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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE22學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE2.1實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1。利用實(shí)際問(wèn)題加強(qiáng)對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。2.能利用導(dǎo)數(shù)求解有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義思考某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn),他所做的功W(單位:J)是時(shí)間t(單位:s)的函數(shù),設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為W=W(t)=t3-4t2+10t。(1)t從1s到4s時(shí)W關(guān)于t的平均變化率是多少?(2)上述問(wèn)題的實(shí)際意義是什么?(3)W′(1)的實(shí)際意義是什么?梳理(1)在物理學(xué)中,通常稱力在單位時(shí)間內(nèi)________為功率,它的單位是________.功率是功關(guān)于________的導(dǎo)數(shù).(2)在氣象學(xué)中,通常把單位時(shí)間(如1時(shí),1天等)內(nèi)的________稱作降雨強(qiáng)度,它是反映一次降雨大小的一個(gè)重要指標(biāo).降雨強(qiáng)度是降雨量關(guān)于時(shí)間的________.(3)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,通常把生產(chǎn)成本y關(guān)于________x的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱為_(kāi)___________.邊際成本f′(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí),生產(chǎn)成本的增加速度,也就是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí),每增加一個(gè)單位的產(chǎn)量,需要增加f′(x0)個(gè)單位的成本.類型一導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義例1某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s=s(t)=2t2+3t,其中s是位移(單位:m),t是時(shí)間(單位:s).(1)求當(dāng)t從1s變到3s時(shí),位移s關(guān)于時(shí)間t的平均變化率,并解釋它的實(shí)際意義;(2)求s′(1),s′(2),并解釋它們的實(shí)際意義.反思與感悟根據(jù)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義,在物理學(xué)中,除了我們所熟悉的位移、速度與時(shí)間的關(guān)系,功與時(shí)間的關(guān)系,還應(yīng)了解質(zhì)量關(guān)于體積的導(dǎo)數(shù)為密度,電量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度等.因此,在解釋某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的物理意義時(shí),應(yīng)結(jié)合這些導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義進(jìn)行理解.跟蹤訓(xùn)練1某河流在一段時(shí)間xmin內(nèi)流過(guò)的水量為ym3,y是x的函數(shù),且y=f(x)=eq\r(3,x).(1)當(dāng)x從1變到8時(shí),y關(guān)于x的平均變化率是多少?(2)求f′(27),并解釋它的實(shí)際意義.類型二導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用例2某機(jī)械廠生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件,假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系為C(x)=eq\f(1,4)x2+60x+2050.求當(dāng)日產(chǎn)量由10件提高到20件時(shí),總成本的平均改變量,并說(shuō)明其實(shí)際意義.引申探究1.若本例條件不變,求當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本,并說(shuō)明其實(shí)際意義.2.若本例的條件“C(x)=eq\f(1,4)x2+60x+2050"變?yōu)椤癈(x)=eq\f(1,4)x2+ax+2050,當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本大于97。5",求a的取值范圍.反思與感悟生產(chǎn)成本y關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)y=f(x)中,f′(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí),生產(chǎn)成本的增加速度,也就是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí),每增加一個(gè)單位的產(chǎn)量,需增加f′(x0)個(gè)單位的成本.跟蹤訓(xùn)練2已知某商品的成本函數(shù)為C(Q)=100+eq\f(Q2,4)(Q為產(chǎn)品的數(shù)量).(1)求Q=10時(shí)的總成本、平均成本及邊際成本;(2)當(dāng)產(chǎn)量Q為多少時(shí),平均成本最小?最小為多少?類型三在日常生活中的應(yīng)用例3一名工人上班后開(kāi)始連續(xù)工作,生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量y(單位:g)是工作時(shí)間x(單位:h)的函數(shù),設(shè)這個(gè)函數(shù)為y=f(x)=eq\f(x2,20)+4eq\r(x).(1)求x從1h變到4h時(shí),y關(guān)于時(shí)間x的平均變化率,并解釋它的實(shí)際意義;(2)求f′(1),f′(4),并解釋它的意義.反思與感悟在不同的實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義是不相同的,要結(jié)合具體問(wèn)題進(jìn)行分析,在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義是當(dāng)自變量在該點(diǎn)處的改變量趨近于零時(shí),平均變化率所趨近的值,問(wèn)題不同有不同的意義.跟蹤訓(xùn)練3某年高考,某考生在參加數(shù)學(xué)科考試時(shí),其解答完的題目數(shù)量y(單位:道)與所用時(shí)間x(單位:分鐘)近似地滿足函數(shù)關(guān)系y=2eq\r(x)。(1)求x從0分鐘變化到36分鐘時(shí),y關(guān)于x的平均變化率,并解釋它的實(shí)際意義;(2)求f′(64),f′(100),并解釋它的實(shí)際意義.1.某公司的盈利y(元)和時(shí)間x(天)的函數(shù)關(guān)系是y=f(x),假設(shè)f(x)>0恒成立,且f′(10)=10,f′(20)=1,則這些數(shù)據(jù)說(shuō)明第20天與第10天比較()A.公司已經(jīng)虧損B.公司的盈利在增加,且增加的幅度變大C.公司在虧損且虧損幅度變小D.公司的盈利在增加,但增加的幅度變小2.某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn),他所做的功W是時(shí)間t的函數(shù),即W=W(t),則W′(t0)表示()A.t=t0時(shí)做的功 B.t=t0時(shí)的速度C.t=t3時(shí)的位移 D.t=t0時(shí)的功率3.某收音機(jī)制造廠的管理者通過(guò)對(duì)上午上班工人工作效率的研究表明:一個(gè)中等技術(shù)水平的工人,從8:00開(kāi)始工作,t小時(shí)后可裝配晶體管收音機(jī)的臺(tái)數(shù)為Q(t)=-t3+9t2+12t,則Q′(2)=________,它的實(shí)際意義是__________________________________.4.某物體的運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系為v(t)=2t2-1,則t=2時(shí)的加速度為_(kāi)_______.5.某廠生產(chǎn)x噸產(chǎn)品獲利y萬(wàn)元,y是x的函數(shù),且函數(shù)為y=f(x)=-eq\f(1,8)x2+21x-100.(1)當(dāng)x從4變到8時(shí),y關(guān)于x的平均變化率是多少?它代表什么實(shí)際意義?(2)求f′(84),并解釋它的實(shí)際意義.1.解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路:實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論回到實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論.2.解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)審題:閱讀理解文字表達(dá)的題意,分清條件和結(jié)論,找出問(wèn)題的主要關(guān)系;(2)建模:將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)解模:把數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為常規(guī)問(wèn)題,選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解;(4)對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評(píng)估,定性、定量分析,作出正確的判斷,確定其答案.
答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考(1)eq\f(W4-W1,4-1)=eq\f(40-7,3)=11J/s。(2)它表示從t=1s到t=4s這段時(shí)間內(nèi),這個(gè)人平均每秒做功11J.(3)W′(t)=3t2-8t+10,W′(1)=5表示在t=1s時(shí)每秒做功5J.梳理(1)做的功瓦特時(shí)間(2)降雨量導(dǎo)數(shù)(3)產(chǎn)量邊際成本題型探究例1解(1)當(dāng)t從1s變到3s時(shí),s關(guān)于t的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)=eq\f(s3-s1,3-1)=eq\f(27-5,3-1)=11m/s。它表示從t=1s到t=3s這段時(shí)間內(nèi),該質(zhì)點(diǎn)平均每秒的位移是11m.(2)由導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得s′(t)=4t+3,則s′(1)=4+3=7m/s,s′(2)=4×2+3=11m/s。s′(1)表示的是該質(zhì)點(diǎn)在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度,也就是該質(zhì)點(diǎn)在t=1s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度為7m/s。s′(2)表示的是該質(zhì)點(diǎn)在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度,也就是該質(zhì)點(diǎn)在t=2s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度為11m/s。跟蹤訓(xùn)練1解(1)當(dāng)x從1變到8時(shí),y關(guān)于x的平均變化率為eq\f(f8-f1,8-1)=eq\f(2-1,7)=eq\f(1,7)(m3/min).(2)f′(x)=eq\f(1,3)x-eq\f(2,3),于是f′(27)=eq\f(1,3)×27-eq\f(2,3)=eq\f(1,27)(m3/min),實(shí)際意義為當(dāng)時(shí)間為27min時(shí),水流量增加的速度為eq\f(1,27)m3/min,也就是當(dāng)時(shí)間為27min時(shí),每增加1min,水流量增加eq\f(1,27)m3.例2解當(dāng)x從10件提高到20件時(shí),總成本C從C(10)=2675元變到C(20)=3350元.此時(shí)總成本的平均改變量為eq\f(C20-C10,20-10)=67。5(元/件),其表示日產(chǎn)量從10件提高到20件時(shí)平均每件產(chǎn)品的總成本的改變量.引申探究1.解因?yàn)镃′(x)=eq\f(1,2)x+60,所以C′(75)=eq\f(1,2)×75+60=97.5(元/件),它指的是當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí),每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品,需增加成本97。5元.2.解因?yàn)镃′(x)=eq\f(1,2)x+a,所以日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本大于97.5,即C′(75)=eq\f(1,2)×75+a〉97.5,解得a>60。跟蹤訓(xùn)練2解(1)Q=10時(shí)的總成本C(10)=100+eq\f(102,4)=125;Q=10時(shí)的平均成本eq\x\to(C10)=eq\f(C10,10)=12。5.邊際成本即成本函數(shù)C(Q)對(duì)產(chǎn)量Q的導(dǎo)數(shù),故邊際成本C′(Q)=eq\f(1,2)Q,Q=10時(shí)的邊際成本是C′(10)=5。(2)由(1)得,平均成本eq\x\to(CQ)=eq\f(CQ,Q)=eq\f(100,Q)+eq\f(Q,4),而eq\f(100,Q)+eq\f(Q,4)≥2·eq\r(\f(100,Q)·\f(Q,4))=10,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(100,Q)=eq\f(Q,4),即Q=20時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)產(chǎn)量Q為20時(shí),平均成本最小,且平均成本的最小值是10.例3解(1)當(dāng)x從1h變到4h時(shí),產(chǎn)量y從f(1)=eq\f(81,20)g變到f(4)=eq\f(176,20)g,此時(shí)平均變化率為
eq\f(f4-f1,4-1)=eq\f(\f(176,20)-\f(81,20),3)=eq\f(19,12)(g/h),它表示從1h到4h這段時(shí)間這個(gè)人平均每小時(shí)生產(chǎn)eq\f(19,12)g產(chǎn)品.(2)f′(x)=eq\f(x,10)+eq\f(2,\r(x)),于是f′(1)=eq\f(21,10)(g/h),f′(4)=eq\f(7,5)(g/h),分別表示在第1小時(shí)和第4小時(shí)這個(gè)人每小時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品eq\f(21,10)g和eq\f(7,5)g.跟蹤訓(xùn)練3解(1)x從0分鐘變化到36分鐘,y關(guān)于x的平均變化率為eq\f(f36-f0,36-0)=eq\f(12,36)=eq\f(1,3).它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答eq\f(1,3)道題.(2)∵f′(x)=eq\f(1,\r(x)),∴f′(64)=eq\f(1,8),f′(100)=eq\f(1,10)。它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時(shí)每分鐘可解答eq\f(1,8)和eq\f(1,10)道題.當(dāng)堂訓(xùn)練1.D2。D3.36臺(tái)/小時(shí)10:00時(shí),工人裝配晶體管收音機(jī)的速度為36臺(tái)/小時(shí)4.85.解(1)當(dāng)x從4變到8時(shí),y關(guān)于x的平均變化率為eq\f(f8-f4,8-4)=eq\f(60--18,8-4)=19.5(萬(wàn)元/噸),它表示產(chǎn)量從4噸增加到8噸的過(guò)程中,每增加1噸產(chǎn)量,利潤(rùn)平均增加19。5萬(wàn)元.(2)f′(x)=-eq\f(1,4)x+21,于是f′(84)=0,f′(84)表示當(dāng)產(chǎn)量為84噸時(shí),利潤(rùn)增加的速度為0,也就是說(shuō)當(dāng)產(chǎn)量為84噸時(shí),每多生產(chǎn)1噸產(chǎn)品,利潤(rùn)增加為0,即利潤(rùn)不變.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考(1)eq\f(W4-W1,4-1)=eq\f(40-7,3)=11J/s.(2)它表示從t=1s到t=4s這段時(shí)間內(nèi),這個(gè)人平均每秒做功11J。(3)W′(t)=3t2-8t+10,W′(1)=5表示在t=1s時(shí)每秒做功5J.梳理(1)做的功瓦特時(shí)間(2)降雨量導(dǎo)數(shù)(3)產(chǎn)量邊際成本題型探究例1解(1)當(dāng)t從1s變到3s時(shí),s關(guān)于t的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)=eq\f(s3-s1,3-1)=eq\f(27-5,3-1)=11m/s。它表示從t=1s到t=3s這段時(shí)間內(nèi),該質(zhì)點(diǎn)平均每秒的位移是11m。(2)由導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得s′(t)=4t+3,則s′(1)=4+3=7m/s,s′(2)=4×2+3=11m/s.s′(1)表示的是該質(zhì)點(diǎn)在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度,也就是該質(zhì)點(diǎn)在t=1s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度為7m/s.s′(2)表示的是該質(zhì)點(diǎn)在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度,也就是該質(zhì)點(diǎn)在t=2s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度為11m/s。跟蹤訓(xùn)練1解(1)當(dāng)x從1變到8時(shí),y關(guān)于x的平均變化率為eq\f(f8-f1,8-1)=eq\f(2-1,7)=eq\f(1,7)(m3/min).(2)f′(x)=eq\f(1,3)x-eq\f(2,3),于是f′(27)=eq\f(1,3)×27-eq\f(2,3)=eq\f(1,27)(m3/min),實(shí)際意義為當(dāng)時(shí)間為27min時(shí),水流量增加的速度為eq\f(1,27)m3/min,也就是當(dāng)時(shí)間為27min時(shí),每增加1min,水流量增加eq\f(1,27)m3.例2解當(dāng)x從10件提高到20件時(shí),總成本C從C(10)=2675元變到C(20)=3350元.此時(shí)總成本的平均改變量為eq\f(C20-C10,20-10)=67。5(元/件),其表示日產(chǎn)量從10件提高到20件時(shí)平均每件產(chǎn)品的總成本的改變量.引申探究1.解因?yàn)镃′(x)=eq\f(1,2)x+60,所以C′(75)=eq\f(1,2)×75+60=97.5(元/件),它指的是當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí),每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品,需增加成本97.5元.2.解因?yàn)镃′(x)=eq\f(1,2)x+a,所以日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本大于97.5,即C′(75)=eq\f(1,2)×75+a>97.5,解得a〉60。跟蹤訓(xùn)練2解(1)Q=10時(shí)的總成本C(10)=100+eq\f(102,4)=125;Q=10時(shí)的平均成本eq\x\to(C10)=eq\f(C10,10)=12.5.邊際成本即成本函數(shù)C(Q)對(duì)產(chǎn)量Q的導(dǎo)數(shù),故邊際成本C′(Q)=eq\f(1,2)Q,Q=10時(shí)的邊際成本是C′(10)=5.(2)由(1)得,平均成本eq\x\to(CQ)=eq\f(CQ,Q)=eq\f(100,Q)+eq\f(Q,4),而eq\f(100,Q)+eq\f(Q,4)≥2·eq\r(\f(100,Q)·\f(Q,4))=10,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(100,Q)=eq\f(Q,4),即Q=20時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)產(chǎn)量Q為20時(shí),平均成本最小,且平均成本的最小值是10。例3解(1)當(dāng)x從1h變到4h時(shí),產(chǎn)量y從f(1)=eq\f(81,20)g變到f(4)=eq\f(176,20)g,此時(shí)平均變化率為
eq\f(f4-f1,4-1)=eq\f(\f(176,20)-\f(81,20),3)=eq\f(19,12)(g/h),它表示從1h到4h這段時(shí)間這個(gè)人平均每小時(shí)生產(chǎn)eq\f(19,12)g產(chǎn)品.(2)f′(x)=eq\f(x,
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