傅里葉變換基礎(chǔ)知識(shí)

傅里葉變換基礎(chǔ)知識(shí)1.傅里葉級(jí)數(shù)展開最簡(jiǎn)單有最常用的信號(hào)是諧波信號(hào)，一般周期信號(hào)利用傅里葉級(jí)數(shù)展開成多個(gè)乃至無(wú)窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)，即一般周期信號(hào)是由多個(gè)乃至無(wú)窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)線性疊加而成。周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)在有限區(qū)間上，任何周期信號(hào)x(t)只要滿足狄利克雷(dirichlet)條件，都可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)。狄利克雷(dirichlet)條件狄利克雷(dirichlet)條件為：信號(hào)x(t)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)(當(dāng)t從左或右趨向于這個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有左極限值和右極限值)；信號(hào)x(t)在一周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值；信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)是絕對(duì)可積分的，即iWx(t)dt應(yīng)為有限值。-T/2間斷點(diǎn)在非連續(xù)函數(shù)y=f(x)中某點(diǎn)處x0處有中斷現(xiàn)象，那么，x就稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。00第一類間斷點(diǎn)(有限型間斷點(diǎn))：可去間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在且相等，但不等于該點(diǎn)函數(shù)值或函數(shù)在該點(diǎn)無(wú)定義(x令分母為零時(shí)等情況)；跳躍間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在，但不相等(y=Ixl/x在點(diǎn)x=0處等0情況)。第二類間斷點(diǎn)：除第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)。傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式為x(t)=a+藝(acosn?t+bsinn?t)0 n 0n 0式中：a為信號(hào)的常值分量；a為信號(hào)的勺余弦信號(hào)幅值；b為信號(hào)的正弦信號(hào)幅值。0na、a、b分別表示為：0nna= h2x(t)dt0T—T/2002{a=J?/2x(t)cosn?tdtnT—T/2 000b=JTFx(t)sinn?tdtT—T/2 000式中：T為信號(hào)的周期；?為信號(hào)的基頻，即角頻率，?=2冗/T，n=1,2,3...。合并同頻項(xiàng)也可表示為x(t)=a+Acos(n?t+0)0 n 0nn=1式中：信號(hào)的幅值A(chǔ)和初相位0分別為A=A=n\a2+b2n n0=arctan(—b/a)x(t)=a+0n=1藝x(t)=a+0n=1藝Cejno0tnn=1n=1n=0n=1n=-1x(t)=*Cejno) n=0,±1,±2,…nn=-<x>這就是周期信號(hào)的傅里葉復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式。頻譜的相關(guān)概念（1）信號(hào)的頻譜（三角頻譜）：構(gòu)成信號(hào)的各頻率分量的集合，表征信號(hào)的幅值和相位隨頻率的變化關(guān)系，即信號(hào)的結(jié)構(gòu)，是A （或A-f）和9 （或9-f）的統(tǒng)稱；nnnn（2） 信號(hào)的幅頻譜：周期信號(hào)幅值A(chǔ)隨o（或f）的變化關(guān)系，用A-o（或A-f）n n n表示；（3） 信號(hào)的相頻譜：周期信號(hào)相位9隨o（或f）的變化關(guān)系，用9-o（或9-f）n n n表示；（4） 信號(hào)的頻譜分析：對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，獲得頻譜的過(guò)程；（5） 基頻：o或f,各頻率成分都是o或f的整數(shù)倍；0000（6） 基波：o或f對(duì)應(yīng)的信號(hào)；00（7）n次諧波： no（n=2,3,...）或nf（n=2,3,...）的倍頻成分Acos（not+申）或0 0 n0nAcos（2兀nft+9）；n 0n周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開根據(jù)歐拉公式e土jo=cosot土jsinot(j=*-1),coso根據(jù)歐拉公式e土jo=cosot土jsinot(j=*-1),sinot=Qj(e-jot一ejot)因此，傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式x(t)=a+為(acosnot+bsinnot)可改寫成0 n0n0因此，n=1a+jb-n ejno0t+n e—jno0t-020C=a00C=—(a-jb)

n2nn1C=—(a+jb)

-n2nn則x(t)=C+為Cejno0t+為Ce-jno0t=工Cejno0t+藝Cejno0t+

n -n n n=—fT0/2x(t)cosnotdtT0/2x(t)e-jno0tdt0-T0/2To嚴(yán) T0/2x(t)e-jno0tdt0-T0/2=—fT0/2x(t)sinnotdt ” 2 ” ” TT-T0/2 0在一般情況下C是復(fù)數(shù)，可以寫成C在一般情況下C是復(fù)數(shù)，可以寫成C=C+jC=Clewn式中nnRnI|CI=丫C2+C2n nRnlC

申=arctannr=丄=丄(a+jb)可表示為2nn由C=C+jC=|clej^n，C=丄(a—jb)，CnnRnIn n2nn -n

C=—(.a—jb)=C|-ej^nn2n n nC=—(a+jb)=|C|?e-島—n2n n n則x(t)=為CejnQt n=0,±1,±2,… 變?yōu)閚n=—<x>x(t)=C+為Cej叫+另Ce-j叫=C+為「|C血叫+咒)+C|ej(-n?0rn)0 n —n 0 L0 0 一n=1 n=1 n=1由此可見，周期信號(hào)用復(fù)指數(shù)形式展開，相當(dāng)于在復(fù)平面內(nèi)用一系列旋轉(zhuǎn)矢量C\eC\ej(叫±Q”)來(lái)描述,0Im傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開關(guān)系由C=1(a—jb),C=C+jC=\C|e<可知：n2n n n nR nl nC=a/2nRnC=—b/2 nl n綜合A=\；a2+b2,C|=*C2+C2表示為TOC\o"1-5"\h\zn nn n nR nl|C|=*C2+C2=\；(a/2)2+(—b/2)2=A/2n nR nl n n n即雙邊頻譜的幅值C|是單邊頻譜幅值A(chǔ)的一半。n nC由申=arctannr，C=a/2，C=—b/2可知：申=arctan(b/申=arctan(b/a三角函數(shù)展開表達(dá)式復(fù)指數(shù)展開表達(dá)式常值分量a=C復(fù)指數(shù)常量C=a余弦分量幅值a=2C復(fù)數(shù)C的實(shí)部C=a/2正弦分量幅值n nRb=—2Cn復(fù)數(shù)C的虛部nR nC=—b/2振幅n復(fù)數(shù)C的模"=An/2相位0=arctan(-b/a)相位申=arctan(—b/a)nR2傅里葉變換出準(zhǔn)周期函數(shù)之外的非周期信號(hào)稱為一般周期信號(hào)，也就是瞬態(tài)信號(hào)。瞬態(tài)信號(hào)具有瞬變性，例如錘子敲擊力的變化、承載纜繩斷裂的應(yīng)力變化、熱電偶插入加熱的液體中溫度的變化過(guò)程等信號(hào)均屬于瞬態(tài)信號(hào)。瞬態(tài)信號(hào)是非周期信號(hào)，可以看作一個(gè)周期的周期信號(hào)，即周期TTa。因此，可以把瞬態(tài)信號(hào)看作周期趨于無(wú)窮大的周期信號(hào)。

傅里葉變換設(shè)有一周期信號(hào)x(t),則其在［-T/2,T/2］區(qū)間內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式為x(t)=XCej叫,n式中n=-g式中C= J%2x(t)e-j叫dtnT-TO/2當(dāng)TTg時(shí)，積分區(qū)間［-T/2,T/2］-t［—g,g］；譜線間隔Ae=g=2兀/T_tdco，O O O離散頻率not連續(xù)變量o,所以C=丄Jto/2x(t)e-jnOotdt變?yōu)镺 nT-TO/2 OOOlimC-T=Jgx(t)e-jodt70Tgn0-g該式積分后將是o的函數(shù)，且一般為復(fù)數(shù)，用X(jo)或X(o)表示為X(jo)=Jgx(t)e-jotdt式中：X(jo)稱為信號(hào)x(t)的傅里葉積分變換或簡(jiǎn)稱傅里葉變換(FouierTransform，F(xiàn)T),是把非周期信號(hào)看成周期趨于無(wú)窮大的周期信號(hào)來(lái)處理的，顯然X(jo)=limC-T=lim—n-T0-gn0fTOf即X(jo)為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度”的含義，故把X(jo)稱為瞬態(tài)信號(hào)的“頻譜密度函數(shù)”，或簡(jiǎn)稱“頻譜函數(shù)”。z^?由X(jo)=limC-T=limCn得fTOfTOX(j?X(j?)C=limn TTTg 丄OO=limX(j?)?o-GOTg 2兀代入x(t)=XCejnGOt得nn=-gx(t)=藝limX(jo)―oejnoot2兀 0o—gn=-g 0當(dāng)t—g時(shí)，o=2兀/T=do，離散頻率not連續(xù)變量o，求和Xt積分。則0000x(t)= JgX(jo》jotdo2兀-gx(t)稱為X(jo)的傅里葉逆變換或反變換(InverseFourierTransform，IFT)。(t\-jwdt和x X(j?“d?構(gòu)成了傅立葉變換對(duì)2兀-gX(j(t\-jwdt和x X(j?“d?構(gòu)成了傅立葉變換對(duì)2兀-g-gFTx(t)oX(加)IFT一般地，使用FT一般地，使用o或o表示信號(hào)之間的傅立葉變換及其逆變換之間的關(guān)系。由于IFTG=2兀f,所以X(jG)=Jgx(tL-jcotdt和x X(jG^jetdG可變?yōu)椤猤2兀-g—gX(jf)= x(t)e-j2兀ftdtx(t)=JsX(jf)?ej2kfdf

這就避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)1/2k的常數(shù)因子，使公式形式簡(jiǎn)化。由式X(jf)=Jgx(t)e-j2Kftdt可知，非周期信號(hào)能夠用傅里葉函數(shù)來(lái)表示,。而周期信號(hào)-g可由傅里葉級(jí)數(shù)x(t)=￡CejnO0來(lái)表示。X(jf)=Jgx(t)e-j2Kftdt是一般復(fù)數(shù)形式，可表示n -gn=-g為X(jf)=ReX(jf)+jImX(jf)=|x(jf)|式中：ReX(jf)為X(jf)的實(shí)部；ImX(jf)為X(jf)的虛部；|x(jf)|為信號(hào)x(t)的連續(xù)幅頻譜；申(jf)為信號(hào)x(t)的連續(xù)相頻譜。儀(jf)|= ReX(jf)]2+[ImX(jf)]2申(f)=arctan[ImX(jf)/ReX(jf)]比較周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜可知：首先，非周期信號(hào)幅值|x(jf)|隨f變化時(shí)連續(xù)的，即為連續(xù)頻譜，而周期信號(hào)的幅值C丨隨f變化時(shí)離散的，即為離散頻譜。其次，CIn n的量綱和信號(hào)幅值的量綱一致，而|x(jf)|的量綱相當(dāng)于C|/f，為單位頻寬上的幅值，即n為“頻譜密度函數(shù)”。傅里葉變換的主要性質(zhì)一個(gè)信號(hào)可以進(jìn)行時(shí)域描述和頻域描述。兩種描述通過(guò)傅里葉變換來(lái)確立彼此一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此，熟悉傅里葉變換的一些主要性質(zhì)十分必要。性質(zhì)時(shí)域頻域函數(shù)的奇偶虛實(shí)性實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)虛奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)線性疊加ax(t)+by(t)aX(jf)+bY(jf)對(duì)稱X(jt)X(-f)續(xù)尺度改變x(kt)1 (_f\rrx產(chǎn)Ik『k丿時(shí)移x(t-1)0X(