差分方程模型

差分方程模型

一、差分方程簡(jiǎn)介以t表示時(shí)間，規(guī)定t只取非負(fù)整數(shù)。t=0表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。記yt

為變量y在時(shí)刻t時(shí)的取值，則稱為yt

的一階差分，稱為的二階差分。類似地，可以定義yt的n階差分。由t、yt及yt的差分給出的方程稱為yt差分方程，其中含的最高階差分的階數(shù)稱為該差分方程的階。差分方程也可以寫成不顯含差分的形式。例如，二階差分方程也可改寫成滿足一差分方程的序列yt稱為此差分方程的解。類似于微分方程情況，若解中含有的獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)等于差分方程的階數(shù)時(shí)，稱此解為該差分方程的通解。若解中不含任意常數(shù)，則稱此解為滿足某些初值條件的特解，例如，考察兩階差分方程易見(jiàn)與均是它的特解，而

則為它的通解，其中c1，c2為兩個(gè)任意常數(shù)。類似于微分方程，稱差分方程

為n階線性差分方程，當(dāng)≠0時(shí)稱其為n階非齊次線性差分方程，而則被稱為方程對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程。若所有的ai(t)均為與t無(wú)關(guān)的常數(shù)，則稱其為常系數(shù)差分方程，即n階常系數(shù)線性差分方程可分成（1）

的形式，其對(duì)應(yīng)的齊次方程為（2）容易證明，若序列與均為方程（2）的解，則也是方程（2）的解，其中c1、c2為任意常數(shù)，這說(shuō)明，齊次方程的解構(gòu)成一個(gè)線性空間（解空間）。

方程（1）可用如下的代數(shù)方法求其通解：（步一）先求解對(duì)應(yīng)的特征方程

（3）

（步二）根據(jù)特征根的不同情況，求齊次方程(2)的通解

情況1

若特征方程（3）有n個(gè)互不相同的實(shí)根,…,，則齊次方程（2）的通解為

(C1,…,Cn為任意常數(shù))，情況2

若λ

是特征方程（3）的k重根，通解中對(duì)應(yīng)于λ的項(xiàng)為為任意常數(shù)，i=1,…,k。情況3

若特征方程（3）有單重復(fù)根通解中對(duì)應(yīng)它們的項(xiàng)為為λ的模，為λ的幅角。

情況4

若為特征方程（3）的k重復(fù)根，則通解對(duì)應(yīng)于它們的項(xiàng)為為任意常數(shù)，i=1,…,2k。

.若yt為方程(2)的通解,則非齊次方程(1)的通解為（步三）

求非齊次方程(1)的一個(gè)特解

求非齊次方程（1）的特解一般要用到常數(shù)變易法，計(jì)算較繁。對(duì)特殊形式的b(t)也可使用待定系數(shù)法。例1

求解兩階差分方程解

對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，其特征根為，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

原方程有形如的特解。代入原方程求得，，故原方程的通解為在應(yīng)用差分方程研究問(wèn)題時(shí)，一般不需要求出方程的通解，在給定初值以后，通?？捎糜?jì)算機(jī)迭代求解，但我們常常需要討論解的穩(wěn)定性。對(duì)差分方程(1),若不論其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解中任意常數(shù)C1,…,Cn

如何取值,在時(shí)總有,則稱方程(3)的解是穩(wěn)定的,否則稱其解為不穩(wěn)定的.根據(jù)通解的結(jié)構(gòu)不難看出,非齊次方程(1)穩(wěn)定的充要條件為其所有特征根的模均小于1。三、差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性1．

一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性一階線性常系數(shù)差分方程xk+1+axk=b,k=0,1,2,…（1）的平衡點(diǎn)由x+ax=b解得，為，當(dāng)時(shí)，若xkx*，則x*是穩(wěn)定的。方程（1）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題可以通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)換為齊次方程xk+1+axk=0,k=0,1,2…(2)的平衡點(diǎn)x*=0的穩(wěn)定性問(wèn)題。而對(duì)于方程（2），其解可以表示為

xk=(-a)kx0,k=1,2,…(3)所以當(dāng)且僅當(dāng)|a|<1時(shí)，方程（2）（從而方程（1））的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。

對(duì)于n維向量x(k)和n*n常數(shù)矩陣A構(gòu)成的方程組

x(k+1)+Ax(k)=0其平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件是A的特征根λi,I=1,2,…，均有|λi|<1。2．

二階線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性考察二階線性差分方程xk+a1xk+1+a2xk+2=0(4)在平衡點(diǎn)x*=0的穩(wěn)定性。為求（4）的通解，先寫出他的特征方程記它的根為λ1，λ2，則（4）的通解可以表示為，其中常數(shù)c1,c2由初始條件x0,x1確定，從而可知，當(dāng)且僅當(dāng)|λ1|<1,|λ2|<1時(shí)方程（4）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。

3

一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性考察一階非線性差分方程xk+1=f(xk)(7)

的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。其平衡點(diǎn)x*由x=f(x)解出。將（7）的右端在x*點(diǎn)做泰勒展開(kāi)，只取一次項(xiàng)，則（7）可以近似為：（8）x*也是（8）的平衡點(diǎn)。線性方程（8）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性討論同（1），而當(dāng)|f’(x*)|≠1時(shí)（7）與（8）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。從而有：當(dāng)|f’(x*)|<1時(shí)，方程（7）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；當(dāng)|f’(x*)|>1時(shí)，方程（7）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。例1（市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的蛛網(wǎng)模型）在自由競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，商品的價(jià)格是由市場(chǎng)上該商品的供應(yīng)量決定的，供應(yīng)量越大，價(jià)格就越低。另一方面，生產(chǎn)者提供的商品數(shù)量又是由該商品的價(jià)格決定的，價(jià)格上升將刺激生產(chǎn)者的生產(chǎn)積極性，導(dǎo)致商品生產(chǎn)量的增加。反之，價(jià)格降低會(huì)影響生產(chǎn)者的積極性，導(dǎo)致商品生產(chǎn)量的下降。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，對(duì)每一商品事實(shí)上存在著兩個(gè)不同的函數(shù)：（1）供應(yīng)函數(shù)x=f(P)，它是價(jià)格P的單增函數(shù)，其曲線稱為供應(yīng)曲線。（2）需求函數(shù)x=g(P)，它是價(jià)格P的單降函數(shù)，其曲線稱為需求曲線，供應(yīng)曲線與需求曲線的形狀如圖所示。記t時(shí)段初市場(chǎng)上的供應(yīng)量(即上一時(shí)段的生產(chǎn)量)為xt

，市場(chǎng)上該商品的價(jià)格為Pt。商品成交的價(jià)格是由需求曲線決定的，即隨著

,Mt將趨于平衡點(diǎn)M*,即商品量將趨于平衡量x*,價(jià)格將趨于平衡價(jià)格P*。圖中的箭線反映了在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下該商品的供應(yīng)量與價(jià)格的發(fā)展趨勢(shì)。xoPP0P2P*P1xx1x2x0x*需求曲線供應(yīng)曲線M0M2M1M*①PoM3M2M1②如果供應(yīng)曲線和需求曲線呈圖①中的形狀，則平衡點(diǎn)M*是穩(wěn)定的，Mt將越來(lái)越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)。圖①和圖②的區(qū)別在哪里，如何判定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性呢？但是，如果供應(yīng)曲線和需求曲線呈圖②中的形狀，則平衡點(diǎn)M*是不穩(wěn)定的，Mt將越來(lái)越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)。即使初始時(shí)刻的供應(yīng)量和價(jià)格對(duì)應(yīng)于平衡點(diǎn)，一點(diǎn)微小的波動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致市場(chǎng)供求出現(xiàn)越來(lái)越大的混亂。上述用圖示法分析市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定性的討論在經(jīng)濟(jì)學(xué)中被稱為市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的蛛網(wǎng)模型。不難看出，在圖①中平衡點(diǎn)M*處供應(yīng)曲線的切線斜率大于需求曲線切線斜率的絕對(duì)值，而在圖②中情況恰好相反?，F(xiàn)在利用差分方程方法來(lái)研究蛛網(wǎng)模型，以驗(yàn)證上述猜測(cè)是否正確。我們知道，平衡點(diǎn)M*是否穩(wěn)定取決于在M*附近供、需曲線的局部性態(tài)。為此，用M*處供、需曲線的線性近似來(lái)代替它們，并討論此線性近似模型中M*的穩(wěn)定性。設(shè)供應(yīng)曲線與需求曲線的線性近似分別為

和式中，a、b分別為供應(yīng)曲線在M*處的切線斜率與需求曲線在M*處切線斜率的絕對(duì)值。

根據(jù)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的規(guī)律，當(dāng)供應(yīng)量為xt時(shí)，現(xiàn)時(shí)段的價(jià)格，又對(duì)價(jià)格，由供應(yīng)曲線解得下一時(shí)段的商品量

由此導(dǎo)出一階差分方程：（4）此差分方程的解在(b/a)<1時(shí)是穩(wěn)定的，從而證實(shí)了我們的猜測(cè)。注意到a和b的實(shí)際含義，上述結(jié)果在經(jīng)濟(jì)學(xué)上可作如下解釋：當(dāng)a>b時(shí)，顧客需求對(duì)價(jià)格的敏感度較?。ㄐ∮谏a(chǎn)者的敏感程度），商品供應(yīng)量和價(jià)格會(huì)自行調(diào)節(jié)而逐步趨于穩(wěn)定；反之，若a<b（商品緊缺易引起顧客搶購(gòu)），該商品供售市場(chǎng)易造成混亂.如果生產(chǎn)者對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的蛛網(wǎng)模型有所了解，為了減少因價(jià)格波動(dòng)而造成的經(jīng)濟(jì)損失，他應(yīng)當(dāng)提高自己的經(jīng)營(yíng)水平，不應(yīng)當(dāng)僅根據(jù)上一周期的價(jià)格來(lái)決定現(xiàn)階段的生產(chǎn)量。例如可以根據(jù)本時(shí)段與前一時(shí)段價(jià)格的平均值來(lái)確定生產(chǎn)量。此時(shí)，若t時(shí)段的商品量為xt

時(shí)，仍有

（7）將（5）式、（7）式代入（6）式，整理得

（5）但t+1時(shí)段的商品量則不再為而被修正為（6）由（5）式得（8）（4.22）式是一個(gè)常系數(shù)二階線性差分方程，特征方程為其特征根為記。若，則此時(shí)差分方程（4.22）是不穩(wěn)定的。

，若，此時(shí)特征根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，。

由線性差分方程穩(wěn)定的條件，當(dāng)r<2即b<2a時(shí)（8）式是穩(wěn)定的，從而M*是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。不難發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)者管理方式的這一更動(dòng)不僅使自己減少了因價(jià)格波動(dòng)而帶來(lái)的損失，而且大大消除了市場(chǎng)的不穩(wěn)定性。生產(chǎn)者在采取上述方式來(lái)確定各時(shí)段的生產(chǎn)量后，如發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)仍不穩(wěn)定（b≥2a），可按類似方法試圖再改變確定生產(chǎn)量的方式，此時(shí)可得到更高階的差分方程。對(duì)這些方程穩(wěn)定性條件的研究很可能會(huì)導(dǎo)出進(jìn)一步穩(wěn)定市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的新措施。例2

國(guó)民經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定性國(guó)民收入的主要來(lái)源是生產(chǎn)，國(guó)民收入的開(kāi)支主要用于消費(fèi)資金、投入再生產(chǎn)的積累資金及政府用于公共設(shè)施的開(kāi)支?，F(xiàn)在我們用差分方程方法建立一個(gè)簡(jiǎn)略的模型，粗略地分析一下國(guó)民經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定性問(wèn)題。再生產(chǎn)的投資水平It取決于消費(fèi)水平的變化量，設(shè)政府用于公共設(shè)施的開(kāi)支在一個(gè)不太大的時(shí)期內(nèi)變動(dòng)不大，設(shè)為常數(shù)G。故由可得出。將及代入。

記yt為第t周期的國(guó)民收入，Ct為第t周期的消費(fèi)資金。Ct的值決定于前一周期的國(guó)民收入，設(shè)

（9）（9）式是一個(gè)二階常系數(shù)差分方程，其特征方程為，相應(yīng)特征根滿足

（10）成立時(shí)才是穩(wěn)定的。（10）式可用于預(yù)報(bào)經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)?，F(xiàn)用待定系數(shù)法求方程（9）的一個(gè)特解令代入（9）式，得故當(dāng)（10）式成立時(shí)，差分方程（9）的通解為其中ρ為的模，ω為其幅角。例如，若取，又若取y0=1600，y1=1700，

G=550，則由迭代公式求得y2=1862.5,y3=2007.8,y4=2110.3,y5=2171.2,y6=2201.2,y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,…。易見(jiàn)例3

商品銷售量預(yù)測(cè)

(實(shí)例)某商品前5年的銷售量見(jiàn)表?，F(xiàn)希望根據(jù)前5年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)第6年起該商品在各季度中的銷售量。從表中可以看出，該商品在前5年相同季節(jié)里的銷售量呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，而在同一年中銷售量先增后減，第一季度的銷售量最小而第三季度的銷售量最大。預(yù)測(cè)該商品以后的銷售情況，一種辦法是應(yīng)用最小二乘法建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。即根?jù)本例中數(shù)據(jù)的特征，可以按季度建立四個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，分別用來(lái)預(yù)測(cè)以后各年同一季度的銷售量。例如，如認(rèn)為第一季度的銷售量大體按線性增長(zhǎng)，可設(shè)銷售量由15253217152430151320271512182614111625121234第五年第四年第三年第二年第一年銷售量季度

年份求得a=1.3，b=9.5。根據(jù)預(yù)測(cè)第六年起第一季度的銷售量為

=17.3，=18.6，…如認(rèn)為銷售量并非逐年等量增長(zhǎng)而是按前一年或前幾年同期銷售量的一定比例增長(zhǎng)的，則可建立相應(yīng)的差分方程模型。仍以第一季度為例，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)不再引入上標(biāo)，以表示第t年第一節(jié)季度的銷售量，建立形式如下的差分方程：或等等。上述差分方程中的系數(shù)不一定能使所有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合，較為合理的辦法是用最小二乘法求一組總體吻合較好的數(shù)據(jù)。以建立二階差分方程為例，為選取a0,a1,a2使最小，解線性方程組：即求解得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二階差分方程為

雖然這一差分方程恰好使所有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合，但這只是一個(gè)巧合。根據(jù)這一方程，可迭代求出以后各年第一季度銷售量的預(yù)測(cè)值y6=21，y7=19，…等。上述為預(yù)測(cè)各年第一季度銷售量而建立的二階差分方程，雖然其系數(shù)與前5年第一季度的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完全吻合，但用于預(yù)測(cè)時(shí)預(yù)測(cè)值與事實(shí)不符。憑直覺(jué)，第六年估計(jì)值明顯偏高，第七年銷售量預(yù)測(cè)值甚至小于第六年。稍作分析，不難看出，如分別對(duì)每一季度建立一差分方程，則根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)擬合出的系數(shù)可能會(huì)相差甚大，但對(duì)同一種商品，這種差異應(yīng)當(dāng)是微小的，故應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)共用于各個(gè)季度的差分方程。為此，將季度編號(hào)為t=1,2,…,20，令或等，利用全體數(shù)據(jù)來(lái)擬合，求擬合得最好的系數(shù)。以二階差分方程為例，為求a0、a1、a2使得

最小求解線性方程組即求解三元一次方程組解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二階差分方程（t≥21）

根據(jù)此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度銷售量的預(yù)測(cè)值為y21=17.58，y25=19.16還是較為可信的。例4

人口問(wèn)題的差分方程模型我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了人口問(wèn)題的兩個(gè)常微分方程模型——Malthus模型和Verhulst模型（又稱Logistic模型）。前者可用于人口增長(zhǎng)的短期預(yù)測(cè)，后者在作中、長(zhǎng)期預(yù)測(cè)時(shí)效果較好。1、離散時(shí)間的Logistic模型在研究人口或種群數(shù)量的實(shí)際增長(zhǎng)情況時(shí)，有時(shí)采用離散化的時(shí)間變量更為