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第3章波動(dòng)方程與行波法、降維法
§3.1一維波動(dòng)方程
一.d’Alembert公式推導(dǎo)二.d’Alembert公式物理意義
三.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域四.半無(wú)界弦自由振動(dòng)問(wèn)題
§4.2
三維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題一.三維波動(dòng)方程和球?qū)ΨQ解二.三維波動(dòng)方程的Poisson公式和球?qū)ΨQ解行波法——d’Alembert公式
d’Alembert(1717.11.17~1783.10.29)
法國(guó)著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家,最著名的有8卷巨著《數(shù)學(xué)手冊(cè)》、力學(xué)專著《動(dòng)力學(xué)》、23卷的《文集》、《百科全書》的序言等。他的很多研究成果記載于《宇宙體系的幾個(gè)要點(diǎn)研究》中。一維波動(dòng)方程定解問(wèn)題無(wú)界弦自由振動(dòng)*無(wú)界弦強(qiáng)迫振動(dòng)半無(wú)界弦自由振動(dòng)*半無(wú)界弦強(qiáng)迫振動(dòng)三維波動(dòng)方程定解問(wèn)題二維波動(dòng)方程的定解問(wèn)題球?qū)ΨQ情形*一般情形球面平均法行波法降維法有限弦振動(dòng)問(wèn)題§3.1
一維波動(dòng)方程初始位移,初始速度
的無(wú)界弦自由振動(dòng)初值問(wèn)題(Cauchy問(wèn)題)一.d’Alembert公式推導(dǎo)我們可以求出方程的通解,考慮變量代換利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得為什么?同理可得:將兩式代入原方程,可得:連續(xù)積分兩次得其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù),即有注:
是方程
的通解,它包含兩個(gè)任意函數(shù)。對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的自由振動(dòng),利用初始條件,則:兩端對(duì)
x
積分,可得:由此即得原定解問(wèn)題的解:無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾(d’Alembert)公式.行波法小結(jié)(注:行波法僅適用于雙曲型方程)3.變量替換:1.波動(dòng)方程:2.特征方程與特征根:4.解方程:5.利用初始條件解F、G:例1:求解無(wú)界自由振動(dòng)波動(dòng)方程柯西問(wèn)題:解:由達(dá)朗貝爾公式:例2:解定解問(wèn)題:解:
例3:求解波動(dòng)方程柯西問(wèn)題解:由達(dá)朗貝爾公式:例4:求二階線性偏微分方程初值問(wèn)題的解解:先確定所給方程的特征曲線。特征方程為:或者
它的兩族積分曲線為做特征變換容易驗(yàn)證,經(jīng)過(guò)變換原方程化成它的通解為其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù),即有把這個(gè)函數(shù)代入到條件
代入到得原問(wèn)題的解為:
例5求二階線性偏微分方程的通解
解:特征方程為
積分曲線為:經(jīng)過(guò)變換原方程化成所以,令為原問(wèn)題的通解,其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)。二.d’Alembert公式物理意義1.考慮若的圖形已經(jīng)給定,那么,隨著時(shí)間t
的推移,的圖形以速度a向x軸正方向平行移動(dòng),故稱齊次波動(dòng)方程形如的解為右行波。2,表示一個(gè)以速度a
向x軸負(fù)方向傳播的行波,且傳播過(guò)程中,波形也不變化。
稱為左行波。
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)F(x+at)=F(x0-at+at)=F(x0)考慮:的物理意義,如圖給出的特例行波速度:弦拉的越緊,波傳播速度越快;密度越小,波傳播越快P9結(jié)論:達(dá)朗貝爾解表示沿x
軸正、反向傳播的兩列波速為a
的波的疊加,故稱為行波法。(2)只有初始速度時(shí):(1)只有初始位移時(shí),代表以速度a沿x軸正向傳播的波代表以速度a沿x軸負(fù)向傳播的波假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù),而在此區(qū)間外恒等于0依賴區(qū)間三.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域區(qū)間為解的依賴區(qū)間。u(x,t)
僅僅依賴于內(nèi)的初始條件,在區(qū)間以外改變初始數(shù)據(jù)時(shí),解的值不變。它是過(guò)(x,t)點(diǎn),斜率為的直線與x
軸所截而得到的區(qū)間(如右圖)。1.依賴區(qū)間該區(qū)域中任一點(diǎn)(x,t)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間[c,d]內(nèi)部,因此解在此該區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間[c,d]上的初始條件決定。該區(qū)域稱為區(qū)間[c
,d]的決定區(qū)域。在區(qū)間[c
,d]上給定初始條件,就可以在其決定區(qū)域中確定初值問(wèn)題的解。決定區(qū)域2.決定區(qū)域3.影響區(qū)域如果在初始時(shí)刻t=0,擾動(dòng)僅僅在有限區(qū)間上存在,則經(jīng)過(guò)時(shí)間t后,擾動(dòng)傳到的范圍為定義:上式所定義的區(qū)域稱為區(qū)間的影響區(qū)域。影響區(qū)域影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間小結(jié):特征線特征變換分析其物理意義表明,在xot
平面上斜率為的兩族直線:對(duì)一維波動(dòng)方程研究起重要作用,稱這兩族直線為一維波動(dòng)方程的特征線。波動(dòng)沿特征線傳播。稱為特征變換,行波法也叫特征線法。自變量變換4.行波法又叫特征線法注:容易看出,一維波動(dòng)方程的兩族特征線恰好是常微分方程的解。
這個(gè)常微分方程稱為波動(dòng)方程的特征方程。
一維非齊次波動(dòng)方程柯西問(wèn)題的Kirchihoff公式.四.無(wú)界弦受迫振動(dòng)問(wèn)題例:解:我們先考慮情形,即端點(diǎn)固定的振動(dòng)。希望能利用達(dá)朗貝爾公式來(lái)求解五.半無(wú)界弦的自由振動(dòng)問(wèn)題為此,我們要作奇延拓(有時(shí)也作偶延拓):
半無(wú)界問(wèn)題的解為:當(dāng)時(shí):當(dāng)時(shí):當(dāng)在
x=0
處有一個(gè)自由端,即:則需要作偶延拓。例當(dāng)當(dāng)§4.2
三維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題的解
一.三維波動(dòng)方程和球?qū)ΨQ解r球坐標(biāo)中的Laplace運(yùn)算:所謂球?qū)ΨQ是指與無(wú)關(guān),則波動(dòng)方程可化簡(jiǎn)為球?qū)ΨQ性:得到關(guān)于ru的一維波動(dòng)方程的通解:即此為三維波動(dòng)方程在球?qū)ΨQ情況下的解,其中F、G為任意二次可微函數(shù),可由初始條件確定。將上面第二式兩邊對(duì)r積分得:即:將第一式的r換為(r+at),第二式的r換為(r-at)即可。的解:則:球面波第三章:復(fù)習(xí)思考題與作業(yè)一.名詞解釋:
1.依賴區(qū)間,決定區(qū)域和影響區(qū)域;
2.行波速度;
3.一維波動(dòng)方程的特征變換,特征線;
4.球?qū)ΨQ性,降維法;二.簡(jiǎn)述
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