概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第八章 假設(shè)檢驗

概率論與數(shù)理統(tǒng)計主講教師陳爭第7章假設(shè)檢驗§7.1假設(shè)檢驗的基本概念§7.2單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗§7.3兩個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗第7章假設(shè)檢驗§7.1假設(shè)檢驗的基本概念、假設(shè)檢驗問題

假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的基本問題之一.它根據(jù)歷史

資料和實際經(jīng)驗，首先對總體的某種統(tǒng)計特征作出推斷

或假設(shè)，然后利用樣本值所提出的信息，運用統(tǒng)計分析

方法來檢驗假設(shè)是否正確，最后作出接受或拒絕原假設(shè)

的決定.假設(shè)檢驗是對總體的概率分布及參數(shù)而言的.如果

是檢驗總體是否具有某種已知類型的分布，則稱這種檢

驗為分布的假設(shè)檢驗.如果是檢驗總體某參數(shù)是否具有某種特征，則稱這種檢驗為參數(shù)的假設(shè)檢驗.§7.1假設(shè)檢驗的基本概念例1

拋擲一枚硬幣100次，“正面”出現(xiàn)了60次，問這枚硬幣是否均勻？這是一個總體的檢驗問題.若用X

描述拋擲一枚“X=1”及“X=0”分別表示“正面朝上”和“正面朝下”，上述問題就是要檢驗X是否服從的0－1分布.是概率分布的檢驗問題.

硬幣的試驗，

例2

從2005年的新生兒(女)中隨機地抽取20個，

測得其平均體重為3160克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300克.而根據(jù)過去統(tǒng)計資料，新生兒(女)平均體重為3140克.問現(xiàn)在與過去新生兒(女)體重有無顯著差異(假定新生兒體重服從正態(tài)分布）？

這是一個總體的檢驗問題，是關(guān)于隨機變量的參數(shù)的判斷，叫做一個總體的參數(shù)檢驗問題.若把所有2005年新生兒(女)體重視為一個總體，用X表示，問題就是判斷E(X)=3140是否成立.

例3

在10個相同的地塊上對甲、乙兩種玉米進行品比試驗，得如下資料(單位：公斤)：

甲951，966，1008，1082，983乙730，864，742，774，990假定農(nóng)作物產(chǎn)量服從正態(tài)分布，問這兩種玉米產(chǎn)量有無顯著差異？這是兩個總體的參數(shù)檢驗問題.從直觀上看，兩者差異顯著.但是一方面由于抽樣的隨機性，我們不能以個別值進行比較就得出結(jié)論；另一方面直觀的標(biāo)準(zhǔn)可能因人而異.因此，這實際上需要比較兩個正態(tài)總體的期望值是否相等？關(guān)于總體的假設(shè)通常是提出兩個相互對立的假設(shè)，把需要檢驗是否為真的假設(shè)稱為原假設(shè)或零假

這里所說的“假設(shè)”只是一個設(shè)想，至于它是否成立，在建立假設(shè)時并不知道，需要進行考察.通過樣本對一個假設(shè)作出“是”或“否”的判斷程序，稱為檢驗這個假設(shè).

具體的判斷規(guī)則稱為該假設(shè)的一個檢驗.檢驗的結(jié)果若是肯定該命題，則稱接受這個假設(shè)，否則稱否定或拒絕這個假設(shè).

表示.表示，而把與之對立的另一個假設(shè)稱為備設(shè)，用選假設(shè)，用二、假設(shè)檢驗的基本思想與方法

1.小概率原理小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的.小概率事件是指概率很小的事件.

倘若某事件A發(fā)生的概率α=0.001，則可認為大體在1000次試驗中A才出現(xiàn)一次.因此，概率很小的事件在一次試驗中實際上不大可能出現(xiàn)，這個原理稱為小概率原理.

例如“飛機失事”、“優(yōu)秀生高考落榜”、“從廢品率極低的產(chǎn)品中抽到一件廢品”都被視為小概率事件.小概率原理是人們在長期實踐中總結(jié)出來的.2.小概率原理是假設(shè)檢驗的理論依據(jù)定這個“假設(shè)”是真的，然后根據(jù)樣本提供的信息為了檢驗一個“假設(shè)”如果抽得的樣本使小概率事件發(fā)生了，我不真，從而拒絕原假設(shè)；如果抽得樣本沒有從而接受來判斷.們認為這是一種不合理的現(xiàn)象，有理由懷疑原假設(shè)導(dǎo)致小概率事件發(fā)生，則沒有足夠理由否定原假設(shè)，是否為真，我們先假3.顯著性水平

至于什么算“概率很小”，這要根據(jù)具體情況而定.在檢驗之前都事先指定.

比如概率為5％，1％等.

一般記作α，即α是一個事先指定的正數(shù)，稱為顯著性水平或檢驗水平.三、假設(shè)檢驗的形式對總體的分布或分布函數(shù)的某些參數(shù)作出“假設(shè)”稱為待檢假設(shè)(也稱為零假設(shè))，通常記作例如

(對總體均值

)對立面稱為備擇假設(shè)，用單側(cè)檢驗.第一個式子稱為雙側(cè)檢驗，二、三兩個式子稱為的表示.

在顯著水平下，根據(jù)統(tǒng)計量的分布將樣本空間劃分成互不相交的兩個區(qū)域：其中一個是接受零假設(shè)的

樣本值全體組成的，稱為接受域；反之稱為拒絕域

(也稱臨界域).

雙側(cè)檢驗的拒絕域位于概率分布圖形的兩端，單側(cè)檢驗的拒絕域位于概率分布圖形的一端.四、假設(shè)檢驗的兩類錯誤

由于人們作出判斷的依據(jù)是一個樣本，也就是由

部分來推斷整體，因而假設(shè)檢驗不可能絕對準(zhǔn)確，它也可能犯錯誤.其可能性的大小，也是以統(tǒng)計規(guī)律性為依據(jù)的，所可能犯的錯誤有兩類.

第一類錯誤是：原假設(shè)符合實際情況，而檢驗結(jié)果把它否定了，這稱為棄真錯誤.第二類錯誤是：原假設(shè)不符合實際情況，而檢驗結(jié)果把它肯定下來了，這稱為取偽錯誤.五、假設(shè)檢驗的一般步驟根據(jù)實際問題提出原假設(shè)構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，并在假設(shè)確定該統(tǒng)計量的分布或漸進分布.給定檢驗水平拒絕域(和接受域).由樣本的觀測值計算出統(tǒng)計量的數(shù)值.1234為真的條件下查表確定臨界值，從而確定和備擇假設(shè)作出判斷：若統(tǒng)計量的觀測值落入拒絕域，則若統(tǒng)計量的值落入接受域，則接受假設(shè)5拒絕假設(shè)

提出假設(shè)

根據(jù)統(tǒng)計調(diào)查的目的,提出原假設(shè)H0

和備選假設(shè)H1作出決策抽取樣本檢驗假設(shè)

對差異進行定量的分析，確定其性質(zhì)(是隨機誤差還是系統(tǒng)誤差.為給出兩者界限，找一檢驗統(tǒng)計量T，在H0成立下其分布已知.）拒絕還是不能拒絕H0顯著性水平P(TW)=-----犯第一類錯誤的概率，W為拒絕域小結(jié)設(shè)總體為的假設(shè)檢驗，本節(jié)介紹下列幾種：已知方差未知方差

未知均值μ，已知均值μ，其中關(guān)于總體參數(shù)檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)都是已知數(shù).中的§7.2單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗§7.2單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗1.總體方差例1

根據(jù)長期經(jīng)驗和資料的分析，某磚瓦廠生產(chǎn)磚的“抗斷強度”X服從正態(tài)分布，方差從該廠產(chǎn)品中隨機抽取6塊，測得抗斷強度如下:32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03檢驗這批磚的平均抗斷強度為32.50是否成立？一、單個總體均值的假設(shè)檢驗(1)雙側(cè)檢驗原假設(shè)備擇假設(shè)已知時，總體均值μ的假設(shè)檢驗一、正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗建立假設(shè)基本思想：如果來自正態(tài)總體解正確，即樣本即與存在著差異，若比較大的可能性小，而比較小的可能性大.

成立，則這個差異因此，可以根據(jù)的大小來判斷是否成立，這就需要分析說大于一個什么值，這是一個小概率事件.的分布來求，如果這個值找到了，比如為那么根據(jù)觀測值計算大到什么程度，或者成立時，若即小概率事件發(fā)生了，則可以認為，就不能否定

不成立；若即原假設(shè)成立.

這要根據(jù)而成立時，關(guān)鍵在于找出成立時，總體服從

得其統(tǒng)計量給定檢驗水平

，為了求值方便，將其標(biāo)準(zhǔn)化，的分布，當(dāng)所以服從構(gòu)造一個小概率事件，使得其中然后計算U

的觀察值，若可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分滿足則小概率事件發(fā)生，拒絕若小概率事件沒有發(fā)生，接受布表查到.(2)當(dāng)(3)

(4)計算統(tǒng)計量觀察值：認為這批產(chǎn)品的平均抗斷強度是32.50

綜合以上分析，有以下解題步驟：成立時，拒絕域為∴拒絕即不能(1)建立假設(shè)即U—檢驗法的檢驗步驟為：

提出原假設(shè)當(dāng)

給定的檢驗水平

，根據(jù)樣本觀察值計算統(tǒng)計量U

的值觀察值；若若1243成立時，查表確定臨界值使則否定則接受備選假設(shè)5從而得拒絕域：(2)右側(cè)檢驗原假設(shè)備選假設(shè)已知對于給定的α，查表確定使得：中含有未知參數(shù)μ，所以它不是統(tǒng)計量，在原假設(shè)成立時，有從而即當(dāng)時，小概率事件發(fā)生，拒絕時，接受原假設(shè)當(dāng)例2

已知某正態(tài)總體的方差為50，抽取容量n=25的樣本，樣本均值為56.7，問總體均值小于55是否成立？解已知n=25，(1)建立假設(shè)

(2)構(gòu)造檢驗函數(shù)(3)

拒絕域為(4)計算所以，接受(3)左側(cè)檢驗原假設(shè)備擇假設(shè)類似于右側(cè)檢驗，當(dāng)統(tǒng)計量時，拒絕原假設(shè)時，接受原假設(shè)當(dāng)統(tǒng)計量練習(xí)1

設(shè)在正常情況下，某包裝機包裝出來的奶粉凈重.現(xiàn)從包裝好的奶粉中隨機隨機抽取9袋，測得其凈重(單位：g)為：504496512490520505508499511問每包奶粉凈重是否為500g？(2)當(dāng)(3)(4)計算解∴接受拒絕域為成立時，(1)假設(shè)總體方差未知，可用樣本方差代替，這時統(tǒng)計量利用T統(tǒng)計量進行檢驗的方法稱為T檢驗法.2.總體方差未知時，總體均值μ的假設(shè)檢驗一般步驟為：

提出原假設(shè)當(dāng)

給定α，查表確定臨界值根據(jù)樣本觀察值計算統(tǒng)計量T的值，若若1243成立時，使則否定則接受備擇假設(shè)(1)雙側(cè)檢驗5未知，所以用

分析：

例3從2005年的新生兒(女)中隨機抽取20個,測得其平均體重為3160克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300克.而根據(jù)過去統(tǒng)計資料，新生兒(女)平均體重為3140克.問現(xiàn)在與過去新生兒(女)體重有無顯著差異(假定新生兒體重服從正態(tài)分布)?(α=0.05)已知解選統(tǒng)計量

代替由于給定檢驗水平α,

成立時，即具有19個自由度的t

分布.然后計算T

的觀察值，接受拒絕時，統(tǒng)計量服從在構(gòu)造一個小概率事件，使若若(2)當(dāng)(3)

(4)計算即可認為現(xiàn)在與過去的新生兒(女)體重沒有顯著差異.解題步驟為：成立時，∴接受(1)假設(shè)拒絕域為

(2)右側(cè)檢驗原假設(shè)備擇假設(shè)已知對于給定的μ，查表確定使中含有未知參數(shù)μ，所以它不是統(tǒng)計量.在原假設(shè)成立時，有從而即當(dāng)時，小概率事件發(fā)生，拒絕時，接受原假設(shè)當(dāng)(3)左側(cè)檢驗原假設(shè)備擇假設(shè)類似于右側(cè)檢驗，當(dāng)統(tǒng)計量時，拒絕原假設(shè)時，接受原假設(shè)當(dāng)統(tǒng)計量(2)構(gòu)造統(tǒng)計量例4某部門對當(dāng)前市場的雞蛋價格情況進行調(diào)查，抽查了20個集市，計算得如下數(shù)據(jù)：解(3)

已知雞蛋的售價服從正態(tài)分布，且往年的售價一直穩(wěn)定在3.25元/500克左右，能否認為當(dāng)前雞蛋的售價明顯高于往年？拒絕域為，(1)假設(shè)(4)由樣本計算(5)因為即雞蛋的價格較往年明顯上漲.

故拒絕

練習(xí)2

根據(jù)長期資料分析，鋼筋強度服從正態(tài)分布，今測得六爐鋼生產(chǎn)出鋼的強度分別為

48.549.053.549.556.052.5能否認為其強度的均值為52.0？(2)當(dāng)

解成立時，即認為鋼筋強度的均值為52.0.

∴接受(1)假設(shè)拒絕域為(4)計算課外作業(yè)：總習(xí)題七2,31.總體均值μ已知時，總體方差的假設(shè)檢驗二、單個正態(tài)總體方差的檢驗假設(shè)(1)雙側(cè)檢驗一般步驟為：

提出原假設(shè)當(dāng)

給定檢驗水平α，查表確定臨界值123成立時，和備擇假設(shè)使二、單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗利用樣本觀察值計算若若4的值,則接受則拒絕或5(2)右側(cè)檢驗提出原假設(shè)備擇假設(shè)

給定檢驗水平α，查表確定臨界值使計算統(tǒng)計量的值，時，拒絕時，接受當(dāng)當(dāng)(3)左側(cè)檢驗提出原假設(shè)備擇假設(shè)

給定檢驗水平α，查表確定臨界值使計算統(tǒng)計量的值，時，拒絕時，接受當(dāng)當(dāng)2.總體均值μ未知時，總體方差的假設(shè)檢驗(1)雙側(cè)檢驗一般步驟為：

提出原假設(shè)當(dāng)

給定檢驗水平α，查表確定臨界值123成立時，和備擇假設(shè)使或利用樣本觀察值計算若若4的值,則接受則拒絕或5例4

某煉鐵廠的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)分布，現(xiàn)對操作工藝進行了某些改進，從中抽取

5爐鐵水測得含碳量數(shù)據(jù)如下：

4.4214.0524.3574.2874.683據(jù)此是否認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為

已知解成立時，計算得(1)假設(shè)工藝的方差是∴否定即不能認為新查表得：(4)計算拒絕域為練習(xí)3

某項試驗中測量其溫度，通常情況下，溫度方差保持在.現(xiàn)在某天里抽測了25次，計算得.問該天的試驗溫度方差與要求比有無顯著差異？(該溫度值服從正態(tài)分布，)成立時，∴接受解(1)假設(shè)(4)計算(2)右側(cè)檢驗原假設(shè)備擇假設(shè)已知對于給定的α，查表確定臨界值使中含有未知參數(shù)所以它不是統(tǒng)計量，在原假設(shè)成立時，有從而即當(dāng)時，小概率事件發(fā)生，拒絕時，接受原假設(shè)當(dāng)(3)左側(cè)檢驗提出原假設(shè)備擇假設(shè)

給定檢驗水平α，查表確定臨界值使計算統(tǒng)計量的值，時，拒絕時，接受當(dāng)當(dāng)例5

打包機包裝水泥，現(xiàn)規(guī)定每袋水泥標(biāo)準(zhǔn)重量重量為100公斤，標(biāo)準(zhǔn)差不超過2公斤，為了檢查打包機工作是否正常，抽取了9袋水泥，其假定水泥的重量服從正態(tài)分布，問該天打包機工作是否

正常？

(2)成立時∴接受解(1)假設(shè)(4)計算拒絕域為(2)構(gòu)造檢驗函數(shù)∴接受綜上，該天打包機工作正常.檢驗方差即認為方差不超過成立時，有(1)假設(shè)(4)計算練習(xí)4

某種導(dǎo)線，要求其電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過0.005(歐姆)。今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣品8根，測得s＝0.007(歐姆)，設(shè)總體為正態(tài)分布，問在α=0.05下能否認為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大？(2)構(gòu)造檢驗函數(shù)∴接受解(4)計算(1)假設(shè)練習(xí)5

設(shè)某次考試的學(xué)生成績服從正態(tài)分布，從

中隨機抽取30位考生的成績，算得平均成績?yōu)?6.5，標(biāo)準(zhǔn)差為15分.問：(1)是否可認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分？(2)是否可認為這次考試考生的成績的方差為？解設(shè)該次考試考生的成績?yōu)棣危瑒tξ服從正態(tài)分布，且均為未知參數(shù)。1.檢驗均值(1)假設(shè)成立時，∴接受查表得(4)計算拒絕域為2.檢驗方差∴接受成立時，(1)假設(shè)(4)計算拒絕域為§7.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗設(shè)

的樣本，且兩組樣本相互獨立.正態(tài)總體

§7.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗分別是來自和正態(tài)總體一、兩個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗已知時均值的檢驗(1)雙側(cè)檢驗一般步驟為：

提出原假設(shè)1備擇假設(shè)當(dāng)

給定檢驗水平α，查表確定臨界值23成立時，統(tǒng)計量滿足根據(jù)樣本觀察值計算統(tǒng)計量U

的值，若若4則否定則接受5例1

從甲、乙兩廠生產(chǎn)的鋼絲總體X、Y中各取50截1米長的鋼絲作拉力強度試驗，得設(shè)鋼絲的拉抗強度服從正態(tài)分布，且問甲、乙兩廠鋼絲的拉抗強度是否有顯著差別？解假設(shè)1當(dāng)2成立時，統(tǒng)計量認為兩廠鋼絲3查N(0,1)分布表，得計算4所以拒絕強度有顯著差別.5(2)右側(cè)檢驗原假設(shè)備擇假設(shè)當(dāng)統(tǒng)計量時，拒絕原假設(shè)時，接受原假設(shè)當(dāng)統(tǒng)計量給定檢驗水平α，查表確定臨界值滿足(3)左側(cè)檢驗原假設(shè)備擇假設(shè)當(dāng)統(tǒng)計量時，拒絕原假設(shè)時，接受原假設(shè)當(dāng)統(tǒng)計量給定檢驗水平α，查表確定臨界值滿足成立時

2未知，但知道(1)雙側(cè)檢驗一般步驟為：

提出原假設(shè)1備擇假設(shè)時均值的檢驗

給定α，查表確定臨界值若

計算統(tǒng)計量T

的值，34滿足則拒絕則接受若5例2

一種鋼軸產(chǎn)品的長度服從正態(tài)分布，從兩臺同類型機床生產(chǎn)出來的兩批產(chǎn)品中，分別取出容量的樣本，測其長度得到樣本均值及樣本方差：若其長度方差，問在檢驗水平時可否認為兩種產(chǎn)品的長度相等。成立時，解(1)假設(shè)∴拒絕即認為兩種產(chǎn)品的長度有顯著差異.(4)計算(2)右側(cè)檢驗原假設(shè)備擇假設(shè)拒絕原假設(shè)接受原假設(shè)給定α，查t分布表得臨界值滿足當(dāng)當(dāng)時，時，(3)左側(cè)檢驗原假設(shè)備擇假設(shè)類似于右側(cè)檢驗，時，拒絕原假設(shè)時，接受原假設(shè)當(dāng)當(dāng)二、兩個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗已知時，正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(1)雙側(cè)檢驗一般步驟為：

提出原假設(shè)當(dāng)12成立時，備擇假設(shè)二、兩個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗其中，3滿足給定α，查表確定臨界值計算統(tǒng)計量F的值，4時，接受當(dāng)當(dāng)和時，拒絕5(2)右側(cè)檢驗提出原假設(shè)備擇假設(shè)滿足給定α，查表確定臨界值計算統(tǒng)計量F

的值，

時，拒絕當(dāng)時，接受當(dāng)(3)左側(cè)檢驗提出原假設(shè)備擇假設(shè)滿足給定α，查表確定臨界值計算統(tǒng)計量F

的值，

時，拒絕當(dāng)時，接受當(dāng)未知時，正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(1)雙側(cè)檢驗一般步驟為：

提出原假設(shè)當(dāng)12成立時，統(tǒng)計量備擇假設(shè)給定α，查表確定臨界值3滿足其中，計算統(tǒng)計量F的值，4時，接受當(dāng)當(dāng)和時，拒絕5例3

比較甲、乙兩種槍彈的速度的穩(wěn)定性，在相同條件下進行速度測定，算得樣本均方差如下：

甲：

乙：

假定槍彈速度服從正態(tài)分布，問兩種槍彈速度的方差

有無顯著差異.

設(shè)甲、乙兩種槍彈的速度分別為

且它們相互獨立，假定檢驗兩者方差是否相等.解(1)

假設(shè)成立時，∴接受(4)計算查表得：(2)右側(cè)檢驗提出原假設(shè)備擇假設(shè)滿足給定α，查表確定臨界值計算統(tǒng)計量F

的值，

時，拒絕當(dāng)時，接受當(dāng)(3)左側(cè)檢驗提出原假設(shè)備擇假設(shè)滿足給定α，查表確定臨界值計算統(tǒng)計量F

的值，

時，拒絕當(dāng)時，接受當(dāng)例4

在10個相同的地塊上對甲、乙兩種玉米進行品種比較試驗，得如下資料(單位：公斤)：甲：95196610081082983乙：730864742774990

假定農(nóng)作物產(chǎn)量服從正態(tài)分布，問這兩種玉米產(chǎn)量有無顯著差異？

分析：記獨立的，并且假設(shè)

即未知

關(guān)于兩個正態(tài)總體的期望值相等的假設(shè)檢驗，需

要用到兩個總體方差相等的條件.所以，需先檢驗兩總體的方差是否相等.分別表示甲、乙玉米產(chǎn)量，它們是假設(shè)檢驗(1)假設(shè)成立時，∴接受解(4)計算查表得:成立時，∴拒絕即認為兩種玉米的產(chǎn)量有顯著差異.解(1)假設(shè)(4)計算成立時，練習(xí)2

甲、乙兩廠生產(chǎn)同一零件，假定其日產(chǎn)量都服從正態(tài)分布，現(xiàn)分別在甲、乙兩廠作了