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《高等數(shù)學(xué)AI》末復(fù)習(xí)題參考答案題:1.2.;3.;4.B;5.D;題:1、[,4];2、1;3、x=;、y=+;、x
52
;6、單調(diào)增加;7、(1,6;8、39、y=;、
lna
;11、
;12;133。21、解:原=
lim
x
2、解:原=
lim(1
limx0
xx
lim(1
1x)x
。
e1、解:′=
(1)(
2、解:′
cosx1sinx
。(2)dx。dy=(2)3、解:方兩邊對(duì)求導(dǎo):32x。y=2
2
y3′-x
5
01、解
xx1dxdx=)=arctanx2x第1共頁
10102、解:
dx=x2
x)=arctan(sin)
。3、解:原=x–x+
10
。4、解:原=|dx|00
。5、解:令t=
,則x=t,x=2tdt,原式=
2t
tsin
sintdt)cost1
)2(sin1
。六解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?-∞,-3∪(-3,+∞)。y
x23)36(3,(x4x令y0,得x=3列表如下:x
(-∞-3(-3,3)
3
(3+∞y
-
0
-y
單調(diào)減少
單調(diào)增加
極大值4
單調(diào)減少所以,函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為:(-∞,3(3,+);單調(diào)增加區(qū)間為:(-3,;函數(shù)的極大值為:(3。(2)y′′
x
)(
36
2(6)4令y′′=0,得x=。列表如下:xy′
(-∞-3(-,6)--
60
(6+∞)y
凸
凸
拐點(diǎn)11/
凹所以,函數(shù)的凸區(qū)間為:(-∞-3(,凹區(qū)間為:(-33);函數(shù)的拐點(diǎn)為:(611/3。(3)
limy[1xx
36(x
]
,所以函數(shù)的鉛直漸近線為:=-。第2共頁
230dx230dxlimlim[1xx
(x3)
]
,所以函數(shù)的水平漸近線為:=。七
證:令F)=e
3x
f(x),由已知,F(xiàn)(x)[a,b]連續(xù),在(,)可導(dǎo),且F()=0=(b,由羅爾定理,在(ab)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得:Fξ)=3e3f(ξ)+3f′ξ)=0,即:f′(ξ)+3(ξ)。八
解:
y
,所求平面圖形的面積為:A
10
(x
2
1)d)|。331、解:分離變量,得:
d1
dx1
,兩邊積分,得:arcsiny,即原方程的通解為:=(x+)此外還有解:=±12、解:P(x
2x
,()x
,原方程的通解為:=e
(2ex
2
(d2(
(
。將y
x
代入通解,得=?!嗨蠓铣跏紬l件的特解為:=2(x22
?!陡叩葦?shù)學(xué)AI》末復(fù)習(xí)題參考答案題:1、C;2、A;3、;4、C;5B;題:1、[,3];2、;3、=;、y=3–2;5、;6單調(diào)減少;7、(-1,4;ln3第3共頁
8、69、y=–1;10、arcx+;11
;12π;133。1、解:原=
lim
xx
2、解:原=
lim(1)
limx01。6
1x23x2
3。1、解:′=dy=
(x2(x2dx。(2
2、解:′
x
cotx。3、解:方兩邊對(duì)求導(dǎo):eyy′+0,y=
e
。1、解:原=
2sinxx
x
(cossin)dxsinxx。2、解:原=
d(2)
。3、解:式=arctan
x1d(12)1xarctanxxln(12)。22124、解:原=x2–x)|=3–e。05、解:令t=
,則x=t
2
,dx=2tdt,原式=
2
tet
tt1
tdt)et)20
。第4共頁
11六11
解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?-∞,+∞。y3
2
1–2x–,令y′=0,得x=,x=。3列表如下:xy
(-∞-1/3-1/30
(-1/31)-
(1+∞y
單調(diào)增加
極大值32/27
單調(diào)減少
極小值0
單調(diào)增加所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為:(-∞,1/3),(1∞);單調(diào)減少區(qū)間為:(-1/,1);函數(shù)的極大值為:(1/)=32/27,極小值為:(1。(2)y′′=6–2令′=0,得=1/3。列表如下:xy′
(-∞/)1/3-0
(1/3,∞)y
凸
拐點(diǎn)16/27
凹七
所以函數(shù)的凸區(qū)間為:(-∞1/3);凹區(qū)間為:(1/,+∞);函數(shù)的拐點(diǎn)為:(1/,16/)。證:令F)=xf(),由已知,F(xiàn)x)在[,b]連續(xù),在(,)可導(dǎo),且F()=0=(b,由羅爾定理,在(ab)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得:Fξ)=2ξ(ξ)ξ
2
f′(ξ)=0,即:2f(ξ)+ξf′(ξ)=0。
解:所求平面圖形的面積為:A=x00
xd|101、解:分離變量,得:x,y兩邊積分,得2y2,即原方程的通解為:y
(x22
.外還有解:y=0。第5共頁
x。n1n11n1n2、解:P(x,(x)x,x。n1n11n1n原方程的通解為:=e
xedx
xdx
。將y
x
代入通解,得=1。∴所求符合初始條件的特解為:=
x
?!陡叩葦?shù)學(xué)》期末復(fù)題三參考案題:1、A;2、
C
;3、
;4
B
;5、D;
6、B。題:1、
;2、
11;3、x;4、;5x
11x
。限:1、解li
1x
im
xx(1
im
11。11limim0
12112、解limx
1x。x0xsinx3.解n
n
n
1n
n
limn
nn
e2。e數(shù):1、解:
2x
2
exx
。sinx2、解lnysinxx,coslnx,
sinxcosxlnx。第6共頁
3、解:兩對(duì)求導(dǎo),得:xy
y整理得:yy
2
xyy
所y
y。xy分:1、解:原=
lnx(lnx)
ln2。2、解:原=
2xsin2xsinx
x
(cossin)dcosxC。3、解:原=
(1x
111x22)|2)。22224、解:令tant
,dx
2
tdt,,
π
;
,t
π原式=
π3π4
sectan2t
π3π4
t2t
π3π4
t)1|tt
π3π4
2
。
解:(1)f′(x)=
(3
,令f′(x)=,得:x1列表如下:x
(–∞,)(–1,1)1(1,∞)f′()f()
–↘
↗
0極大值
54
–↘∴f()的單調(diào)減少區(qū)間為(–∞1)和(1∞)單調(diào)增加區(qū)間為(–1),極大值為:f1
14
。(2)′′()=
2((x
,令f′′(),得:x2,列表如下:x
(–∞,)(–1,2)
2
(2,+)f′′()–
–
0
f()
凸
凸
拐點(diǎn)
29
凹∴f()的凸區(qū)間為:(∞,–1和(–1,2,凹區(qū)間為:(2,∞),拐點(diǎn)為:(2)。第7共頁
x5x5(3)limxlimx
x(1x(1)
22
,y是數(shù)的水平漸近。∴x數(shù)鉛漸線
證:令f()x–(1+),則f()在區(qū)間[0,+∞)上連續(xù),且
1(x)0(0故f(x)在[0∞)上嚴(yán)格單調(diào)增加,11
從而f()(0)=0,因此,當(dāng)x>0時(shí),有>ln(1+)。2解或,所求平面圖形的面積為:A=
4
y2y(y4)4y)26
4
。1、解:當(dāng)≠時(shí),y()dyydu原方程化為:,,則yx,dxdxdxx原方程化為:x
dudu
x,分離變量,得(1)x
,兩邊積分,得:u–lnln|+lnC,即:=x,也就e
C|y,或=e
yx
;經(jīng)檢驗(yàn),y0也是原方程的解,原方程的通解為:=2、解:原程的通解為:
yx
和y=0y=
dx5dx3[(xxx=((2xC](1)[(xC](
72
。第8共頁
1x11x1xy3《高等數(shù)學(xué)》期末復(fù)題四參考案1x11x1xy3題:1、B;2、C;3、4、B;5、B;6、;、A;8、A。1、必要;、;可去;3、a=;=-;4、2+1=05;6、
(x。1、解:原=limx1
1213
(x1)(xxlimlimx)(12)x12
2、解:原=limx
x
x
limx
1
xx
;3
、
解:原式=limx
2
(12
2
lim(12)x1、解d2x2)xtan)(1x2dx2、解:
y(sin3)tx(acos3t
32tta2t(
(
t
,n整數(shù))3、解:方兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得
y
(*以y
ey;ey(*兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得e
y
y
y
y
y
y
2
xe
y
y
,y
e
y
yxe
.
yyxe)
。1、解:原=x2x;x2、解:原=
cos(d(2sin(x;第9共頁
00xx33、解:原=lnxxdxlnx34、解:令=t,則x=costt=0t=0,x=,t
2
。原式=
tcos
t=
20
sin
2
t
20
14dt=(4)4。5、解:原=sin-0
20
sinxdxπ/+cosx|
0
π2
-1解:令'
x
240點(diǎn)2不可導(dǎo)x,'',∴單調(diào)增區(qū)間(x4(2,單調(diào)減區(qū)間為02小值為f(2)凹區(qū)間為(,無拐點(diǎn)。題:1、證:設(shè)f(ln(1x,然(x)在區(qū)間x]滿足拉格朗日定理,則)0。1當(dāng)
>0時(shí),,
x,即:1
x1x
x)x
。
、證:設(shè)f()x
5
–7x–,則f(x)在[1,]上連續(xù),且f(1-10<0,(2)14>0,由零點(diǎn)定理,在(,)至少存在一點(diǎn)ξ使得fξ)=,即方程x(1,2)內(nèi)至少一個(gè)實(shí)根。
5
–7x=4在
解:所求體積為:V=
R
2dx
R
22)dx
R0
1(R22)dx23第1頁共頁
eexxeexx
43
。1、解:原方程化為:
x
2xy,分離變量:
dy
d,兩邊積分:lny|=lnC,原方程的通解為:=
e
。2、解:原程的通解為:y=
()?!陡叩葦?shù)學(xué)》期末復(fù)題五參考案1、(-2,2)∪(2+
2、1;
3、0;
4、=2;
5、1;
16。21、解:原=
;
six12、解:原=lim;x3、解:原=li
lnx(lnx
x4、解:lilnlim=lim1x000x
xx2li
xlnx
lim1xx2
li()=,x0
12
;
原式
0
1。1、=
xx
,求
2、==(x+求d第1頁共頁
22解:y
x(x1);(x1)(2
解:
1,2x1
2x
x。3、求由方–y確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y
;解:方程兩邊對(duì)求導(dǎo):–y
+xy
,y
xy
y
;4、=
2
cosx,求y
。解:y2–2inx,x2xsin–xinx–xx=(2–x2)4xsin。1、解:原=
14
x4xx+;12、解:原=cosx3)d(2x21(x3)+;23、解:令t=
x,則x=
2
–1,d=2tt0,t=,x=,t2原式=
21
tdt=2(2)dt122116(t5t);54、解:原=xsinx|
π/0
π20
si
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