非機(jī)理模型在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

關(guān)于非機(jī)理模型在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日

當(dāng)人們對研究對象的內(nèi)在特性和各因素間的關(guān)系有比較充分的認(rèn)識時，一般用機(jī)理分析方法建立數(shù)學(xué)模型，但如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識程度的限制，無法分析實際對象的內(nèi)在的因果關(guān)系、建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，那么通常的辦法是搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析去建立模型。本部分將介紹概率統(tǒng)計的基本應(yīng)用描述與分析，以及用途最為廣泛的兩類數(shù)理統(tǒng)計隨機(jī)模型——統(tǒng)計回歸模型和馬氏鏈模型。概率與統(tǒng)計思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日例1.報童的訣竅問題報童售報：a(零售價)

>b(購進(jìn)價)

>c(退回價)售出一份賺a-b；退回一份賠b-c

每天購進(jìn)多少份可使收入最大？分析購進(jìn)太多賣不完退回賠錢購進(jìn)太少不夠銷售賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量.存在一個合適的購進(jìn)量一、概率論在建模中的應(yīng)用第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的等于每天收入的期望第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日建模

設(shè)每天購進(jìn)n份，日平均收入為G(n)求n使G(n)最大

已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準(zhǔn)備第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日求解將r視為連續(xù)變量第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日結(jié)果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺的錢

b-c~退回一份賠的錢Orp第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述與分析

數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是以概率論為基礎(chǔ)，從實際觀測資料出發(fā)，研究如何合理的搜集資料（數(shù)據(jù)）來對隨機(jī)變量的分布函數(shù)、數(shù)字特征等進(jìn)行估計、分析和推斷。更具體地說：數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是研究從一定總體中隨機(jī)抽出一部分（稱為樣本）的某些性質(zhì)，以此對所研究總體的性質(zhì)作出推測性的判斷。具體包括：參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析、回歸分析及馬爾可夫鏈等。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日

一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差。進(jìn)行成批生產(chǎn)時，標(biāo)定值表示一批零件參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表期望，在生產(chǎn)部門無特別要求時，容差通常規(guī)定為均方差的3倍。例2.零件的參數(shù)設(shè)計沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院背景介紹第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日

某粒子分離器某參數(shù)由7個零件的參數(shù)決定，經(jīng)驗公式為y的目標(biāo)值為y0=1.5。當(dāng)y偏離y0±0.1時，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失1000元；當(dāng)y偏離y0±0.3時，產(chǎn)品為廢品，質(zhì)量損失9000元。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日表1零件參數(shù)標(biāo)定值容許范圍及其成本標(biāo)準(zhǔn)值容許范圍C等B等A等x1[0.075,0.125]/25/x2[0.225,0.375]2050/x3[0.075,0.125]2050200X4[0.075,0.125]50100500X5[1.125,1.875]50//X6[12,20]1025100x7[0.5625,0.9375]/25100

零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定容許變化范圍，容差分A、

B、C三個等級，用與標(biāo)定值的相對值表示，A等為±1%，B等為±5%，C等為±10%。7個零件參數(shù)標(biāo)定的容許范圍及不同容差等級的成本見表1（符號“/”表示無此等級的零件）。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日

考慮當(dāng)成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1000個時，如原設(shè)計7個零件參數(shù)的標(biāo)定值：x1=0.1，x2=0.3，x3=0.1，x4=0.1，x5=1.5，x6=16，x7=0.75，容差均取便宜的等級。

請綜合考慮y偏離y0的損失和零件成本，重新設(shè)計零件參數(shù)（包括標(biāo)定值和容差），并與原設(shè)計比較，總費用降低多少？沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日

目標(biāo)函數(shù)為總費用，它由兩部分組成：一是零件的成本；二是由于產(chǎn)品的參數(shù)y偏離目標(biāo)值y0造成的損失。因此，原問題可歸結(jié)為在一定約束條件下的非線性規(guī)劃問題。1、問題的分析

由于零件在加工制造過程中存在多種隨機(jī)因素，如零件安裝的誤差，刀具的磨損，測量的誤差等等，因此，由中心極限定理知零件的參數(shù)可以看成是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。設(shè)七個零件的加工是獨立的，則七個零件的參數(shù)可視作相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量，即設(shè)2、關(guān)于零件參數(shù)的假設(shè)沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日3、模型的初步建立

由于產(chǎn)品的參數(shù)y為零件參數(shù)的函數(shù)，也是隨機(jī)變量，記l(y)為生產(chǎn)一件產(chǎn)品造成的損失，則l(y)是隨機(jī)函數(shù)，且可表達(dá)為：(1)

其中生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均損失費用(2)

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日4、模型中變量的分布及參數(shù)的求解（1）首先估計y的分布

需要解決下面兩個問題：用什么分布描述y？估計出分布后，如何計算相應(yīng)的參數(shù)？

可采用模擬的辦法產(chǎn)生一批X=(X1,X2,…X7)的樣本，這樣就得到了y的模擬樣本，由此可以對y的分布進(jìn)行統(tǒng)計分析。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日

這里采用MATLAB軟件編程進(jìn)行試驗，然后使用histfit(y)指令根據(jù)模擬y的樣本畫出的直方圖及其正態(tài)密度的擬合。

用上面的程序計算的結(jié)果，看來本問題將y視為正態(tài)分布是合理的。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日（2）對所提出的y為正態(tài)分布進(jìn)行假設(shè)檢驗及參數(shù)的相應(yīng)估計擬合檢驗法來檢驗y是否服從正態(tài)分布方法：皮爾遜N(μ,σ2)，這里μ和σ2可以由y的樣本進(jìn)行矩估計或極大似然估計，

對均值得檢驗可直接調(diào)用ztest、ttest指令來完成，其調(diào)用格式如下：[h,p,ci]=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)：均方差sigma

為已知。[h,p,ci]=ttest(x,mu,alpha,tail)：均方差sigma為未知。沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日

從結(jié)果看：p=0.8387，并不是小概率事件，且h=0，因此所提原假設(shè)（即H0:μ=μ0）成立，結(jié)果表明：Y仍為正態(tài)分布，即：其概率密度函數(shù)為：

因此，大批生產(chǎn)時平均每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失費用為：(3)

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日5、模型解析表達(dá)式最終的確定產(chǎn)品總費用＝零件總成本＋質(zhì)量損失費用。生產(chǎn)一批1000件產(chǎn)品總費用的目標(biāo)函數(shù)可寫成

設(shè)cij為第i個參數(shù)取第j個容差等級時所需成本，第1，2，3容差等級分別表示A，B，C等級。

設(shè)dij為0-1變量，如果第i個參數(shù)取第j個容差等級則取值為1，否則取值為0。(4)

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日最終數(shù)學(xué)模型如下：(5)

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日回歸模型是用統(tǒng)計分析方法建立的最常用的一類模型.通過對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.

不涉及回歸分析的數(shù)學(xué)原理和方法.

通過實例討論如何選擇不同類型的模型.

對軟件得到的結(jié)果進(jìn)行分析，對模型進(jìn)行改進(jìn).由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜及人們認(rèn)識程度的限制,無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.三、統(tǒng)計回歸模型沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日例3.香皂的銷售量

問題建立香皂銷售量與價格、廣告投入之間的模型;預(yù)測在不同價格和廣告費用下的香皂銷售量.收集了30個銷售周期本公司香皂銷售量、價格、廣告費用，及同期其他廠家同類牙膏的平均售價.9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬塊)價格差（元）廣告費用(百萬元)其他廠家價格(元)本公司價格(元)銷售周期沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日基本模型y~公司香皂銷售量x1~其他廠家與本公司價格差x2~公司廣告費用x2yx1yx1,x2~解釋變量(回歸變量,自變量)y~被解釋變量（因變量）0,1

,2,3~回歸系數(shù)~隨機(jī)誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機(jī)變量）沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日MATLAB統(tǒng)計工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

輸入

x=~n4數(shù)據(jù)矩陣,第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~的估計值bint~b的置信區(qū)間r~殘差向量y-xb

rint~r的置信區(qū)間Stats~檢驗統(tǒng)計量

R2,F,p,s2

y~n維數(shù)據(jù)向量輸出

由數(shù)據(jù)y,x1,x2估計參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04900123沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04900123F遠(yuǎn)超過F檢驗的臨界值p遠(yuǎn)小于=0.05

2的置信區(qū)間包含零點(右端點距零點很近)x2對因變量y的影響不太顯著x22項顯著可將x2保留在模型中模型從整體上看成立沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日銷售量預(yù)測價格差x1=其他廠家價格x3-本公司價格x4估計x3調(diào)整x4控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=6.5百萬元銷售量預(yù)測區(qū)間為[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作庫存管理的目標(biāo)值下限用來把握公司的現(xiàn)金流若估計x3=3.9，設(shè)定x4=3.7，則可以95%的把握知道銷售額在7.83203.729（百萬元）以上控制x1通過x1,x2預(yù)測y(百萬支)沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日模型改進(jìn)x1和x2對y的影響?yīng)毩?/p>

參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04260123參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p<0.0001s2=0.049030124x1和x2對y的影響有交互作用沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日兩模型銷售量預(yù)測比較預(yù)測區(qū)間[7.8230，8.7636]預(yù)測區(qū)間[7.8953，8.7592]控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=6.5百萬元預(yù)測區(qū)間長度更短略有增加預(yù)測值預(yù)測值沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2兩模型與x1,x2關(guān)系的比較沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日交互作用影響的討論價格差x1=0.1價格差x1=0.3加大廣告投入使銷售量增加（x2大于6百萬元）價格差較小時增加的速率更大x2價格優(yōu)勢會使銷售量增加價格差較小時更需要靠廣告來吸引顧客的眼球沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日完全二次多項式模型MATLAB中有命令rstool直接求解從輸出Export可得鼠標(biāo)移動十字線(或下方窗口輸入)可改變x1,x2,左邊窗口顯示預(yù)測值及預(yù)測區(qū)間沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日香皂的銷售量

建立統(tǒng)計回歸模型的基本步驟

根據(jù)已知數(shù)據(jù)從常識和經(jīng)驗分析,輔之以作圖,

決定回歸變量及函數(shù)形式(先取盡量簡單的形式).

用軟件(如MATLAB統(tǒng)計工具箱)求解.

對結(jié)果作統(tǒng)計分析:R2,F,p,s2是對模型整體評價,

回歸系數(shù)置信區(qū)間是否含零點檢驗其影響的顯著性.

模型改進(jìn),如增添二次項、交互項等.

對因變量進(jìn)行預(yù)測.沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日馬氏鏈的基本方程基本方程轉(zhuǎn)移概率矩陣（非負(fù)，行和為1）~狀態(tài)概率向量四、馬氏鏈模型沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日馬氏鏈的兩個重要類型1.正則鏈

~從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)另外任一狀態(tài)(如例1).w~穩(wěn)態(tài)概率正則鏈正則鏈滿足滿足沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日馬氏鏈的兩個重要類型2.吸收鏈

~存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會離開的狀態(tài)i,pii=1）,且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)吸收狀態(tài)(如例2).有r個吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式R有非零元素yi~從第i個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù).沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日例5.鋼琴銷售的存貯策略

鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資金.

一家商店根據(jù)經(jīng)驗估計，平均每周的鋼琴需求為1架.存貯策略：每周末檢查庫存量，僅當(dāng)庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購.

估計在這種策略下失去銷售機(jī)會的可能性有多大?

以及每周的平均銷售量是多少?背景與問題沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日問題分析

顧客的到來相互獨立，需求量近似服從泊松分布，其參數(shù)由需求均值為每周1架確定，由此計算需求概率.存貯策略是周末庫存量為零時訂購3架周末的庫存量可能是0,1,2,3，周初的庫存量可能是1,2,3.用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫存狀態(tài)的變化.動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機(jī)會（需求超過庫存）的概率不同.

可按穩(wěn)態(tài)情況（時間充分長以后）計算失去銷售機(jī)會的概率和每周的平均銷售量.

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日模型假設(shè)鋼琴每周需求量服從泊松分布，平均每周1架.存貯策略：當(dāng)周末庫存量為零時，訂購3架，周初到貨；否則，不訂購.以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性.在穩(wěn)態(tài)情況下計算失去銷售機(jī)會的概率和每周的平均銷售量,作為該存貯策略的評價指標(biāo).沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日模型建立

Dn~第n周需求量，均值為1的泊松分布

Sn~第n周初庫存量(狀態(tài)變量)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律

Dn

0123>3P0.3680.3680.184