第2章矩陣與線性方程組5-7

§5矩陣的秩1一、矩陣的秩的概念定義：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個(gè)元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，m×n矩陣A的k

階子式共有個(gè)．概念辨析：

k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式2與元素a12相對應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣A

的一個(gè)2階子塊矩陣A的一個(gè)2階子式3定義：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．4矩陣A的一個(gè)3階子式矩陣A的2階子式如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個(gè)3階子式也等于零．5定義：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣A中任何一個(gè)r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來表示．如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零．事實(shí)上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零．

因此矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．6矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．顯然，若矩陣A

中有某個(gè)s

階子式不等于零，則R(A)≥s； 若矩陣A

中所有t

階子式等于零，則R(A)<t

．若

A為n階矩陣，則A的n

階子式只有一個(gè)，即|A|． 當(dāng)|A|≠0時(shí)，R(A)=n;

可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣．

當(dāng)|A|=0時(shí)，R(A)<n;

不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣．若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．7矩陣A的一個(gè)2階子式矩陣AT

的一個(gè)2階子式AT

的子式與A

的子式對應(yīng)相等，從而R(AT)=R(A)．8例：求矩陣A

和B

的秩，其中解：在

A中，2階子式．A的3階子式只有一個(gè)，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．9例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有3行，因此其4階子式全為零．以非零行的第一個(gè)非零元為對角元的3階子式，因此R(B)=3．還存在其它3階非零子式嗎？10例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B

還有其它

3

階非零子式，例如結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)．11二、矩陣的秩的計(jì)算例：求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3階子式共有(個(gè))，要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的．12一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的.行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣.兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等？13定理：若A~B，則R(A)=R(B)

．證明思路：證明A

經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锽，則R(A)≤R(B)．

B

也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)锳，則R(B)≤R(A)，于是R(A)=R(B)．經(jīng)過一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變．設(shè)A

經(jīng)過初等列變換變?yōu)锽，則AT

經(jīng)過初等行變換變?yōu)锽T

，從而R(AT)=R(BT)． 又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)．14定理：若A~B，則R(A)=R(B)

．應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩．例：求矩陣的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式．15解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3

．第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列

，與之對應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列．16R(A0)=3，計(jì)算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個(gè)最高階非零子式．17分析：對B

作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設(shè)B

的行階梯形矩陣為，則就是A

的行階梯形矩陣，因此可從中同時(shí)看出R(A)及R(B)．例：設(shè)，求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=318矩陣的秩的性質(zhì)若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．

R(AT)=R(A)．若A~B，則R(A)=R(B)

．若P、Q

可逆，則R(PAQ)=R(A)

．

max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)

． 特別地，當(dāng)B=b

為非零列向量時(shí)，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1

．

R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×nBn×l

=O，則R(A)＋R(B)≤n．19例：設(shè)A為

n階矩陣，證明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．例：若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)

．附注：當(dāng)一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣．特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣．本題中，當(dāng)

C=O，這時(shí)結(jié)論為： 設(shè)AB=O，若A為列滿秩矩陣，則

B=O

．20例：設(shè)A為

n階矩陣，證明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．證明：因?yàn)?/p>

(A＋E)＋

(E－A)=2E，由性質(zhì)“R(A＋B)≤R(A)＋R(B)”有R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)

=n

．又因?yàn)镽(E－A)=R(A－E)，所以R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．21§7線性方程組的解22一、線性方程組的表達(dá)式一般形式向量方程的形式方程組可簡化為AX=b．增廣矩陣的形式向量組線性組合的形式23二、線性方程組的解的判定設(shè)有n

個(gè)未知數(shù)m

個(gè)方程的線性方程組定義：線性方程組如果有解，就稱它是相容的；如果無解，就稱它是不相容的．問題1：方程組是否有解？問題2：若方程組有解，則解是否唯一？問題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？

m、n

不一定相等！24定理：n

元線性方程組Ax=b無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n．分析：只需證明條件的充分性，即R(A)<R(A,b)無解；R(A)=R(A,b)=n唯一解；R(A)=R(A,b)<n無窮多解．那么無解R(A)<R(A,b)；唯一解R(A)=R(A,b)=n

；無窮多解R(A)=R(A,b)<n．25證明：設(shè)

R(A)=r，為敘述方便，不妨設(shè)B=(A,b)的行最簡形矩陣為第一步：往證R(A)<R(A,b)無解．若R(A)<R(A,b)，即R(A,b)=R(A)＋1，則dr+1=1．于是第r+1行對應(yīng)矛盾方程0=1，故原線性方程組無解．R(A)

≤

R(A,b)

≤

R(A)＋1前r

列后n-r

列26前n

列前r

列第二步：往證R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原線性方程組有唯一解．后n-r

列則dr+1=0且r=n，對應(yīng)的線性方程組為

從而bij

都不出現(xiàn).27前r

列n

列第二步：往證R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原線性方程組有唯一解．

則dr+1=0且bij

都不出現(xiàn).

即r=n，前

r

行后

m－r

行后n-r

列n

行對應(yīng)的線性方程組為后

m－n

行28第三步：往證R(A)=R(A,b)<n無窮多解．若R(A)=R(A,b)<n，對應(yīng)的線性方程組為前r

列

則dr+1=0.后n-r

列

即r<n，29令xr+1,…,xn

作自由變量，則再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則線性方程組的通解30例：求解非齊次線性方程組解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原線性方程組有無窮多解．31備注：有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=r<n，這時(shí)

還能根據(jù)R(A)=R(A,b)=r<n判斷該線性方程組有無限多解嗎？32x1x2x3x4x1x2x4x3同解返回33解（續(xù)）：即得與原方程組同解的方程組令x3

做自由變量，則方程組的通解可表示為．34例：求解非齊次線性方程組解：R(A)=2，R(A,b)=3，故原線性方程組無解．35例：求解齊次線性方程組提問：為什么只對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚕看穑阂驗(yàn)辇R次線性方程組AX=0的常數(shù)項(xiàng)都等于零，于是必有R(A,0)=

R(A)，所以可從R(A)判斷齊次線性方程組的解的情況．36例：設(shè)有線性方程組問l

取何值時(shí)，此方程組有(1)唯一解；(2)無解；(3)有無限多個(gè)解？并在有無限多解時(shí)求其通解．定理：n

元線性方程組AX=b無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n．37解法1：對增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣．38附注：對含參數(shù)的矩陣作初等變換時(shí)，由于l+1，l+3等因式可能等于零，故不宜進(jìn)行下列的變換：如果作了這樣的變換，則需對l+1=0（或l+3=0）的情況另作討論．39分析：討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù)l

取何值時(shí)，r2、r3

是非零行．在r2、r3

中，有5處地方出現(xiàn)了l

，要使這5個(gè)元素等于零，l=0，3，－3，1．實(shí)際上沒有必要對這4個(gè)可能取值逐一進(jìn)行討論，先從方程組有唯一解入手．40于是當(dāng)l

≠0且l

≠－3時(shí)，R(A)=R(B)=3，有唯一解．當(dāng)l=0時(shí)，R(A)=1，R(B)