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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng),每人只能去一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū),乙不去社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.52.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則()A. B. C.1 D.23.已知命題,且是的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.集合,則()A. B. C. D.5.如圖,已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.6.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為,是上一點(diǎn),是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn),若,則()A. B.3 C. D.27.設(shè),是雙曲線(xiàn)的左,右焦點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為.若,則的離心率為()A. B. C. D.8.大衍數(shù)列,米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過(guò)程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為()A. B. C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.10.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者,有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明,如“費(fèi)馬大定理”,但大多猜想還未被證明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對(duì)于每一個(gè)正整數(shù),如果它是奇數(shù),則將它乘以再加1;如果它是偶數(shù),則將它除以;如此循環(huán),最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個(gè)程序框圖.若輸入的值為,則輸出i的值為()A. B. C. D.11.已知集合,,則集合子集的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.12.框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段,實(shí)際生活中的一些問(wèn)題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后,可以制作框圖,編寫(xiě)程序,得到解決,例如,為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差,設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,其中輸入,,,,,,,則圖中空白框中應(yīng)填入()A., B. C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則=_______.14.的展開(kāi)式中,的系數(shù)是______.15.設(shè)函數(shù),,其中.若存在唯一的整數(shù)使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.16.已知,則滿(mǎn)足的的取值范圍為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉):若分?jǐn)?shù)不低于95分,則稱(chēng)該員工的成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問(wèn)題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計(jì)所有員工的平均分?jǐn)?shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.數(shù)列滿(mǎn)足,其前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形,四邊形為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,,(1)若分別為,的中點(diǎn),求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn),的頂點(diǎn)也在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),求面積的最大值.21.(12分)如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.(1)求證:平面平面;(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn),使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線(xiàn)段的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式的解集;(2)設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意滿(mǎn)足條件的安排為:A(甲,乙)B(丙)C(?。?;A(甲,乙)B(丁)C(丙);A(甲,丙)B(丁)C(乙);A(甲,?。〣(丙)C(乙);A(甲)B(丙,?。〤(乙);A(甲)B(?。〤(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7種,選B.2、C【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿(mǎn)足,所以,,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
求出命題不等式的解為,是的必要不充分條件,得是的子集,建立不等式求解.【詳解】解:命題,即:,是的必要不充分條件,,,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:(1)解決此類(lèi)問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí),一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).4、D【解析】
利用交集的定義直接計(jì)算即可.【詳解】,故,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,注意常見(jiàn)集合的符號(hào)表示,本題屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),由此推導(dǎo)出,由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為,直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),如圖過(guò)A、B分別作于M,于N,由,則,點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB,則,∴,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為,把代入直線(xiàn),解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中參數(shù)的求法,考查拋物線(xiàn)的性質(zhì),是中檔題,解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用,屬于中檔題.6、D【解析】
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得,由此求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)作,垂足為,設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線(xiàn)的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
設(shè)過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),其方程為,聯(lián)立方程,求得,,即,由,列出相應(yīng)方程,求出離心率.【詳解】解:不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),其方程為,由解得,,即,由,所以有,化簡(jiǎn)得,所以離心率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的概念、直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解、推理論證能力,屬于中檔題.8、B【解析】
直接代入檢驗(yàn),排除其中三個(gè)即可.【詳解】由題意,排除D,,排除A,C.同時(shí)B也滿(mǎn)足,,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式,解題時(shí)可代入檢驗(yàn),利用排除法求解.9、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán),輸出,選D.點(diǎn)睛:算法與流程圖的考查,側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題,是求和還是求項(xiàng).10、B【解析】
根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步,即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入,不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)不成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;成立,跳出循環(huán),輸出i的值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
首先求出,再根據(jù)含有個(gè)元素的集合有個(gè)子集,計(jì)算可得.【詳解】解:,,,子集的個(gè)數(shù)為.故選:.【點(diǎn)睛】考查列舉法、描述法的定義,以及交集的運(yùn)算,集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
依題意問(wèn)題是,然后按直到型驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計(jì)算7個(gè)數(shù)的方差,即輸出的,觀察程序框圖可知,應(yīng)填入,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用求出公差,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.【詳解】設(shè)公差為,因?yàn)?,所以,?所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解,利用等差數(shù)列的基本量是求解這類(lèi)問(wèn)題的通性通法,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、【解析】
先將原式展開(kāi)成,發(fā)現(xiàn)中不含,故只研究后面一項(xiàng)即可得解.【詳解】,依題意,只需求中的系數(shù),是.故答案為:-40【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理性質(zhì),關(guān)鍵是先展開(kāi)再利用排列組合思想解決,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫(huà)出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿(mǎn)足的關(guān)系式求解即可.【詳解】解:函數(shù),且畫(huà)出的圖象如下:因?yàn)?且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時(shí)無(wú)交點(diǎn),,得;又,過(guò)定點(diǎn)又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時(shí),所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當(dāng)時(shí),恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時(shí)故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問(wèn)題,需要根據(jù)題意分別分析定點(diǎn)右邊的整數(shù)點(diǎn)中為滿(mǎn)足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時(shí)的不等式求的范圍.屬于難題.16、【解析】
將f(x)寫(xiě)成分段函數(shù)形式,分析得f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,f(x)=x|x|=,則f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),則f(2x﹣1)+f(x)≥0?f(2x﹣1)≥﹣f(x)?f(2x﹣1)≥f(﹣x)?2x﹣1≥﹣x,解可得x≥,即x的取值范圍為[,+∞);故答案為:[,+∞).【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用,注意分析f(x)的奇偶性與單調(diào)性.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)①82,②分布列見(jiàn)解析,【解析】
(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”共有種結(jié)果,利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可;(2)①平均數(shù)的估計(jì)值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和;②要注意服從的是二項(xiàng)分布,不是超幾何分布,利用二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】(1)設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”為事件,則,所以,恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.(2)組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①,估計(jì)所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3,隨機(jī)選取1人是“優(yōu)秀”的概率為,∴;;;;∴的分布列為0123∵,∴數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算以及二項(xiàng)分布期望的問(wèn)題,涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計(jì)值等知識(shí),是一道容易題.18、(1),;(2).【解析】
(1)令可求得的值,令,由得出,兩式相減可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的公比,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式,運(yùn)用數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)可得.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),,得,即,所以,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,.;(2)由(1)知數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,.,.所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用,注意結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,考查數(shù)列的求和方法:分組求和法和裂項(xiàng)相消求和,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.19、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】試題分析:(1)第(1)問(wèn),轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第(2)問(wèn),先利用幾何法找到與平面所成角,再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系,求出二面角的余弦值.試題解析:(1)連接,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,平面,,所以平?又平面,所以.因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以平?因?yàn)榉謩e為,的中點(diǎn),所以,所以平面(2)設(shè),由(1)得平面.由,,得,.過(guò)點(diǎn)作,與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,,如圖所示,又,所以為等邊三角形,所以,又平面平面,平面平面,平面,故平面.因?yàn)闉槠叫兴倪呅?,所以,所以平?又因?yàn)?,所以平?因?yàn)?,所以平面平?由(1),得平面,所以平面,所以.因?yàn)椋云矫?,所以是與平面所成角.因?yàn)?,,所以平面,平面,因?yàn)椋云矫嫫矫?所以,,解得.在梯形中,易證,分別以,,的正方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,,,由,及,得,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得m=(3,1,2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得.所以又因?yàn)槎娼鞘氢g角,所以二面角的余弦值是.20、(1):,:;(2)【解析】
(1)由直線(xiàn)參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線(xiàn)的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)
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