山西省朔州市平朔中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山西省朔州市平朔中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f(x)=2sinωx

(ω>0)在區(qū)間[]上的最小值是-2，則ω的最小值等于（

）A.

B.

C.2

D.3參考答案：B略2.給出下列結(jié)論：①=±2；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③冪函數(shù)圖象一定不過第四象限；④函數(shù)f（x）=ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的圖象過定點(diǎn)（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，則a的取值范圍是（﹣∞，e）．其中正確的序號(hào)是（）A．①② B．③④ C．①④ D．③④⑤參考答案：B【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】由根式的化簡(jiǎn)判斷①，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷②，由冪函數(shù)的性質(zhì)判斷③，由a0=1和指數(shù)函數(shù)的判斷④，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷⑤．【解答】解：：①=|﹣2|=2，①不正確；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[1，5]，②不正確；③由冪函數(shù)知：冪函數(shù)圖象一定不過第四象限，③正確；④令x+1=0得x=﹣1，且y=﹣1，即f（x）=ax+1﹣2的圖象過定點(diǎn)（﹣1，﹣1），④正確；⑤由lna＜1得0＜a＜e，即a的取值范圍是（0，e），⑤不正確，正確的命題是③④，故選：B．3.若成等比數(shù)列，是的等差中項(xiàng)，是的等差中項(xiàng)，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足，若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，，則四邊形OACB的面積的最大值為（）A. B. C.12 D.參考答案：A【分析】由誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)已知的式子，由內(nèi)角的范圍、商的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值求出B，結(jié)合條件判斷出△ABC為等邊三角形，設(shè)∠AOB＝θ，求出θ的范圍，利用三角形的面積公式與余弦定理，表示出得SOACB，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，由θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出平面四邊形OACB面積的最大值．【詳解】∵，，∴，化簡(jiǎn)得，∵為三角形內(nèi)角，，∴，∴由得，，又∵，∴為等邊三角形；設(shè)，則，∴，∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，∴平面四邊形面積的最大值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換中的公式，余弦定理的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形及運(yùn)算能力，屬于中檔題．5.已知偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，且在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）≤

≥

參考答案：B6.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N滿足條件①M(fèi)、N都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．則稱點(diǎn)對(duì)[M，N]為函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（注：點(diǎn)對(duì)[M，N]與[N，M]為同一“友好點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)f（x）=，此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有（）A．0對(duì) B．1對(duì) C．2對(duì) D．3對(duì)參考答案：C【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【專題】新定義．【分析】根據(jù)題意：“友好點(diǎn)對(duì)”，可知，欲求f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”，只須作出函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log3x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)題意：當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＜0，則f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，則函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是y=x2﹣4x（x≥0）由題意知，作出函數(shù)y=x2﹣4x（x≥0）的圖象及函數(shù)f（x）=log3x（x＞0）的圖象如下圖所示由圖可得兩個(gè)函數(shù)圖象共有兩個(gè)交點(diǎn)即f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”有：2個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”的正確理解，合理地利用圖象法解決．7.已知向量，.若，則x的值為（

）A．－2

B．

C．

D．2參考答案：D向量，，因?yàn)?，可得，解得，故選D.

8.在△ABC中，是它的三條邊，若，則△ABC是直角三角形，然而，若，則△ABC是銳角三角形，若，則△ABC是（

）A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．由的值確定參考答案：A略9.兩條異面直線在平面上的投影不可能是

A、兩個(gè)點(diǎn)

B、兩條平行直線

C、一點(diǎn)和一條直線

D、兩條相交直線參考答案：A10.函數(shù)的圖象是下列圖象中的(

)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該幾何體的體積等于

.參考答案：12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.參考答案：(－∞,－1)

13.若函數(shù)（>0且≠1）的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________.參考答案：或14.在△ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，，若△ABC有兩解，則x的取值范圍是__________．參考答案：【分析】利用正弦定理得到，再根據(jù)有兩解得到，計(jì)算得到答案.【詳解】由正弦定理得：若△ABC有兩解：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，△ABC有兩解，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15.數(shù)列中,,且(,),則這個(gè)數(shù)列的______________.參考答案：略16.已知=（4，2），則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為．參考答案：或．【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】設(shè)出與垂直的單位向量的坐標(biāo)，由題意列方程組，求解后即可得到答案．【解答】解：設(shè)與垂直的單位向量．則，解得或．故答案為或．17.奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則__________。參考答案：在區(qū)間上也為遞增函數(shù)，即

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.因發(fā)生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一魚塘中.為了治污,根據(jù)環(huán)保部門的建議,現(xiàn)決定在魚塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑.已知每投放,且個(gè)單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時(shí)間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.若多次投放,則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時(shí),它才能起到有效治污的作用.（Ⅰ）若一次投放4個(gè)單位的藥劑,則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天?（Ⅱ）若第一次投放2個(gè)單位的藥劑,6天后再投放個(gè)單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):取1.4).參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)?所以則當(dāng)時(shí),由,解得,所以此時(shí)當(dāng)時(shí),由,解得,所以此時(shí)綜合,得,若一次投放4個(gè)單位的制劑,則有效治污時(shí)間可達(dá)8天（Ⅱ）當(dāng)時(shí),==,,則，而,所以,用定義證明出：故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最小值為令,解得,所以的最小值為略19.如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)（I）判定四點(diǎn)是否在同一平面上？若在同一平面上，請(qǐng)加以證明，若不在同一平面上，請(qǐng)說明理由。（II）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，沿平面截去三棱錐，（i）求余下幾何體的體積；（ii）求余下幾何體的表面積.參考答案：解：（I）答：D，，Ｅ，Ｆ四點(diǎn)在同一個(gè)平面上....................................................(1分）證明：連結(jié)，由分別為棱的中點(diǎn)，所以,又由正方體知AB1ⅡDC1,由平行公理得EFⅡDC1,因此，D，，Ｅ，Ｆ四點(diǎn)在同一個(gè)平面上.........(4分）（II）（i）由三棱錐的體積.....................................(6分）所以，余下幾何體的體積V.正方體－=...................................................(8分）(ii)依題意可得在Δ中，過作垂直于EF，垂足為H，則，所以Δ的面積.........................(10分）余下幾何體的表面積S=.........................................(12分）略20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；（3）試討論的單調(diào)性.參考答案：解：（1）依題意得，解得﹣1＜x＜1，且x≠0，即定義域?yàn)?

4分（2）函數(shù)f(x)是奇函數(shù).證明如下：易知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又對(duì)定義域內(nèi)的任意有即，故函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．

8分（3）由（2）知要判斷其單調(diào)性只需要確定在上的單調(diào)性即可.設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且.∴=.∵0＜x＜x＜1，∴，由得，，即.∴在上為減函數(shù);同理，可證在上也為減函數(shù).12分21.如圖，有一塊矩形草地，要在這塊草地上開辟一個(gè)內(nèi)接四邊形建體育設(shè)施（圖中陰影部分），使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知AB＝a（a>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，設(shè)AE＝x，陰影部分面積為y.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，陰影部分面積最大？最大值是多少？參考答案：∴y＝－2x2＋(a＋2)x，函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

（2）對(duì)稱軸為x=，又因?yàn)閍>2,所以當(dāng)1＜，即2＜a<6時(shí)，則x＝時(shí)，y取最大值。當(dāng)≥2，即a≥6時(shí)，y＝－2x2＋(a＋2)x，在0，2]上是增函數(shù)，則x＝2時(shí)，y取最大值2a－4.

綜上所述：當(dāng)2＜a<6時(shí)，x＝時(shí)，陰影部分面積最大值是；當(dāng)a≥6時(shí)，x＝2時(shí)，陰影部分面積最大值是2a－4.略22.已知數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Tn，若成立，求n的最小值.參考答案：（1）；（2）10試題分析：（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列定義及其通項(xiàng)公式得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)裂項(xiàng)相消法求，再解不等式得，即得的最小值.試題解析：（1