO,BOAO,zAEBOBOC是二面角BAOC是直二面角,CCOBO,又AOBOO,CO平面AOB,D又CO平面COD．平面COD平面AOB．〔II作DEOB,垂足為E,連結(jié)CEDE∥AO,CDE是異面直線AO與CD所成的角．在Rt△COE中,COBO2,11OEBO,2225CECOOE．xCOBy8/11..又DE1AO3．在Rt△CDE中,tan515CECDE2DE33．異面直線AO與CD所成角的大小為arctan153．小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形,作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇"特殊點(diǎn)",作另一條直線的平行線,如解析一,或利用中位線,如解析二；②補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系,如解析三一般來(lái)說(shuō),平移法是最常用的,應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法同時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍：0.,2考點(diǎn)5直線和平面所成的角例5.四棱錐SABCDABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC底面ABCD∠ABC45,AB2,BC22,SASB3．S〔Ⅰ證明SABCSD與平面SAB所成角的大?。瓹B解答過(guò)程：〔Ⅰ作SO⊥BCOAO,由側(cè)面SBC⊥底面D

AAB,得SO⊥底面ABCD．S因?yàn)镾ASB,所以AOBO,又∠ABC45,故△AOB為等腰直角三角形,OAO⊥BO,由三垂線定理,得SA⊥BC．CB〔Ⅱ由〔Ⅰ知SA⊥BC,依題設(shè)AD∥BC,DA故SA⊥ADADBC22SA3,AO2,得SO1,SD11．△SA的面積2112SABSAAB．2122連結(jié)DB,得△DAB的面積1SABAD22sin1352設(shè)D到平面SAB的距離為h,由于VV,得DSABSABD11hSSOS,解得h2．1233設(shè)SD與平面SAB所成角為,則sinh222SD1111．所以,直線SD與平面SBC所成的我為arcsin2211．小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí),應(yīng)注意的問(wèn)題是〔1先判斷直線和平面的位置關(guān)系；〔2當(dāng)直線和平面斜交時(shí),常用以下步驟：①構(gòu)造——作出斜線與射影所成的角,②證明——論證作出的角為所求的角,9/11..③計(jì)算——常用解三角形的方法求角,④結(jié)論——點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6二面角例6．如圖,已知直二面角PQ,APQ,B,C,CACB,CBAP,直線CA和平面所成的角為30證明BC⊥PQ45PAQ〔II求二面角BACP的大?。瓸過(guò)程指引在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CO⊥PQ于點(diǎn)O,連結(jié)OB．因?yàn)椤?PQ,所以CO⊥,CHAPQ又因?yàn)镃ACB,所以O(shè)AOB．O

B而BAO45,所以ABO45,AOB90,從而BO⊥PQ,又CO⊥PQ,所以PQ⊥平面OBC．因?yàn)锽C平面OBC,故PQ⊥BC．〔II由〔I知,BO⊥PQ,又⊥,PQ,BO,所以BO⊥．過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H,連結(jié)BH,由三垂線定理知,BH⊥AC．故BHO是二面角BACP的平面角．由〔知,CO⊥,所以CAO是CA和平面所成的角,則CAO30,不妨設(shè)AC2,則AO3,3OHAOsin30．2在Rt△OAB中,ABOBAO45,所以BOAO3,于是在Rt△BOH中,BO3tanBHO故二面角BACP的大小為arctan2．OH

32小結(jié)：本題是一個(gè)無(wú)棱二面角的求解問(wèn)題.解法一是確定二面角的棱,進(jìn)而找出二面角的平面角.無(wú)棱二面角棱的確定有以下三種途徑：①由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱,②由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱,③補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法,這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法,即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí),可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.10/11..考點(diǎn)7利用空間向量求空間距離和角例7．如圖,已知ABCDABCD是棱長(zhǎng)為3的正方體,1111D1A1點(diǎn)E在AA1上,點(diǎn)F在CC1上,且AE11．C1B1〔1求證：,,F,D1四點(diǎn)共面；〔2若點(diǎn)G在BC上,2BG,點(diǎn)M在3FEMADHBB上,GM⊥BF,垂足為1CBGH,求證：EM⊥平面BCCB；11〔3用表示截面EBFD和側(cè)面1所成的銳二面角的大小,求tan．1過(guò)程指引如圖,在1則AEDN1,DDNDN1ENCN上取點(diǎn),使,連結(jié),,1CF12．C1D1B1A1因?yàn)锳E∥DN,ND∥CF,所以四邊形ADNE,1CFDN都為平行四1FNE邊形．從而ENAD,FD∥CN．1又因?yàn)?/p>