微積分在生活的應用

微積分在生活中的應用摘要：微積分作為一種重要的數(shù)學工具，在解決實際問題時并不是一開始就得心應手的，在開始應用微積分解決間題時，常常會感到困惑,主要表現(xiàn)在：積分元的選取，積分限的確定及模型的建立等等.比如，利用微積分來確定一些簡單的學習方法、投資決策、對實際問題進行數(shù)學建模等，這些問題都可以通過微積分的知識和方法來進行分析，并找出其中的規(guī)律，從而做出決策.本文將結(jié)合它在幾何、物理與經(jīng)濟等方面的應用，利用理論知識付諸于實踐中,有利于于人們更好的學習了解微積分的應用.關(guān)鍵詞：微積分物理經(jīng)濟應用摘要字數(shù)偏多，再去掉兩三行。摘要是反映你文章中的內(nèi)容，前面兩句介紹微積分，后面直接說文章通過哪些內(nèi)容反映你的主題通過微積分可以描述運動的事物，描述一種變化的過程，可以說，微積分的創(chuàng)立極大地推動了生活的進步.由于微積分是研究變化規(guī)律的方法，因此只要與變化、運動有關(guān)的研究都要與微積分發(fā)生聯(lián)系，都需要運用微積分的基本原理和方法.隨著現(xiàn)代科學的發(fā)展和各學科之間的相互交融，微積分仍會進一步豐富和發(fā)展人們的生活，進一步將微積分的理論應用于實踐，從而為人類社會的進步作出更大的貢獻.無論是在生活中還是學習中，微積分都能實現(xiàn)其最大化、最優(yōu)化的作用.在學習數(shù)學中，利用微積分能很好的計算平面上那些不規(guī)則圖形的面積、曲線的孤長、三維空間中旋轉(zhuǎn)曲面的表面積、旋轉(zhuǎn)體的體積及在我們生活中“切菜”的物體的體積等；在物理上，利用微積分可以研究物體做勻速直線運動的位移問題、研究勻速圓周向心加速度的方向問題及研究物體的變力做功等；在經(jīng)濟中，利用微積分能分析邊際分析在經(jīng)濟中的應用、彈性在經(jīng)濟中的應用及學會用微積分解決實際中的最優(yōu)問題與投資決策等.可見，微積分存在于生活中的方方面面，是解決實際問題最方便的工具.如果沒有微積分的出現(xiàn)，生活中遇到的問題就不能轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言來進行研究，生活中存在的大量的實際問題就不能夠解決，因此，要想解決這些問題我們就必須學好微積分的有關(guān)知識，好好利用微積分這個工具.本文將通過具體的實例分析微積分在數(shù)學、物理及經(jīng)濟中的具體的應用，進一步加強人們對于微積分的理解及其在實際的廣泛的應用.引言部分寫的還可以，暫時不用動，最后在修改細節(jié)。第一章微積分的概述1.1微積分的發(fā)展史微元法微積分的概念可以追溯到古代，到了十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學家都參加過準備的工作,分別獨立地建立了微積分學，他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源,牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮,萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學來考慮的.他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量,理論基礎(chǔ)是不牢固的.直到19世紀初,法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論,后來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化,使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)，才使微積分進一步的發(fā)展開來.歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數(shù)學也好,都是一種常量數(shù)學,微積分才是真正的變量數(shù)學，是數(shù)學中的大革命.微積分是高等數(shù)學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績.隨著社會的進步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學也開始研究變化著的量，數(shù)學進入了“變量數(shù)學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科.通過研究微積分在物理，經(jīng)濟等方面的具體應用，得到微積分在現(xiàn)實生活中的重要意義，從而能夠利用微積分這一數(shù)學工具科學地解決問題.微積分的發(fā)展歷史表明了人的認識已經(jīng)達到了抽象思維，也就是從感性認識到理性認識的過程.人類對客觀世界的規(guī)律性的認識具有相對性,受到時代的局限，隨著人類認識的深入，認識將一步一步地由低級到高級、不全面到比較全面地發(fā)展，人類對自然的探索永遠不會有終點.1.2微積分的基本內(nèi)容微積分的產(chǎn)生的三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系，最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的.從廣義上說，數(shù)學分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學科，但是現(xiàn)在一般已習慣于把數(shù)學分析和微積分等同起來，數(shù)學分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學分析就知道是指微積分.微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學和積分學.微分學的主要內(nèi)容包括：極限理論、導數(shù)、微分等.積分學的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等.總的來說微積分可以看作是一種無限分割的思想，即將復雜的問題拆解成很小的組成部分，通過研究小的內(nèi)容來對整體進行估計的一種思想.第二章微積分在幾何學中的應用微積分是數(shù)學中的重要內(nèi)容，其思想方法和基本理論有著廣泛的應用，可以當作工具去解決數(shù)學中的一些問題.通過求曲邊梯形的面積等實例，從問題情境中了解微積分的實際背景；借助幾何直觀體會微積分的基本思想，（1）為今后進一步學好微積分打下基礎(chǔ)；（2）通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義；（3）了解微積分的文化價值.微積分在解決數(shù)學問題中有更廣泛的用途，更全面地探索和研究更多的用法，既提供了一種新的方法，又提供了一種重要的思想，也為今后進一步學好微積分打下基礎(chǔ),能夠好好的利用它的應用.2.1微分在幾何學中的應用在實際生活的求最值的某些實際應用問題中，根據(jù)問題的實際意義，能夠判定它必能取得最小或最大值，而從實際問題抽象出來的數(shù)學含義為可導函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又只有一個穩(wěn)定點，這時就可判斷，實際問題中函數(shù)在此穩(wěn)定點取得最小或最大值.下面我們從二個例子來說明.2.1.1問題中的最大值電燈A可在桌面點。的垂直線上移動，在桌面上有一點B據(jù)點O的距離為a,問電燈A與點O的距離多遠,可使點B處有最大的照度?解：設(shè)AO=尤,AB=r,ZOBA=們由光學知，點B處的照度J與sin中成正比，與r與r2成反比，即j=c竺也，其中r2c是與燈光強度有關(guān)的常數(shù)。?一 X : -.一F曰sin9=—,r=7x2+a2于是，rJ(x)=c—=c ,0<x<+8.r3 3(x2+a2)2a2-2x2J'(x)=c 5(x2+a2)2令J'(x)=0,解得穩(wěn)定點-當與M,其中穩(wěn)定點二不在(0,+8)中，比較

<2 .偵2 v2三數(shù)J(M)=-^^，J(0)=0,J(x)=0,(xT+8)，知J(當)就是函數(shù)在［0,+8)*2 3<：3a2 v2的最大值，即當電燈A與點O的距離為當時，點A處有最大的照度，最大的照度\.：2是J(M)=工.指3必a22.1.2 問題中的最小值一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比 ，已知當速度為10(km/h)，燃料費為每小時6元,而其他與速度無關(guān)的費用為每小時96元，問輪船的速度為多少時，每航行1km所消耗的費用最??？解：設(shè)船速為x(km/h),具題意每航行1km的耗費為y=—(kx3+96),由已知當xx=10時，k-103=6故得比例系數(shù)k=0.006,所以有y=—(0.006x3+96),xe(0,+8)，x令y=四U(x3-8000)=0,求得穩(wěn)定點x=20.由極值第一充分條件檢驗得x2x=20是極小值點,由于在(0,+3)上函數(shù)處處可導，且只有唯一的極值點,當它為極小值點時必為最小值點.所以求得當船速為20km/h時,每航行1km的耗費為最少,其值為y=0.006x202+96=7.2(元).min 202.2積分在幾何學中的應用2.2.1在平面問題上的應用2.2.1.1平面圖形的面積的計算求三葉玫瑰線r=acos39圍成的區(qū)域的面積圖2.1r=acos39此處圖形要加坐標系解：三葉玫瑰線圍成的三個葉全等，只需計算第一象限那部分的面積面積的6倍.三葉玫瑰線r=acos。，在第一象限中，角的變化范圍是由0到-,于是,三葉玫6瑰線圍成的區(qū)域的面積是A=gj6a2C0S2(30)d0=a2』：cos2(30)d(30)20 0「 a2何，=a2J2cos2中d中=—J2(1+cos2^)d^sin2平)sin2平)|2=2.2.1.2平面曲線的彌長的計算求星形線a=acos3甲,y=asin3甲,a>0,0V甲<2兀的全長解：圖（1）圖（1）星形線星形線關(guān)于兩個坐標軸都對稱，于是，星形線的全長是它在第一象限的那部分孤長的4倍.x'=-3acos2里sin中y=3asin2里cos中則星形線的全長s=4^2\x'2+v2d甲=12a』2\'x'2+y2d甲

0 0五 Z.12aJ21sin中cos中Idp=12aJ2sinpcos^dp00九?=3aJ2sin2pd(2p)=6a02.2.2在三維空間中的應用2.2.2.1旋轉(zhuǎn)曲面的面積的計算求橢圓生+竺=1(0<b<a)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)橢球體的表面積.X2 J2

解:x=—\b2-y2,x'=-——a

/ y b\,b2-y2解:V J于是，旋轉(zhuǎn)橢球體的表面積1+x'2dy=1+x'2dy=4兀f^.;x2+(xx')2dy°y o y-b4兀a3=J\b4+(a2-b2)y2dyb2o，:b4,°,'——+82y2dya24k—2r,b4=—J\：—+82y2d(8y)b2o\a2TOC\o"1-5"\h\z2k—2 b4 b4… b4 lb= (8y'——+82y2+一ln18y+」一+82y2l)lbb28 a2 a2 Va2 o2k— :b4 b4 'b4 b4b2——(8b.—+82b2+一Inl8b+'—+82b2|-一ln—)b28 Va2 a2 \a2 a2 a2Kb2a=2k—2+ ln[—(1+8)]8b其中,8= —是橢圓的離心率.a2.2.2.2旋轉(zhuǎn)體的體積的計算切黃瓜圈時，將洗凈的黃瓜放到水平放置的菜板上，菜刀則垂直于菜板的方向切去黃瓜兩端,也就是所求體積的立體空間，接下來試想如何將計算出這個不規(guī)則黃瓜的體積？我們可以，也就是將間隔較小距離且垂直于菜板方向切下一個黃瓜薄片，將其視為一個支柱體,這個體積也就是等于截面的面積乘以厚度.舉一反三,如果將這根黃瓜切成若干薄片,計算每個薄片的面積并相加就可得到黃瓜的近似體積，且黃瓜片約薄，體積值就約精確.那么如何才能提高這個數(shù)值的精確度呢？也就是將其無限細分，再獲得無限和,也就是黃瓜的體積.切菜應用就是平行截面面積為已知的幾何體體積問題，舉一個例子，最好是生活化的例題第三章在物理學上的應用微積分不僅在數(shù)學中有重要的應用而且在物理中也有十分廣泛的應用，應用微積分法去解決實際問題是非常廣泛的，把“數(shù)學微元”的思想抽象成定積分去求解物理學相關(guān)的問題.在實際過程中，微積分思想把復雜物理問題進行有限次分割，在有限小范圍內(nèi)進行近似處理，而近似處理就是要抓住問題的主要方面，從而使問題變得簡單.實際中的復雜問題，則可以化整為零，把它分割成在小時間、小空間范圍內(nèi)的局部問題，只要局部范圍被分割到無限小，小到這些局部問題可近似處理為簡單的可研究的問題，把局部范圍內(nèi)的結(jié)果累加起來，就是問題的結(jié)果.在應用微積分方法解物理問題時，微元的選取非常關(guān)鍵，選的恰當有利于問題的分析和計算,其一要保證在所選取的微元內(nèi)能近似處理成簡單基本的物理模型，以便于分析物理問題；其二要盡量把微分選取的大，這樣可使積分運算更加簡單，因為微分和積分互為逆運算,微分微的越細，越精確,但積分越繁瑣，計算工作量較大，所以還要在微分和積分這對矛盾之間協(xié)調(diào)處理.3.1微分在物理中的應用在實際分析物理問題的過程中，利用微分解釋物理量變化率及實際有關(guān)函數(shù)極值的問題時，可加深對物理意義的理解，提高生活中問題的準確性.3.1.1研究勻變速直線運動的問題甲、乙兩車同時同地同向出發(fā)，在同一水平公路上做直線運動，甲以初速度v甲=20m/s，加速度a甲=2m/s2做減速運動，乙以初速度v乙=4m/s，加速度a=2m/s2,做加速運動，求兩車再次相遇前的最大距離⑹.乙分析與解：，時刻兩車的距離為：s=s-s=(vt-—a12)-(vt+La12)=16t-2t2甲乙甲2甲 乙2乙對s(t)求導數(shù)得：s'=16-4t令：s'=16-4t=0(一階導數(shù)等于0函數(shù)有極值)

解得：t=4s將t=4s代入原式得：s=16t-2t2=32m艮即t=4s時兩車再次相遇前的最大距離,其值為32m.3.1.2利用隱函數(shù)求導實際問題中物體的速度、加速度湖中有一小船，岸邊有人用繩子跨過離水面高為H的滑輪拉船靠岸,設(shè)繩的原長為％,以勻速率V0拉繩,求在任意位置X處,小船的速度和加速度⑺.小船可作為質(zhì)點并作一維運動,選取坐標系,在任一位置處，繩長l，位置坐標x及高度H（常數(shù)）之間有如下關(guān)系：TOC\o"1-5"\h\z12=X2+H2 （1）將（1）式兩邊同時對t求導，有l(wèi)d=X竺 （2）dtdt注意到d=-V（繩長l減?。琩X=V，則有dt0 dtl C7H、cV=-—V=-\|1+（一）2V將（2）式兩邊再對t求導有（dl）2+^d（dl）（dx）2+d2xdtdtdtdtdt2注意到a注意到a=竺dt2d為常數(shù)'則上式為V2=[1+(H)2]V2+X性Xo dt2— v2.V和a表達式中的負號表示v.a的方向沿x軸負向，且隨著小船向岸邊的運動,速度和加速度的值越來越大.3.2積分在物理中的應用3.2.1研究變力做功問題設(shè)物體在變力作用下，沿X軸由a點處移動到b處，求變力所做的功？由于力F(x)是變力，所求功是區(qū)間［a,b］上均勻分布的整體量，故可以用定積分來解決,利用微元法，由于變力F(x)是連續(xù)變化的，故可以設(shè)想在微小區(qū)間［尤,x+dx］上作用力保持不變(“常代變”求微元的思想)，按常力做功公式得這一段上變力F(x)做功的近似值.把變力F(x)近似為恒力，大小方向都不變；把曲線軌跡近似為直線軌跡，即看成直線運動，其位移記為dx,把每段內(nèi)的功近似恒力作用下做直線運動的功計算，則dW=F(x)dx近似處理后,再把沿整個路徑的所有運動小段內(nèi)力所做的元功加起來，就得到整個過程中力對質(zhì)點所做的功.由于dx表示位移趨于零，對元功積分，使得變力F(x)從a到b所做的功為W=jbF(x)dxa在實際應用中，許多問題都可以轉(zhuǎn)化為物體受變力作用沿直線所做的功的情形,下面通過具體例子來說明.例：把一個帶+q電量的點電荷放在r軸上的坐標原點處，它產(chǎn)生一個電場，這個電場對周圍的電荷有作用力.由物理學知道，如果一個單位正電荷放在這個電場中距離原點為r的地方，那么電場對它的作用力的大小為F=kq.r2試計算：當這個單位正電荷在電場中從r=a處沿r軸移動到r=b處時,電場力F對它所做的功[8].解：注意到將單位正電荷在r軸上從點a移動到點b的過程中，電場對該單位正電荷的作用力是變化的，問題可歸結(jié)為變力沿直線做功的情形處理.取r為積分變量，其變化區(qū)間為】a,b]，任取微元】r,r+dr],當單位正電荷從[移動到r+dr時，電場力對它所做的功近似等于kqdr,r2即功微元為dW=qdrr2從而所求功為W=\b性dr=kq[-1]|b=kq（1-1）ar2 raab在計算電場中某點的電位時，要考慮將單位正電荷從該點（r=a）移動到無窮遠處時電場力所做的功W，此時有W=j+8kqdr=kq[-1]l+8=性.ar2 raa3.2.2研究液體的壓力我們學習物理學知道在液體下深度為h處的壓強為P=pgh（其中p是液體的密度，g重力加速度）.如果有一面積為S的薄板水平地置于深度為h處,那么薄板乙側(cè)所受的液體壓力計算F=PS，但是在實際問題中，常常碰到計算薄板豎直地放置在液體中時，其一側(cè)所受到的壓力如何如何？由于壓強P是隨液體的深度變化而變化，所以薄板一側(cè)所受到的液體壓力就不能簡單地應用公式F=PS=pghS來計算，可以考慮用定積分的“微元法”去求解.修建一道形狀是等腰梯形的閘門，它的兩條底邊各長6m和4m,高為6m,較長的底邊與水面平齊，要計算閘門一側(cè)所受水的壓力[9].解：選取變量，確定區(qū)間，建立坐標系，找出AB的方程為y=-1x+3,取x微積6分變量,［0,6］為積分區(qū)間.取近似，找出微兀，在x［0,6］上任意取一微小區(qū)間［尤,x+dx］，該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長為y,寬為dx的小矩形水平的放在距液體表面深度為x的位置上，壓力微元為dF=2pgxydx=2x9.8x103x(-1x+3)dx6找出整量,取積分.從而求出閘門一側(cè)所受水的壓力為F=j69.8x103(-1x2+6x)dx=9.8x103［-1x3+3x2］|6總8.23x105N0 3 9 0一般來說，液體壓力的計算公式為：F=jbpgxf(x)dxa其中,p是液體的密度,f(x)為平板曲邊的函數(shù)式.3.2.3研究物體的引力一根長為l的均勻細桿,質(zhì)量為M,在其中垂線上相距細桿為a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，試求細桿對質(zhì)點的萬有引力［10］解：建立直角坐標系，設(shè)細桿位于x軸上的［-1,1］，質(zhì)點位于y軸上的點a,22任取［x,x+dx］u［-l,l］，當Ax很小時，可把這一小段細桿看作一質(zhì)點,其質(zhì)量22為dM=—dx.于是它對質(zhì)點m的引力為lkmdMkmM,dF= = ,—dxr2 a2+x2l由于細桿上各點對質(zhì)點m的引力方向各不相同，因此不能直接對dF進行積分,為此，將dF分解到x軸和y軸兩個方向上，得dF=dF-sin0,dF=-dF-cos0由于質(zhì)點m位于細桿的中垂線上，必使水平合力為0,即一 八F=jidF=0—2又由cos0=a ，得垂直方向合力為?%；a2+x2TOC\o"1-5"\h\z1-kmMa 、一3,F=J2dF=-2j2i(a2+x2)2dx02kmMa1x 11a2\：a2+x202kmM=—— -g4a2+12負號表示合力方向與y軸方向相反.3.2.4研究剛體轉(zhuǎn)動問題半徑為R,質(zhì)量為M,密度均勻的圓盤繞過圓心且與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量[11].我們用微積分的方法來求解，把圓盤分成許多無限薄的圓環(huán),圓盤的密度為p,則半徑為r，寬為dr的薄圓環(huán)的質(zhì)量為：dm=p-2冗rhdr薄圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量為dI=r2dm=2兀phr3dr然后沿半徑積分得I=JR2兀phr3dr=2兀phJRr3dr=—冗phR40 0 2其中，阪R2為圓盤體積，p兀hR2為圓盤質(zhì)量m,故圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為I=1mR2.2此處不能用小結(jié)，換一個詞，物理應用還有引力等盡可能寫的全一些，在查資料。再者，此處都沒有例題來闡明。注意：通過借助微積分法來解決物理學中常見的棘手問題,進而分析了怎樣應用微積分的“數(shù)學微元”思想來解決物理學問題的新思路.微積分在物理學中的應用，體現(xiàn)的不僅僅是運用數(shù)學工具去解決難以解決的物理學問題，更重要的是幫助我們正確的去理解物理概念、規(guī)律，形成物理觀念及物理量中“數(shù)學微分”微積分形式的物理意義,在不同的物理問題中建立物理模型，并且要全面理解掌握微積分及其應用到實際的問題中去.第四章在經(jīng)濟上的應用微積分產(chǎn)生于生產(chǎn)技術(shù)和理論科學，同時又影響著科技的發(fā)展.在經(jīng)濟的領(lǐng)域內(nèi)，將一些經(jīng)濟問題利用相關(guān)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，用數(shù)學的方法對經(jīng)濟問題進行研究和分析，把經(jīng)濟活動中的實際問題利用微積分的方法進行量化，在此基礎(chǔ)上得到的結(jié)果具有科學的量化依據(jù).經(jīng)濟研究商品價格、需求、供給、利潤等范疇，所有這些都以量的形式表現(xiàn)出來.經(jīng)濟現(xiàn)象最復雜，它要用的數(shù)學理論也最高深.因為越是抽象的數(shù)學工具越適于分析實際上十分復雜的事物，在我們的日常生活中，數(shù)學已不再是單純的用作計數(shù)或統(tǒng)計，還常用于對經(jīng)濟活動中的一些復雜現(xiàn)象進行分析.例如：風險利潤、投資決策、等等，利用數(shù)學的知識與方法進行分析，將有助于我們理解這些經(jīng)濟活動，找出其中的規(guī)律，并作出決策.4.1邊際分析在經(jīng)濟分析中的作用經(jīng)濟學中的邊際問題，是指每一個自變量的變動導致因變量變動多少的問題,所以邊際函數(shù)就是對一個經(jīng)濟函數(shù)f(x)的因變量求導，得出f'(X),其中在某一點的值就是該點的邊際值.例1：已知某工廠某種產(chǎn)品的收益R(元)與銷售量p(噸)的函數(shù)關(guān)系是R(p)=200p-0.01p2，求銷售60噸該產(chǎn)品時的邊際收益，并說明其經(jīng)濟含義[12].解：根據(jù)題意得，銷售這種產(chǎn)品〃噸的總收益函數(shù)為R(p)=200-0.02p因而，銷售60噸該產(chǎn)品的邊際收益是R'(60)=200—0.02x60=188(元).其經(jīng)濟學含義是：當該產(chǎn)品的銷售量為60噸時，銷售量再增加一噸(即Ap=1)所增加的總收益188元.這個問題看起來很簡單，但是在實際生活中的應用意義很大.又如：例2：某工廠生產(chǎn)某種機械產(chǎn)品,每月的總成本C(千元)與產(chǎn)量x(件)之間的函數(shù)關(guān)系為C3)=x2-10x+20,若每件產(chǎn)品的銷售價為2萬元，求每月生產(chǎn)6件、9件、15件、24件時的邊際利潤,并說明其經(jīng)濟含義.解：根據(jù)題意得，該廠每月生產(chǎn)x件機械產(chǎn)品的總收入函數(shù)為R(x)=20x因此，該廠生產(chǎn)的x件產(chǎn)品的利潤函數(shù)為：L(x)=R(x)-C(x)=20x-(x2-10x+20)=-x2+30x-20由此可得邊際利潤函數(shù)為L(x)=-2x+30那么每月該廠生產(chǎn)6件、9件、15件、24件時的邊際利潤分別是：L'(6)=-2x6+30=18(千元/件)L'⑼=-2x9+30=12(千元/件)L'(15)=-2x15+30=0(千元/件)L'(24)=-2x24+30=-18(千元/件)這個經(jīng)濟學的含義是：當該廠月產(chǎn)量為6件時，若再增產(chǎn)1件,此時的利潤將會增加18000元；當該廠的月產(chǎn)量為9件時，若再增產(chǎn)1件，利潤將增加12000元,有所降低；當月產(chǎn)量增加到15件時,再增產(chǎn)1件,利潤反而不會增加；當月產(chǎn)量為24件時，若再增產(chǎn)1件，此時的利潤反而會相應的減少18000元.由此我們可以得出結(jié)論:產(chǎn)品的利潤最大，并不是出現(xiàn)在最大量的時候，也就是說多增加產(chǎn)量必定能夠增加利潤，只有合理統(tǒng)籌安排工廠的生產(chǎn)量，這樣才能取得最大的利潤.由此可得結(jié)論：當產(chǎn)品的邊際收益等于產(chǎn)品的邊際成本時，此時就已經(jīng)達到了最大利潤，如果再進行擴大生產(chǎn)了，產(chǎn)品反而會虧本.4.2彈性分析在經(jīng)濟學中，某變量對另一個變量變化的反映程度稱為彈性或彈性系數(shù).在經(jīng)濟工作中有很多種的彈性，研究的問題不同，彈性的種類也不同.如果是價格的變化與需求之間的反映，這個反映我們稱為需求彈性.由于消費需求的不同以及商品自身屬性的差異，同樣的價格變化給不同的商品的需求帶來不同的影響.有些商品反應很靈敏,彈性大，價格的變動會造成很大的銷售變動；有的商品反應較緩慢,彈性小，價格的變動對其沒什么影響.①需求彈性。對于需求函數(shù)Q=f(p),由于價格上漲時，商品的需求函數(shù)Q=f(p)為具有一定單調(diào)性，是一個單調(diào)減函數(shù)，或與小弓異號，所以定義需求對價格的彈性函數(shù)為"p)=-f'(p)?二f(P)當h(p)|>1,表示對于該產(chǎn)品來說，目前市場的需求量越來越大，商品需求量的幅度要比價格的升降幅度更大.當企業(yè)出現(xiàn)這種情況時，企業(yè)如果將價格適當降,，那么商品的需求量將會增加很多，使公司獲得的效益最.當h(p)|=i,表示對于該商品來說，目前市場的需求量并沒有太大變化，商品的需求量的升降幅度與價格的升降幅度相同.當企業(yè)出現(xiàn)這個狀況時表示不管企業(yè)將商品的價格降低或提升，對于企業(yè)來說，公司獲得的效益基本上沒有多大的變化.當h(p)l<i,表示對于該商品來說，目前市場的需求量越來越小，商品的需求

量的升降幅度要比價格的升降幅度小，當企業(yè)出現(xiàn)這種狀況時，企業(yè)應該考慮將價格提升，價格的升高雖然會導致需求量的減少，但需求量的減少幅度要比價格上漲的幅度小，因此企業(yè)還是可以獲得更大效益的.所以在實際的市場競爭當中，企業(yè)的經(jīng)營者就對商品的需求價格彈性了如指掌，正確把握市場方向感，及時調(diào)整商品的價格，只有這樣，企業(yè)才能在激烈的市場競爭中獲得更大的市場份額，使企業(yè)得以更好地發(fā)展[14].下面我們從一個例子來解釋一下.p—例3：設(shè)某種商品的需求函數(shù)為Q=ef（p），求需求的彈性函數(shù);p=3，p=5，p=7的需求彈性.解:p

f(解:3n（3）=5=0.6<1說明當p=3時，價格上漲1%，需求減少0.6%，需求變動的幅度小于價格變動的幅度；n（5）=5=1，5說明當p=5時，價格上漲1%，需求也減少1%,需求變動的幅度與價格變動的幅度是相同的；n（7）=—=1.4>1，5說明當p=7時，價格上漲1%,需求減少1.4%,需求變動的幅度大于價格變動的幅度.②收益彈性收益R是商品的價格p與其銷售量Q的乘積，在任何的價格水平條件下，收

益彈性與需求彈性之和總是等于1.若叩＜1時，商品的價格上漲（或下降）1%,收益增加（或減少）（1-門）％;若叩=1時，價格變動1%，收益不變；若叩〉1時，價格上漲（或下降）1%，收益減少（或增加）（1-門）％.4.3微積分在投資決策中的應用在經(jīng)濟生活中微積分的作用是極其重要的，它能解決許多復雜的經(jīng)濟問題.我們知道，若初始年（t=0）將資金A0一次性存人銀行,年利率為r,則這筆資金以連續(xù)復利方式結(jié)算的t年末價值即為A=er，但如果采用均勻流的存款方式，即貨幣像水流一樣以定常流量源源不斷地流人銀行（類似于“零存整取”），則計算t年末的總價值就可以采用定積分的方法.現(xiàn)用微元法分析如下：:t,t+dt］時段內(nèi)的貨幣流量為adt，于是可得該貨幣流T年末總價值的微元dA-adt-er(t-t)=aerT-e-rtdt從而該貨幣流T年末的總價值即為A=jTdA=aetTjTe-rtdt=aert（-Le-rTlT）=a（erT-1）T0T0 r0據(jù)此，我們還可以求得它的貼現(xiàn)價值為(1)A=a(1-e-T)的本利0rA0=A，e-rT=-(erT-1)e-(1)A=a(1-e-T)的本利0r即該均勻貨幣流T年末的總價值相當于初始年一次性存款所得了解了這一點,可以幫助我們確定投資的回收期.某公司一次性投入2000萬元投資一個項目，并于一年后建成投產(chǎn)，開始取得經(jīng)濟效益,如果不考慮資金的時間價值，投產(chǎn)5年就能收回全部的投資；但如果將資金的時間價值考慮在內(nèi)，情況就不那么簡單了.假設(shè)銀行的年利率r=0.05,并設(shè)x+1年后可以收回資金，則由公式(1)可知,該項目投產(chǎn)x年產(chǎn)出的總效益為：A=—(erx—1)=箱。(e0.05x—1)=8000(e0.05x—1)(萬元)xr 0.05它在x+1年之前(即開始投資時)的價值為：A=Ae-r(x+1)=8000(e0.05x—1)e-0.05(x+1)=8000e-0.05(1—e0.05x)(萬元)—1 x因此，當A=2000萬元時，表明恰好收回投資，即8000e-0.05(1—e0.05x)=2000—1解此方程，得x=201ln―4—R6.098(年)4—e0.05即公司收回全部投資的時間為7.098年.小結(jié)在經(jīng)濟學領(lǐng)域中把經(jīng)濟學現(xiàn)象分析歸納到數(shù)學領(lǐng)域中，進行求解，在經(jīng)濟學領(lǐng)域中具有實際的指導意義.對于企業(yè)經(jīng)營者來說，對經(jīng)濟環(huán)節(jié)進行定量分析是非常有必要的，將微積分作為分析的工具，可以給企業(yè)經(jīng)營者提供客觀、精確的數(shù)據(jù),在分析的演繹和歸納過程中，可以給企業(yè)經(jīng)營者提供新的思路和視角，也是微積分應用性的具體體現(xiàn).文章在前面幾何、物理應用上沒有提及導數(shù)也就是微分應用，考慮一下微積分作為數(shù)學的重要分支，無論是在生活中還是在學習中，都能夠?qū)崿F(xiàn)目標最大化、最優(yōu)化效果.會豐富和發(fā)展人們的生活，進一步將微積分的理論應用于實踐，從而為人類社會的進步作出更大的貢獻.在現(xiàn)實生活中，我們身邊的一切事物都能為數(shù)學研究提供服務，實際上,微積分本身就存在于生活的各項事物中，只有不斷深入