大學數(shù)學導數(shù)應用

第三節(jié)盡可能地描述函數(shù)曲線：判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，尋找特殊點—極值及拐點，曲線的凸性與漸近線機動目錄上頁下頁返回結束導數(shù)在函數(shù)研究中的應用

第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無妨設任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導,機動目錄上頁下頁返回結束證畢機動目錄上頁下頁返回結束幾何上解釋：

1.導數(shù)大于零：切線斜率大于0，單調(diào)增

2.導數(shù)小于零：切線斜率小于0，單調(diào)減回憶：函數(shù)曲線在局部看成斜率為f’(x)的直線。例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結束說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機動目錄上頁下頁返回結束y在y在二、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當時,(1)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點

,稱為函數(shù)的極小值

.極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點機動目錄上頁下頁返回結束例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導數(shù)2)求極值可疑點令得不可導點：3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為機動目錄上頁下頁返回結束二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點——導數(shù)為

0

或不存在的點：(2)

最大值最小值機動目錄上頁下頁返回結束注:

當在上單調(diào)時,最值必在端點處達到.機動目錄上頁下頁返回結束例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機動目錄上頁下頁返回結束定義.

對于可導單調(diào)函數(shù)，對應的函數(shù)曲線(1)往上凸：位于該曲線上任一點切線的下方。該曲線被稱為上凸曲線，對應的函數(shù)稱為上凸函數(shù)。(2)往下凸：位于該曲線上任一點切線的下方。該曲線被稱為下凸曲線，對應的函數(shù)稱為下凸函數(shù)。

函數(shù)曲線上凸與下凸的分界點稱為拐點

.三、曲線的凸性與拐點機動目錄上頁下頁返回結束定理3.(凸性判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)是下凸的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)是上凸的.“證”:從前面圖像可觀察到：下凸：曲線切線斜率越來越大，即導函數(shù)單增；二階導數(shù)>0.上凸：曲線切線斜率越來越小，即導函數(shù)單減；二階導數(shù)<0.

嚴格證明見P71定理3.13：利用一階泰勒公式（P71定理3.12)可得。

機動目錄上頁下頁返回結束設函數(shù)在區(qū)間I上有二階導數(shù)例4.判斷曲線的凸性.解:故曲線在上是向上凸的.說明:1)若在某點二階導數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:則曲線的凸性不變.在其兩側二階導數(shù)不變號,機動目錄上頁下頁返回結束2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側異號,則點是曲線的一個拐點.例5.求曲線的凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)

及均為拐點.下凸下凸上凸機動目錄上頁下頁返回結束點M

與某一直線L的距離趨于0,四、曲線的漸近線定義.

若曲線

C上的點M

沿著曲線無限地遠離原點時,則稱直線L為曲線C

的漸近線.或為“縱坐標差”機動目錄上頁下頁返回結束只講：

水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例6.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.機動目錄上頁下頁返回結束五、函數(shù)圖形的描繪步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.求并求出及3.根據(jù)第二步判別增減及上下凸區(qū)間4.求水平和垂直漸近線;5.在坐標上描出這些特殊點,再依據(jù)上面其他三個步驟逐段描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點，以及對應的極值和拐點（統(tǒng)稱特殊點）;并考察其對稱性及周機動目錄上頁下頁返回結束例7.

描繪的圖形.解:1)定義域為無對稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點）(極小)4)機動目錄上頁下頁返回結束例8.描繪方程的圖形.解:1)定義域為2)求特殊點機動目錄上頁下頁返回結束3)判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4)求漸近線為垂直漸近線無定義機動目錄上頁下頁返回結束5）繪圖(極大)(極小)綠色斜漸近線不用畫！??！垂直漸近線特殊點