第三節(jié)公式及其應(yīng)用

第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積四、小結(jié)練習(xí)題一、格林公式牛頓萊布尼茨公式定積分可通過原函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值來表達(dá)D問題：二重積分能否表達(dá)為某個函數(shù)在D

的邊界曲線

L

上的曲線積分？在一定條件下，格林公式回答了上述問題。設(shè)D

為平面區(qū)域,如果D

內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D

為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD（1）區(qū)域連通性的分類D復(fù)連通區(qū)域（2）區(qū)域D

的邊界L

的正向：當(dāng)觀察者在

L

上行走時，D

內(nèi)在他近處的部分總在他的左邊。D（3）、格林公式定理1：設(shè)平面閉區(qū)域D

由分段光滑的曲線

L

圍成函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在

D

上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，其中L是D

的取正向的邊界曲線。格林公式證明：（1）設(shè)D

既是X

型，又是Y

型區(qū)域。X

型：證明：（1）設(shè)D

既是X

型，又是Y

型區(qū)域。X

型：證明：（1）設(shè)D

既是X

型，又是Y

型區(qū)域。X

型：Y

型：證明：（1）設(shè)D

既是X

型，又是Y

型區(qū)域。X

型：Y

型：證明：（1）設(shè)D

既是X

型，又是Y

型區(qū)域。X

型：Y

型：證明：（1）設(shè)D

既是X

型，又是Y

型區(qū)域。X

型：Y

型：所以兩式相加得（2）若D

不具有（1）的特點，則將D

分成若干塊D作輔助線AB

將D

分成三塊它們均既是X

型又是Y

型區(qū)域格林公式仍成立幾點說明：（1）若D

為復(fù)連通區(qū)域則曲線L

應(yīng)包括內(nèi)外所有邊界并且它們對D

均取正向。（2）格林公式建立了平面上的曲線積分與二重積分的關(guān)系，它是牛頓萊布尼茨公式在平面上的推廣。主要用途：實現(xiàn)曲線積分與二重積分之間的轉(zhuǎn)換，而經(jīng)常用來將復(fù)雜的曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分。（3）便于記憶的形式若記則格林公式可表示為（4）若取則有同理，若取則有若取則有xyoAB格林公式的應(yīng)用舉例解：方法1，用曲線積分法起點A，終點B，xyoAB解：方法2：用格林公式注意L

不是一條封閉的曲線補(bǔ)充有向線段：則為封閉曲線，所圍區(qū)域記為D解：方法2：用格林公式xyoAB在上，y=0,在上，x=0,xyo解:在應(yīng)用格林公式將二重積分化為曲線積分時，關(guān)鍵是要找到P(x,y)和Q(x,y),使得并且這樣的P

，Q

在D

的邊界上的曲線積分應(yīng)較簡單經(jīng)觀察，可取應(yīng)用格林公式xyo解:在AB

上，y=1，在BO

上，x=0所以xyo解:所以解令經(jīng)計算有應(yīng)用格林公式？格林公式的條件：P、Q

在D

上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)解令經(jīng)計算有xyoL應(yīng)用格林公式解令經(jīng)計算有yxoP、Q

在D

內(nèi)不連續(xù)為了能用格林公式，在D

內(nèi)以原點為中心作一小圓在復(fù)連通域格林公式條件滿足解yxo在復(fù)連通域格林公式條件滿足解yxo起點A，終點A解yxoxyoL該方法俗稱“挖洞法。”解yxoxyoL思考題：為什么要用小圓周去“挖洞”？參考題：計算其中L

是以(1,0)為中心，R

為半徑的圓周(R>1),取逆時針方向例4：求其中，L

是以(a,0)為中心，a

為半徑的上半圓周，逆時針方向，m

為常數(shù)。解：分析：被積函數(shù)比較復(fù)雜，無論L

的方程取什么形式，直接用曲線積分的方法都比較困難。故考慮用格林公式表達(dá)式簡單問題：L不是封閉的曲線。yx0例4：求其中，L

是以(a,0)為中心，a

為半徑的上半圓周，逆時針方向，m

為常數(shù)。補(bǔ)充有向線段OA，在L

與OA

所圍的區(qū)域D

上yx0解：例4：求其中，L

是以(a,0)為中心，a

為半徑的上半圓周，逆時針方向，m

為常數(shù)。yx0解：在上，y=0,

x

從0變到2a

例4：求其中，L

是以(a,0)為中心，a

為半徑的上半圓周，逆時針方向，m

為常數(shù)。yx0解：（1）該題用到的方法俗稱“封口法”幾點小結(jié)（2）“挖洞法”和“封口法”是格林公式應(yīng)用中兩類常見的典型方法。（3）當(dāng)曲線積分中，函數(shù)P

、Q

使得等于零、常數(shù)或比較簡單時，要考慮用格林公式。習(xí)題113:2,4,6,7

作業(yè)（一）二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件例3:計算其中L

為如下三條路徑經(jīng)計算皆有事實上，可以證明沿從起點O

到終點B的任何一條光滑路徑，皆有GyxoA定義：如果在區(qū)域G內(nèi)，P、Q

具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)B點A

與B

是G

內(nèi)任意兩點，

如果對于G

內(nèi)從A

到B的任意兩條曲線恒有問題：什么樣的曲線積分與路徑無關(guān)？問題：什么樣的曲線積分與路徑無關(guān)？GyxoAB即所以注意：為G

內(nèi)的一條有向封閉曲線結(jié)論：曲線積分與路徑無關(guān)其中C

為G

內(nèi)任意一條封閉曲線GyxoAB結(jié)論：曲線積分與路徑無關(guān)其中C

為G

內(nèi)任意一條封閉曲線進(jìn)一步，假設(shè)G

為單連通區(qū)域D

為C

所圍閉區(qū)域，則由格林公式其中，D

為G

內(nèi)任意一閉子區(qū)域。從而可推出在整個G

內(nèi)定理2：設(shè)G

是一個單連通區(qū)域，P、Q

在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分在G

內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G

內(nèi)任意閉曲線積分為零）的充分必要條件是在G

內(nèi)恒成立。注意：在應(yīng)用該定理時，一定要保證定理的條件：（1）G

是一個單連通區(qū)域，（2）P、Q

在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。小結(jié)：設(shè)G

是一個單連通區(qū)域，P、Q

在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下命題相互等價（1）曲線積分（2）其中，C

為G

內(nèi)任意一條閉曲線；（3）其中，D

為G內(nèi)任意一個閉子區(qū)域；（4）在G

內(nèi)與路徑無關(guān)；在G內(nèi)恒成立。例1：證明曲線積分證明：顯然整個xoy面是一個單連通區(qū)域，又所以，由定理2，曲線積分在整個xoy

面內(nèi)與路徑無關(guān)；在整個

xoy

面

內(nèi)恒成立。在整個

xoy

面內(nèi)與路徑無關(guān)。它們均在整個xoy

面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。例2：計算曲線積分在第一象限部分到A(1,1)的路經(jīng)。其中L

為從點O(0,0)沿圓周yx0解：分析：由被積函數(shù)知，直接用曲線積分的方法比較困難。由于故所求曲線積分在整個xoy

面內(nèi)與路徑無關(guān)，因此考慮改變積分路徑：所以例2：計算曲線積分在第一象限部分到A(1,1)的路經(jīng)。其中L

為從點O(0,0)沿圓周yx0在OB上，y=0,在AB上，x=1,解：例2：計算曲線積分在第一象限部分到A(1,1)的路經(jīng)。其中L

為從點O(0,0)沿圓周解：yx0三、二元函數(shù)的全微分求積假設(shè)G

是一個單連通區(qū)域，P、Q

在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若曲線積分在G

內(nèi)與路徑無關(guān)Gyxo首先在

G

內(nèi)取一定點又設(shè)B(x,y)為G

內(nèi)的一動點在G

內(nèi)任作一條從A

到B

的曲線弧則曲線積分僅與起點A

和終點B

有關(guān)，與路徑L

無關(guān)，記假設(shè)二元函數(shù)u=u(x,y)可微，則反過來，若給定一個表達(dá)式問它是否一定是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分式回答是否定的。問題：在什么條件下，表達(dá)式一定是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分式？如何求出這個二元函數(shù)u(x,y)?在G

內(nèi)為某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分的充要條件是定理3：設(shè)G

是一個單連通區(qū)域，P、Q

在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則表達(dá)式并且證明略注意在上述公式中(x,y)既是自變量，又是積分變量可記為計算函數(shù)的方法Gtso（1）沿路徑AC+CB

計算（2）沿路徑AD+DB

計算例3驗證是某個函數(shù)的全微分，tso并求出一個這樣的函數(shù)在整個

xoy

面內(nèi)恒成立，解：因此在整個xoy

面內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分，方法一：沿如圖所示路徑求u(x,y)例3驗證是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)tso解：（1）沿如圖所示路徑求u(x,y)例3驗證是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)解：方法2：設(shè)則有兩邊關(guān)于x