大學應用物理能量定理和守恒定律

大學物理第3章能量定理和守恒定律第3章能量定理和守恒定律基本概念功、能（動、勢能）動量、沖量角動量、沖量矩基本規(guī)律動量定理動能定理（功能原理）角動量定理守恒定律動量守恒定律能量守恒定律角動量守恒定律大學物理基本概念功機械能動能重力勢能動量角動量

沖量沖量矩（角沖量）第3章能量定理和守恒定律大學物理基本規(guī)律基本定理動量定理

動能定理

角動量定理基本守恒定律動量守恒定律能量守恒定律角動量守恒定律第3章能量定理和守恒定律大學物理第3章能量定理和守恒定律

第1節(jié)沖量動量動量定理動量守恒定律

一.沖量若質量為Ｍ的質點受到力Ｆ，作用時間Δt，Ｆ關于時間t的積分叫做在時間內Ｆ力對質點的沖量。用Ｉ表示，沖量是矢量。大學物理第3章能量定理和守恒定律

二.質點動量定理用牛頓第二定理代入得：

mv叫做質量為m的物體的動量，用P表示。因此

I=ΔP=mv2—mv1

物體受到合外力的沖量等于動量的增量叫做動量定理。動量定理是合外力的時間積累。大學物理第3章能量定理和守恒定律動量定理的說明：1、動量定理表明，質點動量的變化由外力和外力的作用時間這兩個因素決定的；2、合外力的沖量的方向與動量增量的方向相同；3、動量定理是計算沖力或沖量的有效方法；4、動量定理式是個矢量式，要運用矢量運算法則，其分量表達式為：大學物理第3章能量定理和守恒定律2、質點系的動量定理

設有一系統(tǒng)由n個質點組成，系統(tǒng)內力fij為第i個質點受到第j個質點的作用力，系統(tǒng)外力Fi為第i個質點受到的合外力。由牛頓第二定律：

對于第一個質點有：即：同理，第二個質點有：第三個質點有：第n個質點有：大學物理第3章能量定理和守恒定律把以上各式相加得系統(tǒng)總的合外力F和總動量P的關系式：以和則得到質點系的牛頓第二定律：

整理得—系統(tǒng)動量定理的微分式：系統(tǒng)動量定理的積分式：

或大學物理第3章能量定理和守恒定律應用動量定理解題的思路：1、確定研究對象，弄清物理過程；2、對研究對象進行受力分析，確定初、末狀態(tài)的動量；3、選坐標，列動量定理方程，求解。題3-1.用棒打擊質量0.3kg、速率20m.s-1水平飛來的球，球飛到豎直上方10m高度。求棒給予球的沖量是多大？設球與棒的接觸時間為0.02s，求：球受到的平均沖力。解：大學物理第3章能量定理和守恒定律3、動量守恒定律如圖所示，兩個大小相同的球A和B，它們的質量分別為M1和M2，A球用速度V10與速度為V20的B球相碰撞，兩球碰撞后的速度為V1和V2。在相互碰撞時，兩球受到的作用力和反作用力分別為f21和f12，作用時間為Δt，根據動量定理有：因上兩式代入得：

動量守恒定律：若系統(tǒng)不受外力或所受外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變。

v10v20m1m2f21f12v1v2大學物理第3章能量定理和守恒定律

實際運用動量守恒定律解決問題時，有兩種情況可視為系統(tǒng)動量守恒內力遠大于外力；外力雖不為零，但作用時間極短。3.完全彈性碰撞不僅系統(tǒng)的動量守恒，系統(tǒng)的動能也守恒。4.解題時，首先要選擇系統(tǒng)，分析系統(tǒng)的物理過程；其次，進行受力分析，確定系統(tǒng)的內力和外力，合外力為零，則系統(tǒng)動量守恒；最后，確定系統(tǒng)初、末狀態(tài)的動量，列守恒式方程，求解。解：人和車看成一個系統(tǒng)，整體受外力為零。

系統(tǒng)的初、末狀態(tài)：初狀態(tài)：人隨車做v0的運動，總動量為：末狀態(tài)：人向左跑車的左端，總動量為：根據動量守恒定律：大學物理第3章能量定理和守恒定律例題3-2質量為M的車在光滑的水平面上運動，一質量m的人站在車上，車以速度v0向右運動，現(xiàn)在人以相對于車的速率μ向左跑動，試求人在左端跳離車前，車的速度為多大？v0μ大學物理第3章能量定理和守恒定律圖3-1（a）物體受恒力F作用，物體的位移為L，力F對物體做的功A的定義為：W=FL圖3-1（b）物體受恒力F作用，物體的位移為L有夾角θ，力F對物體做的功A的定義為：W=FLcosθ=F·L圖3-1（c）物體受到的力F不是恒力，質點沿曲線L從a運動到b，位移為dr,功的定義為：功的單位：焦耳

第2節(jié)動能定理能量定律一、功的概念

(a)(b)(c)圖3-1力做的功大學物理第3章能量定理和守恒定律變力做功的說明：1、合力的功等于各個力做功的代數和；2、功不僅和力有關，還和質點運動過程的位移有關，所以功是個過程量，是個標量；3、功的計算在工程上常采用圖示法求解，如圖所示，圖示曲線和橫坐標圍的面積在數值上等于功的絕對值。大學物理第3章能量定理和守恒定律例題3-3設作用在質量為2kg的物體上的力F=6t，如果物體由靜止出發(fā)有直線運動，求頭2s時間內，這個力對物體所做的功？解：大學物理第3章能量定理和守恒定律例題3-4如圖所示，一質點受到的力為F=(4-2y)i，求質點在下列情況下力對質點做的功(1)、質點沿路徑ODC；（2）、質點沿路徑OBC解：(1)、質點沿路徑ODC：OD段有：2）、質點沿路徑OBC：OB段有：DC段有：BC段有：

此題說明做功與質點運動的路徑有關。大學物理第3章能量定理和守恒定律二、勢能與保守力的功1.勢能質量為m的物體從y1高處a點經任意曲線到y(tǒng)2高處b點，如圖位移元為dr，則質點從a點經路徑c到b點的過程中重力G對質點做的功為:

結論：重力做功與質點運動路徑無關。

大學物理第3章能量定理和守恒定律2、勢能與保守力的功保守力的功

有些力做的功只與運動質點的起點和終點位置有關，而與質點經由的路徑無關，也就是說，當質點的初、末位置確定后，力對質點做的功也隨之確定。具有這種性質的力稱為保守力。因此，重力、彈簧彈性力、萬有引力是保守為，此外，如靜電場力、分子力等也是保守力。而做的功與運動路徑有關的力，稱為非保守力．摩擦力是非保守力．此外，如磁力、火藥爆炸力也是非保守力。大學物理第3章能量定理和守恒定律“勢能”的說明：1、勢能是坐標的函數，即是狀態(tài)的函數，是狀態(tài)量；2、勢能的大小是相對的，與零勢能點的選取有關；3、勢能是屬于系統(tǒng)的，是由系統(tǒng)內各物體間的保守力和相對位置決定的量；4、只有保守力場才能引入勢能的概念。大學物理第3章能量定理和守恒定律三.動能定理1、質點的動能定理如圖3-2質點在a點時速度為v1，在力F的作用下經過曲線l到達b點，質點在b點時的速度為v2，質點沿曲線運動的瞬時位移為dl，力F在線路l上的積分叫做力的空間積累。

F

b

V2

a

v1

圖3-2動能定理合外力做的功等于質點的動能的增量大學物理第3章能量定理和守恒定律2、質點系的動能定理設質點系有n個質點，作用于各個質點的力所做的功分別為W1，W2…Wn各質點的初動能為Ek10，Ek20…Ekn0，末動能分別為Ek1，Ek2…Ekn。根據質點的動能定理有：對于第1個質點：對于第2個質點：對于第n個質點：上面各式相加得：質點系動能定理作用于質點系的所有力做的功等于質點系的動能的增量。大學物理第3章能量定理和守恒定律例題3-5質量為10千克的質點，它的運動方程為求在第1秒到第3秒之間合外力對質點做的功。解：由速度的定義式得：

第1秒時的速度為：

速率為:

由動能定理得合外力做的功為：第3秒的速度為：速率為:大學物理第3章能量定理和守恒定律四、功能原理1、質點的功能原理

作用于質點上的非保守力做的功等于質點的機械能的增量叫做質點的功能原理。其中，E叫做機械能，W為非保守力做的功。非保守力：它所做的功與路徑有關。如，摩擦力、外力推導：根據動能定理大學物理第3章能量定理和守恒定律2、質點系的功能原理

作用于質點系上的外力和非保守內力做的功之和等于質點的機械能的增量叫做質點系的功能原理。其中，E叫做機械能，W非內為非保守內力做的功。推導：根據動能定理大學物理第3章能量定理和守恒定律五、機械能守恒系統(tǒng)中非保守力做功為零時，系統(tǒng)的機械能保持恒定。

例題3-6圖3-3所示，輕的細繩下面掛一個質量為m的小球，L為繩長，繩的另一端在天花板上，繩開始靜止在水平位置，小球在A點釋放后，小球到最底位置B點，若不計空氣阻力，求小球在位置B時，繩中張力。解：因只有重力做功，機械能守恒開始點:最底點:得由牛頓第二定律得

ALTLvmg

圖3-3

大學物理第3章能量定理和守恒定律例題3-7，斜面與平面是同一材料制成，斜面上高h處一個物體從靜止開始滑下，停于平面A處，下滑物體起點與終點間水平距離為S，求物體與斜面及平面間的滑動摩擦系數μ。解：非保守力為摩擦力在斜面上：在平面上：起點處：E1=EP=mgh終點處：E2=EK=0由功能原理：得：

m

hL1mθL2s

圖3-4大學物理第3章能量定理和守恒定律六、剛體的定軸轉動動能定理1、力矩的功如圖所示，為任一剛體的示意圖，設該剛體在外力F的作用下繞軸轉過角位移dθ，力的作用點發(fā)生的位移為ds=rdθ,若力F在法線方向上的分力為Fn，在切向方向上的分力為Fτ，根據功的定義，力F做的功等于切向分力Fτ做的功：

力F對轉軸的力矩為：所以即：剛體由角位移θ1轉動到角位移θ2時，力矩對剛體所做的功為：大學物理第3章能量定理和守恒定律2、力矩的功率

力矩的功率為單位時間內力矩對剛體所做的功。

由于：

所以：

上式表示力矩的功率等于力矩與角速度的乘積。當功率一定時，轉速越大，力矩越??；轉速越小，力矩越大。大學物理第3章能量定理和守恒定律3、剛體定軸轉動動能定理設剛體在合外力矩的作用下，繞定軸轉過了一小段角位移dθ，則合外力矩對剛體所做的元功為：由轉動定律得：

若剛體在時間t內，角速度由ω0變?yōu)棣兀瑒t合外力矩對剛體所做的功為：轉動動能定理：合外力矩對定軸轉動的剛體做作的功等于剛體的轉動動能的增量大學物理第3章能量定理和守恒定律例題3-8：有質量為m長為l的均勻細棒，可繞一過o端的水平軸在豎直平面內旋轉，如圖，轉軸處摩擦可忽略，最初棒在水平位置，然后自由轉下，求棒經過豎直位置時的角速度？解：棒在下轉過程中只有重力矩做功，重力矩做的功為：大學物理第3章能量定理和守恒定律第3節(jié)角動量定理角動量守恒定律1、質點的角動量沖量矩質點以速度v相對于o點運動，質點的位矢為r，如圖所示，則質點相對于o點的位矢和動量的叉積叫做角動量。

力矩的時間積累，稱為力矩的沖量，或者沖量矩、角沖量。幾點說明：角動量是矢量，方向用右手螺旋法則來判斷如圖所示；角動量與質點的運動狀態(tài)和相對位置有關；角動量的單位為kg·m2·s-1。大學物理第3章能量定理和守恒定律2、質點的角動量定理

合力矩的沖量等于角動量的增量推導：角動量為：

兩邊求導：

兩邊積分：

注：角動量定理等式是個矢量式，計算時應寫成分量式的形式。大學物理第3章能量定理和守恒定律3、質點的角動量守恒定律

當作用于質點的合外力F對固定參考o點的力矩為零時，即M=0質點對參考點的角動量為一恒量。

或說明：質點的M=0，包含兩種含義：1、質點的合外力為零；2、合力不為零，但合力矩為零。所以質點做勻速圓周運動時，角動量是保持守恒的。大學物理第3章能量定理和守恒定律例題3-9，質量為m的物塊栓在穿過小孔的細繩的一端，在光滑的水平臺面上以角速度ω0做半徑為r0的圓周運動，如圖，在t=0時刻起，手拉繩以勻速v向下運動，使半徑逐漸減小，求：1、角速度與時間的關系；2、繩子拉力與時間的關系。解：1、小球在水平臺面上運動只受到水平方向繩子給的拉力，拉力的力矩為零，因此小球的角動量守恒。有：

由于：

得：2、大學物理第3章能量定理和守恒定律4、剛體定軸轉動的角動量定律

剛體的角動量

如圖當剛體以角速度定軸轉動時，取上任一質點mi則有：

剛體的角動量等于所有質點對轉軸的角動量之和，即：其矢量形式：

剛體的角動量定理

推導：剛體的轉動定理大學物理