山西省運(yùn)城市博愛中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

山西省運(yùn)城市博愛中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則＝(

)A.0 B.－4 C.－2 D.2參考答案：A【分析】由題意首先求得的值，然后利用導(dǎo)函數(shù)的解析式可得的值.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，令可得：，解得：，即，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2.若雙曲線的頂點(diǎn)為橢圓長軸的端點(diǎn)，且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1，則雙曲線的方程是A.

B.

C.

D.參考答案：D3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(

) A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法．專題：常規(guī)題型．分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法寫出n=2時(shí)左邊的表達(dá)式即可．解答： 解：用數(shù)學(xué)歸納法證明（n∈N+，n＞1）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式為：；故選B．點(diǎn)評：在數(shù)學(xué)歸納法中，第一步是論證n=1時(shí)結(jié)論是否成立，此時(shí)一定要分析不等式左邊的項(xiàng)，不能多寫也不能少寫，否則會(huì)引起答案的錯(cuò)誤．4.三角形ABC周長等于20，面積等于，則為

（

）A．5

B．7

C．6

D．8

參考答案：B5.直線x＋y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長度等于

()A．2B．2

C.

D．1參考答案：B略6.已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均為正數(shù)，則+的最小值是（）A．24 B．8 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；基本不等式．【分析】根據(jù)向量共線定理列出方程，得出2x+3y=3，再求的最小值即可．【解答】解：∵∥，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化簡得2x+3y=3，∴=（+）×（2x+3y）=（6+++6）≥（12+2）=8，當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y=時(shí)，等號(hào)成立；∴的最小值是8．故選：B．7.已知A(1,－2,3)，B(4,－4,－3)，則向量在向量＝(6,2,3)的方向上的投影是A．－

B．－

C．

D．參考答案：B8.下列關(guān)于直線與平面的命題中，正確的是（

）．若且，則

．若且，則C．若且，則

D．且，則

參考答案：B略9.已知,,，則(

)A. B.C. D.參考答案：D【分析】運(yùn)用中間量比較，運(yùn)用中間量比較，即可得到結(jié)果.【詳解】，又，即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．10.已知復(fù)數(shù)z1＝3＋i,

z2＝2－i,則z1z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(▲)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將,,由大到小排列為__________.

參考答案：＞＞.本題考查指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的綜合運(yùn)用.注意到＜0,而＞0,＞0;又因?yàn)?,且y=在［0,+∞）上是增函數(shù),所以＜.綜合得＞＞.12.下面給出三個(gè)類比推理命題（其中為有理數(shù)集，為實(shí)數(shù)集，為復(fù)數(shù)集）；

①類比推出

②類比推出,若③類比推出其中類比結(jié)論正確的序號(hào)是_____________（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）參考答案：

①②13.數(shù)列的前項(xiàng)的和，則

．參考答案：14.動(dòng)圓x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0的圓心的軌跡方程是

．參考答案：x﹣2y﹣1=0（x≠1）略15.楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開式的系數(shù)規(guī)律.現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：.記作數(shù)列{an}，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則___.參考答案：2059【分析】將數(shù)列排列成楊輝三角數(shù)陣，使得每行的項(xiàng)數(shù)與行的相等，并計(jì)算出每行的各項(xiàng)之和，然后確定數(shù)列第所處的行數(shù)與項(xiàng)的序數(shù)，然后利用規(guī)律將這些項(xiàng)全部相加可得答案?！驹斀狻繉?shù)列中的項(xiàng)從上到下，從左到右排成楊輝三角形數(shù)陣，如下所示：使得每行的序數(shù)與該行的項(xiàng)數(shù)相等，則第行最后項(xiàng)在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為，設(shè)位于第，則，所以，，且第行最后一項(xiàng)在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為，所以，位于楊輝三角數(shù)陣的第行第個(gè)，第一行各項(xiàng)和為，第二行各項(xiàng)和為，第三行各項(xiàng)的和為，依此類推，第行各項(xiàng)的和為，因此，

，故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角，解決這類問題關(guān)鍵在于確定所找的項(xiàng)所在楊輝三角所處的位置，并利用規(guī)律來解題，考查推理論證能力與計(jì)算能力，屬于難題。

16.已知圓O：x2+y2=r2（r＞0）與直線3x﹣4y+20=0相切，則r=

．參考答案：4【考點(diǎn)】圓的切線方程．【分析】由圓的方程求出圓心坐標(biāo)，直接用圓心到直線的距離等于半徑求得答案．【解答】解：由x2+y2=r2，可知圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為r，∵圓O：x2+y2=r2（r＞0）與直線3x﹣4y+20=0相切，由圓心到直線的距離d==4，可得圓的半徑為4．故答案為：4．17.設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面上所對應(yīng)點(diǎn)在直線上，則=

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的極大值和極小值（2）直線與函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，求的范圍參考答案：解：（1）

0-0

+

極大

極小

,（2）略19.(本題滿分12分)已知函數(shù). （1）若函數(shù)有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)（記為和）時(shí)，求證參考答案：（Ⅰ）由已知得，且有

在方程中，①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)無極值；②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：，且∵，∴20.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x2．（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x））在區(qū)間（0，3）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）﹣mx的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的導(dǎo)函數(shù)．若正常數(shù)α，β滿足條件α+β=1，β≥α．試比較h'（αx1+βx2）與0的關(guān)系，并給出理由．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=f（x）在[，2]上的最大值；（2）先求得g′（x）=﹣2x+a，因?yàn)間（x）在區(qū)間（0，3）上單調(diào)遞增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，求得右邊函數(shù)的范圍，由此可得a的范圍；（3）h′（αx1+βx2）＜0．理由：由題意可得，f（x）﹣mx=0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，化簡可得m=﹣（x1+x2），可得h'（αx1+βx2）=﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）=﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），由條件知（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0，再用分析法證明h′（αx1+βx2）＜0．【解答】解：（1）∵f（x）=2lnx﹣x2，可得，函數(shù)f（x）在[，1]是增函數(shù)，在[1，2]是減函數(shù)，所以f（1）取得最大值，且為﹣1；

（2）因?yàn)間（x）=alnx﹣x2+ax，所以g′（x）=﹣2x+a，因?yàn)間（x）在區(qū)間（0，3）上單調(diào)遞增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，即有a≥在（0，3）的最大值，由y=的導(dǎo)數(shù)為y′=＞0，則函數(shù)y=在（0，3）遞增，可得y＜，則a≥；（3）由題意可得，h′（x）=﹣2x﹣m，又f（x）﹣mx=0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，∴2lnx1﹣x12﹣mx1=0，2lnx2﹣x22﹣mx2=0，兩式相減，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣x22）=m（x1﹣x2），∴m=﹣（x1+x2），于是h'（αx1+βx2）=﹣2（αx1+βx2）﹣m=﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）=﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0．可得h′（αx1+βx2）＜0．要證：h′（αx1+βx2）＜0，只需證：﹣＜0，只需證：﹣ln＞0．（*）

令=t∈（0，1），∴（*）化為+lnt＜0，只證u（t）=+lnt即可．∵u′（t）=+=﹣=，又∵≥1，0＜t＜1，∴t﹣1＜0，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，故有u（t）＜u（1）=0，∴+lnt＜0，即﹣ln＞0．∴h′（αx1+βx2）＜0．21.（13分）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為．（1）求及；（2）令(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考答案：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以有，解得，所以?=..。。。。。。。6分（2）由（1）知，所以bn===，所以==，即數(shù)列的前n項(xiàng)和=.。。。。。。。。。。。13分22.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立坐標(biāo)系，兩個(gè)坐標(biāo)系取相同的單位長度．已知直線l的參數(shù)方程為，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，時(shí)，求的值．參考答案：（1）y2＝4x；（2）45°或135°.【分析】（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cosθ，兩邊同乘ρ結(jié)合，即可；（2）由直線的參數(shù)方程觀察得直線過定點(diǎn)(1,0)，用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程聯(lián)立曲線C方程，用弦長公式求出弦長，列方程求出直線斜率，然后解出.【詳解】（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cosθ，∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∵ρsinθ＝y(tǒng)，ρcosθ＝x，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x．（2）∵直線l的參數(shù)方程為參數(shù)，0＜a＜π），∴tanα＝，直線過（1，