2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出然后再求.【詳解】又故選：B2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可得答案.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故選：C.3．已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角的終邊與單位圓相交來(lái)定義任意角的三角函數(shù)值.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)，令，所以，所以，故選：A.4．哈爾濱地鐵某環(huán)線12月份地鐵票銷售總量與時(shí)間的關(guān)系大致滿足，則地鐵3號(hào)線東南環(huán)線前天平均售出（如前10天的平均售出為）的張數(shù)最少為（

）.A．2019 B．2040 C．2021 D．2022【答案】B【分析】求出，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】地鐵3號(hào)線東南環(huán)線前天平均售出的張數(shù)為,由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以地鐵3號(hào)線東南環(huán)線前天平均售出的張數(shù)最少為張.故選：B5．已知函數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)的范圍代入到對(duì)應(yīng)的函數(shù)求值即可.【詳解】由題意可得，，.故選：D.6．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不必要也不充分條件【答案】A【分析】解出不等式，結(jié)合充分條件不必要條件的概念可得到結(jié)果．【詳解】若，則，若，則，∵，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)圖象的特征，如函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除D,根據(jù)函數(shù)經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn)可排除A,B,進(jìn)而可求解C.【詳解】由于定義域?yàn)?且，故為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除D,當(dāng)時(shí)，，故排除A,當(dāng)時(shí)，，故排除B,故選：C8．計(jì)算（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用同角的商數(shù)關(guān)系、輔助角公式、兩角和的余弦公式及二倍角公式化簡(jiǎn)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?故選：A.二、多選題9．下列說(shuō)法中正確的有（

）A．奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)B．若偶函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則它與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)C．偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱D．圖象過(guò)原點(diǎn)的奇函數(shù)必是單調(diào)函數(shù)【答案】BC【分析】通過(guò)反例可知AD錯(cuò)誤；根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知BC正確.【詳解】對(duì)于A，為奇函數(shù)，但不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若偶函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則其與軸的交點(diǎn)必關(guān)于軸對(duì)稱，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)必為偶數(shù)個(gè)，B正確；對(duì)于C，由偶函數(shù)定義知其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，C正確；對(duì)于D，圖象過(guò)原點(diǎn)且為奇函數(shù)，但其在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．將函數(shù)的圖象向右平移，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上最小值是【答案】BC【分析】由已知變換得，利用整體法結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)逐個(gè)比較判斷即可.【詳解】的圖象向右平移得，則.對(duì)A，由，即，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)；對(duì)B，，則，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，共四個(gè)，B對(duì)；對(duì)C，，為偶函數(shù)，C對(duì)；對(duì)D，，則，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上取得最小值，為，D錯(cuò).故選：BC11．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)遞增，得到；B選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性得到，，，結(jié)合換底公式得到B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)的單調(diào)性得到；D選項(xiàng)，根據(jù)和的單調(diào)性，結(jié)合中間值比較大小.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，又，所以，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，故，，即，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，而，所以，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，而，故，因?yàn)閱握{(diào)遞減，而，故，所以，D正確.故選：ACD12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B．若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則C．若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，則D．若關(guān)于的方程有8個(gè)不等實(shí)根，則【答案】CD【分析】A選項(xiàng)，畫出的圖象，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的圖象，可看出兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，可看出四個(gè)實(shí)根有兩個(gè)根關(guān)于對(duì)稱，另外兩個(gè)根關(guān)于對(duì)稱，從而得到，C正確；D選項(xiàng)，令，則要有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，得到兩根之和，兩根之積，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，求出，結(jié)合，求出.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，畫出的圖象，可以看出關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，取得最小值為1，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的圖象，可看出兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；數(shù)形結(jié)合可得：函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則，B錯(cuò)誤；由上圖可知：若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)其中關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，則，所以，C正確；D選項(xiàng)，令，則要有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，，，因?yàn)椋?，由，解得：，綜上：，若關(guān)于的方程有8個(gè)不等實(shí)根，則，D正確.三、填空題13．已知，則______.【答案】3【分析】利用弦化切即可求出的值.【詳解】由，所以即，解得.故答案為：3.14．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____.【答案】【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等0，分母不為0及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域列出不等式組，求解即可.【詳解】由得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.15．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】依題意可得恒成立，再分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，即可得到不等式，解得即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，即恒成立，當(dāng)時(shí)恒成立；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上可得故答案為：16．已知函數(shù)滿足，對(duì)任意的，都有恒成立，且，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【分析】由題知以函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再根據(jù)討論求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，即所以函數(shù)為奇函數(shù)，不妨設(shè)，因?yàn)閷?duì)任意的，都有恒成立，所以，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以，關(guān)于的不等式的解集為故答案為：四、解答題17．（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則直接求解即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則直接化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）原式；（2）原式.18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程；(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，然后求得的最小正周期.（2）利用整體代入法求得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程.（3）利用整體代入法求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1），所以的最小正周期.（2）令得，即函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為.（3）令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，.19．幾年國(guó)家出臺(tái)的惠民政策越來(lái)越多，政府出資的“舊房改造”工程使得許多老舊校區(qū)舊貌換新顏，從根本上提高了百姓的生活質(zhì)量.如圖，在改造某小區(qū)時(shí)，要在一處公共區(qū)域搭建一間背面靠墻（墻長(zhǎng)7米）的房屋，圖形所示為房屋俯視圖，房屋地面面積為房屋正面的造價(jià)為600元，側(cè)面的造價(jià)為200元，頂部總造價(jià)為4800元，如果墻面高為3m，不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，設(shè)總造價(jià)為元.(1)請(qǐng)將總造價(jià)表示為正面邊長(zhǎng)的函數(shù)，怎樣設(shè)計(jì)房屋邊長(zhǎng)能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？(2)如果所需總費(fèi)用不超過(guò)22800元，求房屋正面邊長(zhǎng)的取值范圍是多少？【答案】(1)，當(dāng)正面墻長(zhǎng)為4m時(shí)造價(jià)最低，最低總造價(jià)為19200元.(2)【分析】（1）寫出函數(shù)后運(yùn)用基本不等式可得結(jié)果.（2）解分式型不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)房屋正面墻長(zhǎng)為，側(cè)面邊長(zhǎng)為，總造價(jià)為元，則，∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)即“”時(shí)上式取等號(hào).答：當(dāng)正面墻長(zhǎng)為4m時(shí)造價(jià)最低，最低總造價(jià)為19200元.（2）∵∴，又∵∴不等式變?yōu)椋?，，∴答：房屋正面邊長(zhǎng)的取值范圍是.20．已知函數(shù)（其中）.(1)解關(guān)于的不等式；(2)若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）分，，三種情況討論，從而可得出答案；（2）在內(nèi)恒成立，即，利用函數(shù)的單調(diào)性求得的最大值即可得解.【詳解】（1）不等式，即，當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)，則，所以不等式的解集為，若，則，所以不等式的解集為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（2）不等式在內(nèi)恒成立，即，有在內(nèi)恒成立，即求在的最大值，令，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，，所以在的最大值為，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．(1)若，求的值；(2)若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再把待求式化為，代入求值；（2）利用單調(diào)性求出，即可求解.【詳解】（1）若，即則.（2）由題意可知，不等式有解，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，即時(shí)取得最大值，且最大值∴.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．已知函數(shù)，其中.(1)設(shè).若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得且，若存在，求的取值范圍；若不存在說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最小值為-4，故得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）考慮，，三種情況，前兩種情況不合