第3章參數(shù)估計

統(tǒng)計學(xué)Statistics第3章參數(shù)估計參數(shù)估計在統(tǒng)計方法中的地位參數(shù)估計假設(shè)檢驗統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計大學(xué)生每周上網(wǎng)花多少時間？為了解學(xué)生每周上網(wǎng)花費(fèi)的時間，中國人民大學(xué)公共管理學(xué)院的4名本科生對全校部分本科生做了問卷調(diào)查。調(diào)查的對象為中國人民大學(xué)在校本科生，調(diào)查內(nèi)容包括上網(wǎng)時間、途徑、支出、目的、關(guān)心的校園網(wǎng)內(nèi)容，以及學(xué)生對收費(fèi)的態(tài)度，包括收費(fèi)方式、價格等問卷調(diào)查由調(diào)查員直接到宿舍發(fā)放并當(dāng)場回收。對四個年級中每年級各發(fā)60份問卷，其中男、女生各30份。共收回有效問卷共200份。其中有關(guān)上網(wǎng)時間方面的數(shù)據(jù)經(jīng)整理如下表所示大學(xué)生每周上網(wǎng)花多少時間？回答類別人數(shù)（人）頻率（%）3小時以下32163～6小時3517.56～9小時3316.59～12小時2914.512小時以上7135.5合計200100平均上網(wǎng)時間為8.58小時，標(biāo)準(zhǔn)差為0.69小時。全校學(xué)生每周的平均上網(wǎng)時間是多少？每周上網(wǎng)時間在12小時以上的學(xué)生比例是多少？參數(shù)估計大致判斷出總體分布的類型后，用樣本參數(shù)推斷總體分布的相應(yīng)參數(shù)。1.點(diǎn)估計不重復(fù)抽樣2.區(qū)間估計重復(fù)抽樣不同樣本算得的的估計值不同，因此還希望根據(jù)所給的樣本確定一個隨機(jī)區(qū)間,使其包含參數(shù)真值的概率達(dá)到指定的要求。均值方差區(qū)間估計

(IntervalEstimate)在點(diǎn)估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個估計區(qū)間，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%樣本統(tǒng)計量

(點(diǎn)估計)置信區(qū)間置信下限置信上限區(qū)間估計的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例，也稱置信度表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有

99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平

(ConfidenceLevel)

由樣本估計量構(gòu)造出的總體參數(shù)在一定置信水平下的估計區(qū)間統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間總體參數(shù)的真值是固定的，而用樣本構(gòu)造的區(qū)間則是不固定的，因此置信區(qū)間是一個隨機(jī)區(qū)間，它會因樣本的不同而變化，而且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù)。我們只能希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個。置信區(qū)間的表述

(ConfidenceInterval)置信區(qū)間的表述

(95%的置信區(qū)間)從均值為185的總體中抽出n=10的20個樣本構(gòu)造出的20個置信區(qū)間我沒有抓住參數(shù)！點(diǎn)估計值使用一個較大的置信水平會得到一個比較寬的置信區(qū)間，而使用一個較大的樣本則會得到一個較準(zhǔn)確(較窄)的區(qū)間。直觀地說，較寬的區(qū)間會有更大的可能性包含參數(shù)但實(shí)際應(yīng)用中，過寬的區(qū)間往往沒有實(shí)際意義比如，天氣預(yù)報說“在一年內(nèi)會下一場雨”，雖然這很有把握，但有什么意義呢？另一方面，要求過于準(zhǔn)確(過窄)的區(qū)間同樣不一定有意義，因為過窄的區(qū)間雖然看上去很準(zhǔn)確，但把握性就會降低，除非無限制增加樣本量，而現(xiàn)實(shí)中樣本量總是有限的區(qū)間估計總是要給結(jié)論留點(diǎn)兒余地置信區(qū)間的表述

(ConfidenceInterval)置信區(qū)間與置信水平的關(guān)系

均值的抽樣分布(1-)%區(qū)間包含了

%的區(qū)間未包含1–aa/2a/2區(qū)間估計的種類區(qū)間估計均值均值差一個總體兩個總體方差方差比方差已知方差未知比率一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計量均值比例方差

P（X﹥za）﹦a一個總體方差已知時均值的區(qū)間估計

P（X<-za）﹦a或的za或-za叫標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的單側(cè)上a分位點(diǎn)。若

X

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則滿足下式：需要的定義：

P（X﹥za/2）﹦a若

X

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則滿足下式：的za/2叫標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)上a分位點(diǎn)。不重復(fù)抽樣條件下：若隨機(jī)變量X則有如下定理成立：～～～重復(fù)抽樣條件下：需要的定理：

P（

﹥za/2）﹦a因為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以：

P（﹥za）﹦a或

P（﹤﹣za）﹦a重復(fù)抽樣條件下均值的單側(cè)區(qū)間估計：重復(fù)抽樣條件下均值的雙側(cè)區(qū)間估計：因為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以：單側(cè)置信區(qū)間雙側(cè)置信區(qū)間：重復(fù)抽樣條件下均值的置信區(qū)間：重復(fù)抽樣（放回）不重復(fù)抽樣均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差(抽樣平均誤差)均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差又稱為抽樣平均誤差或均值標(biāo)準(zhǔn)誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差。若隨機(jī)變量則有如下定理成立：～～一個總體方差未知時均值的區(qū)間估計需要的定義：需要的定理：自由度小于45時重復(fù)抽樣條件下均值的兩個的單側(cè)置信區(qū)間為：

自由度大于45時重復(fù)抽樣條件下均值的兩個的單側(cè)置信區(qū)間為：

【例1】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10克。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3【例2】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計【例3】一家保險公司收集到由66個投保人組成的隨機(jī)樣本，得到每個投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間66個投保人年齡的數(shù)據(jù)23353927364436424643313342534554472434283936444039493834485034394548…32【例4】對某型號飛機(jī)的最大飛行速度進(jìn)行了16次試驗,測得其平均最大飛行速度為425米/秒,已知最大飛行速度方差為81,根據(jù)經(jīng)驗知到最大飛行速度服從正態(tài)分布,以95%的置信度求平均最大飛行速度不低于多少?用SPSS求置信區(qū)間SPSS的輸出結(jié)果

區(qū)間估計AnalyzeDescriptiveStatisticsExploreSpreadvs.LevelwithLeveneTest：輸出散布——層次圖，包括回歸直線斜率及方差齊次性的Levene檢驗。若無分組變量，此選項無效。Transformed：對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，有：三次方(Cube)、平方(Square)、平方根(1/Square

root)取對數(shù)(Logarithm)。Powerestimation：轉(zhuǎn)換冪值估計，表示對每一組數(shù)據(jù)產(chǎn)生一個中位數(shù)范圍的自然對數(shù)與四分位數(shù)范圍的自然對數(shù)的散點(diǎn)圖；None：不生成散布——層次圖；Statistics的界面解釋Descriptives：輸出均值的95%置信區(qū)間、中位數(shù)、眾數(shù)、均值標(biāo)準(zhǔn)差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、Min、Max、R、四分位距、峰度系數(shù)和斜度系數(shù)。M-estimators：做中心趨勢的粗略最大似然確定，輸出4個不同權(quán)重的最大似然確定數(shù)。當(dāng)數(shù)據(jù)分布均勻且兩尾巴較長或數(shù)據(jù)中存在極端值時，可以提供比較合理的估計。Outliers：輸出5個最大值和最小值。Percentiles：輸出第5%、10%、25%、50%、75%、90%和95%百分位數(shù)。大樣本：np(成功次數(shù))和n(1-p)(失敗次數(shù))均應(yīng)該大于15使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z或t分布統(tǒng)計量

一個總體比例的區(qū)間估計3.總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為自一大批產(chǎn)品中抽取100個樣品，其中有60個一級品,求這批產(chǎn)品的一級品率

p

的置信度為0.95的置信區(qū)間?？傮w比例的區(qū)間估計【例5-4】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

練習(xí)某進(jìn)出口公司，出口一種名茶，規(guī)定每包規(guī)格重量不低于150克，現(xiàn)抽取1%進(jìn)行檢驗，結(jié)果如下：每包重量（克）包數(shù)

140——14910149——15020150——15150151——15220

合計100要求：以95%的概率推斷這批茶葉包裝合格率的置信區(qū)間。分位點(diǎn)定義分布單、雙側(cè)上

一個總體方差的區(qū)間估計需要的定義：需要的定理：若隨機(jī)變量則有如下定理成立：～～總體方差的區(qū)間估計

(圖示)221-2總體方差的1-的置信區(qū)間自由度為n-1的2

P（

）﹦a雙側(cè)置信區(qū)間為：

總體方差的區(qū)間估計

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3練習(xí)

某工廠生產(chǎn)一批滾珠,其直徑X服從正態(tài)分布N(

2),現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)

(1)若

2=0.06,求

的置信區(qū)間

(2)

若

2未知,求

的置信區(qū)間

(3)求方差

2的置信區(qū)間。抽取

6

件,

測得直徑為：15.1，14.8，15.2，14.9，14.9，15.1置信度均為0.95兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計量均值差比例差方差比

兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩獨(dú)立樣本兩配對樣本★兩獨(dú)立樣本已知總體方差,均值差的推算；～～若隨機(jī)變量則：★未知總體方差,但=，均值差推斷～～若隨機(jī)變量則：需要的定理：★未知總體方差,但≠，均值差推斷～～若隨機(jī)變量則：需要的定理：兩個總體方差比的置信區(qū)間(1,2未知)～～若隨機(jī)變量則：需要的定理：因此,方差比的置信區(qū)間為：兩個總體方差比的區(qū)間估計

(圖示)FF1-F總體方差比的1-的置信區(qū)間方差比置信區(qū)間示意圖【例】為了研究男女學(xué)生在生活費(fèi)支出(單位：元)上的差異，在某大學(xué)各隨機(jī)抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果男學(xué)生：女學(xué)生：試以90%置信水平估計男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間兩個總體方差比的區(qū)間估計

(例題分析)兩個總體方差比的區(qū)間估計

(例題分析)解:根據(jù)自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F(xiàn)1-/2(24)=1/1.98=0.50512/22置信度為90%的置信區(qū)間為男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間為0.47~1.84

兩個總體均值之差的估計

(獨(dú)立大樣本)【例5-6】某地區(qū)教育管理部門想估計兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨(dú)立抽取兩個隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表。建立兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間

兩個樣本的有關(guān)數(shù)據(jù)

中學(xué)1中學(xué)2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2English

反映了估計的可靠度,越小,越可靠.置信區(qū)間的長度反映了估計精度越小,1-越大,估計的可靠度越高,但

確定后,置信區(qū)間的選取方法不唯一,

常選最小的一個.幾點(diǎn)說明越小,估計精度越高.這時,往往增大,因而估計精度降低.★兩配對樣本大樣本小樣本兩個總體均值之差的估計

(匹配小樣本)【例5-9】由10名學(xué)生組成一個隨機(jī)樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進(jìn)行測試，結(jié)果如下表。試建立兩種試卷分?jǐn)?shù)之差d=1-2

95%的置信區(qū)間

10名學(xué)生兩套試卷的得分學(xué)生編號試卷A試卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916兩個總體均值之差的估計

(匹配小樣本)解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得兩種試卷所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為6.33分~15.67分兩個總體均值之差的區(qū)間估計

(用SPSS進(jìn)行估計—配對樣本)用求置信區(qū)間SPSS第1步：選擇【Analyze】下拉菜單，并選擇【CompareMeans—Paired-SamplesTTest】選項，進(jìn)入主對話框第2步：將兩個樣本同時選入【PairedVariables】第3步：點(diǎn)擊【Options】，選擇所需的置信水平(隱含值為95%)。點(diǎn)擊【Continue】回到主對話框。點(diǎn)擊【OK】用SPSS求配對小樣本均值之差置信區(qū)間

(例題分析)SPSS的輸出結(jié)果

(只截取估計的部分)兩個總體比例之差的區(qū)間估計兩個總體比例之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體比例之差的估計【例5-10】在某個電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機(jī)調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以95%的置信水平估計