2023屆湖南省衡陽縣第四中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若表示不超過的最大整數(shù)(如,,),已知,,,則()A.2 B.5 C.7 D.82.已知各項(xiàng)都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.3.若的二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.44.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個(gè)面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.5.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.6.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.7.已知,則()A. B. C. D.8.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.9.甲在微信群中發(fā)了一個(gè)6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.10.若函數(shù)在時(shí)取得最小值,則()A. B. C. D.11.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.12.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.29二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若復(fù)數(shù)z滿足,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是______.14.已知多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______.15.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.16.已知,,求____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時(shí),的最大值為,求證:.19.(12分)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,,已知,(1)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.20.(12分)已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn),且與圓相切.(1)求的值;(2)動點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,動點(diǎn)在上,若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),設(shè).求證點(diǎn)在定直線上,并求該定直線的方程.21.(12分)如圖,點(diǎn)為圓:上一動點(diǎn),過點(diǎn)分別作軸,軸的垂線,垂足分別為,,連接延長至點(diǎn),使得,點(diǎn)的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點(diǎn),分別位于軸與軸的正半軸上,直線與曲線相交于,兩點(diǎn),且,試問在曲線上是否存在點(diǎn),使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.22.(10分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)的最小值為,求的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

求出,,,,,,判斷出是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列,求出即可.【詳解】解:.,∴,,,同理可得:;;.;,,…….∴.故是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用.2、A【解析】試題分析:設(shè)公差為或(舍),故選A.考點(diǎn):等差數(shù)列及其性質(zhì).3、C【解析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算.【詳解】的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4、A【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項(xiàng).【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知,只有正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.5、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減;當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.6、B【解析】

根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項(xiàng).【詳解】.設(shè)直線與相切于點(diǎn),斜率為,所以切線方程為,化簡得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡得②.由①②對比系數(shù)得,化簡得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計(jì)算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.7、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減,對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)?,所以,所以是減函數(shù),又因?yàn)?,所以,,所以,,所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò);又,所以,所以C錯(cuò);對于D,,所以,故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個(gè)式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系,有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進(jìn)而得到大小關(guān)系.8、B【解析】

連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),,且,所以四邊形為棱形,.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個(gè),其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個(gè),故所求概率為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.10、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值.【詳解】解:,其中,,,故當(dāng),即時(shí),函數(shù)取最小值,所以,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.12、D【解析】

由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先求得復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即得.【詳解】,,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模,是基礎(chǔ)題.14、【解析】

令可得各項(xiàng)系數(shù)和為,得出,根據(jù)第一個(gè)因式展開式的常數(shù)項(xiàng)與第二個(gè)因式的展開式含一次項(xiàng)的積與第一個(gè)因式展開式含x的一次項(xiàng)與第二個(gè)因式常數(shù)項(xiàng)的積的和即為展開式中含項(xiàng),可得解.【詳解】令,則得,解得,所以展開式中含項(xiàng)為:,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)展開式的系數(shù)和,二項(xiàng)展開式特定項(xiàng),賦值法,屬于中檔題.15、0.08【解析】

先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計(jì)算公式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).16、【解析】

求出向量的坐標(biāo),然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】,,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)利用分段討論法去掉絕對值,結(jié)合圖象,從而求得不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最小值,把問題化為,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),則所以不等式的解集為.(2)等價(jià)于,而,故等價(jià)于,所以或,即或,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度一般.18、(Ⅰ)(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,所以故,,代入點(diǎn)斜式可得曲線在處的切線方程;(Ⅱ)由題(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是(2)當(dāng)時(shí),令,即,令,即(i)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當(dāng),即時(shí),由的單調(diào)性可得在上的最小值是(iii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上的最小值是(Ⅲ)當(dāng)時(shí),令,則是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?,,所以在上存在,使得,即討論可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),取得最大值是因?yàn)?,所以由此可證試題解析:(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù),且,所以,所以所以,所以曲線在處的切線方程是,即(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù),所以(1)當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的最小值是(2)當(dāng)時(shí),令,即,所以令,即,所以(i)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(iii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,所以在上的最小值是綜上所述,當(dāng)時(shí),在上的最小值是當(dāng)時(shí),在上的最小值是當(dāng)時(shí),在上的最小值是(Ⅲ)因?yàn)楹瘮?shù),所以所以當(dāng)時(shí),令,所以是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?,,所以在上存在,使得,即所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),取得最大值是因?yàn)椋砸驗(yàn)?,所以所?9、(1)(2)【解析】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,數(shù)列求和的錯(cuò)位相減求和是數(shù)列求和中的重點(diǎn)與難點(diǎn),要注意掌握.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1?qn-1=2n-1,結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn),考慮利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和解:(1)(2),兩式相減:20、(1);(2)點(diǎn)在定直線上.【解析】

(1)設(shè)出直線的方程為,由直線和圓相切的條件:,解得;(2)設(shè)出,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率,求得為切點(diǎn)的切線方程,再由向量的坐標(biāo)表示,可得在定直線上;【詳解】解:(1)依題意設(shè)直線的方程為,由已知得:圓的圓心,半徑,因?yàn)橹本€與圓相切,所以圓心到直線的距離,即,解得或(舍去).所以;(2)依題意設(shè),由(1)知拋物線方程為,所以,所以,設(shè),則以為切點(diǎn)的切線的斜率為,所以切線的方程為.令,,即交軸于點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,,,.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則,所以點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系的判斷,考查直線方程和圓方程的運(yùn)用,以及切線方程的求法,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于綜合題.21、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】

(1)設(shè),,,通過,即為的中點(diǎn),轉(zhuǎn)化求解,點(diǎn)的軌跡的方程.(2)設(shè)直線的方程為,先根據(jù),可得,①,再根據(jù)韋達(dá)定理,點(diǎn)在橢圓上可得,②,將①代入②可得,該方程無解,問題得以解決【詳解】(1)設(shè),,則,,由題意知,所以為中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,即,又點(diǎn)在圓:上,故滿足,得.曲線的方程.(2)由題意知直線的斜率存在且不為零,設(shè)直線的方程為,因?yàn)?,故,即①,?lián)立,消去得:,設(shè),,,,,因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?,點(diǎn)

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