2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 統(tǒng)計(jì)案例（精講）（解析版）

8.3統(tǒng)計(jì)案例（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一線性回歸方程【例1-1】（2021·江蘇徐州·高三）對(duì)于數(shù)據(jù)組，如果由線性回歸方程得到的對(duì)應(yīng)于自變量的估計(jì)值是，那么將稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差．某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：34562.534根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的線性回歸方程為，據(jù)此計(jì)算出樣本點(diǎn)處的殘差為－0.15，則表中的值為（）A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】B【解析】由題意可知，在樣本（4，3）處的殘差－0.15，則，即，解得，即，又，且線性方程過樣本中心點(diǎn)（，），則，則，解得.故答案為：B【例1-2】（2021·全國(guó)高三月考）擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國(guó)民間游戲，數(shù)人或幾十人圍成圓圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背著大家或蒙眼擊鼓（桌子、黑板或其他能發(fā)出聲音的物體），鼓響時(shí)眾人開始傳花（順序不定），至鼓停止為止．此時(shí)花在誰手中（或其座位前），誰就上臺(tái)表演節(jié)目，某單位組織團(tuán)建活動(dòng)，9人一組，共10組，玩擊鼓傳花，（前五組）組號(hào)與組內(nèi)女性人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：1234522334（Ⅰ）女性人數(shù)與組號(hào)（組號(hào)變量依次為1，2，3，4，5，…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)預(yù)測(cè)從第幾組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；參考公式：（Ⅱ）從10組中隨機(jī)抽取3組，求若3組中女性人數(shù)不低于5人的有組，求的分布列與期望；（Ⅲ）游戲開始后，若傳給相鄰的人得1分，間隔人傳得2分，每擊一次鼓傳一次花，得1分的概率為0.2，得2分的概率為0.8．記鼓聲停止后得分恰為分的概率為，求．【答案】（Ⅰ）從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由題可得，，．則，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴預(yù)測(cè)從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)．（Ⅱ）由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，則的分布列為0123∴.（Ⅲ）在得分為分的基礎(chǔ)上再傳一次，則得分可能為分或分，記“合計(jì)得分”為事件，“合計(jì)得分”為事件，事件與為對(duì)立事件．∵，，∴，∴．【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)(元)456789銷量(件)908483807568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程=-4x+a，若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，即滿足的點(diǎn)有，共3個(gè)所以在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為，故選：C2．（2021·貴州貴陽·（理））據(jù)貴州省氣候中心報(bào)，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之間，畢節(jié)市局地、遵義市北部、銅仁市局地和黔東南州東南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局地超過100mm.若我省某地區(qū)2021年端午節(jié)前后3天，每一天下雨的概率均為.通過模擬實(shí)驗(yàn)的方法來估計(jì)該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率，利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器可以產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)（，且）表示是否下雨：當(dāng)時(shí)表示該地區(qū)下雨，當(dāng)時(shí)，表示該地區(qū)不下雨.因?yàn)槭?天，所以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，從隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)取得20組數(shù)如下:332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出k的值，使得該地區(qū)每一天下雨的概率均為；并根據(jù)上述20組隨機(jī)數(shù)估計(jì)該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率；（2）2016年到2020年該地區(qū)端午節(jié)當(dāng)天降雨量（單位:mm）如表：時(shí)間2016年2017年2018年2019年2020年年份12345降雨量2827252322經(jīng)研究表明：從2016年到2020年，該地區(qū)端午節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程.并預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年端午節(jié)有降雨的話，降雨量約為多少？參考公式：，.【答案】（1）4，；（2），．【解析】（1）由題意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨．所給的20組數(shù)據(jù)中，，，，，，，，共組表示天中恰好有天下雨，故所求的概率為．（2）由題中所給的數(shù)據(jù)可得，，所以，，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，．所以該地區(qū)年端午節(jié)有降雨的話，降雨量約為．3．（2021·孟津縣第一高級(jí)中學(xué)）西部某深度貧困村，從2014—2019年的人均純收入（單位：千元）情況如下表，時(shí)間變量從2014-2019年的值依次為1，2，……6．2014—2019年的人均純收入情況表：年份201420152016201720182019人均純收入（千元）2.63.03.63.94.45.1（1）在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）建立關(guān)于的回歸方程（保留兩位小數(shù)），預(yù)測(cè)該村2020年的人均純收入為多少？附注：參考數(shù)據(jù)：，，，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，．【答案】（1）散點(diǎn)圖見解析；可以用線性回歸方程擬合與的關(guān)系；說明見解析；（2）；該村2020年人均收入約為5450元左右．【解析】（1）作出散點(diǎn)圖如圖：由散點(diǎn)圖可知各點(diǎn)大致分布在一條直線附近，，因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)約為0.99，說明與的相關(guān)程度是很高的，所以可以用線性回歸方程擬合與的關(guān)系．（2），所以回歸直線方程，，即該村2020年人均收入約為5450元左右．考點(diǎn)二非線性回歸方程【例2-1】（2021·安徽馬鞍山·高三（理））2020年初，從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災(zāi)害嚴(yán)重威脅了國(guó)際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，影響了人民生活.世界性與區(qū)域性溫度的異常?早澇頻繁發(fā)生給蝗災(zāi)發(fā)生創(chuàng)造了機(jī)會(huì).已知蝗蟲的產(chǎn)卵量與溫度的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)：由上表可得線性回歸方程，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表格數(shù)據(jù)知：，，代入得：，，即，，.故選：B.【例2-2】（2021·重慶市第十一中學(xué)校高三月考）某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在南山旅游景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對(duì)該景區(qū)附近五家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天，這五家“農(nóng)家樂”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)互不相同，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（單位：元/日），t為入住天數(shù)（單位：天），以入住天數(shù)的頻率作為各自的“入住率”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與入住率y的散點(diǎn)圖如圖．x100150200300450y9065453020（1）若從以上五家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查，記為“入住率”超過的農(nóng)家樂的個(gè)數(shù)，求的分布列；（2）令，由散點(diǎn)圖判斷與哪個(gè)更合適于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程；（，的結(jié)果精確到）（3）根據(jù)第（2）問所求的回歸方程，試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時(shí)，100天銷售額Q最大？（100天銷售額入住率收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，．【答案】（1）分布列見解析；（2）更適合于此模型，回歸方程為；（3）150（元/日）．【解析】（1）的所有可能取值為0，1，2，則，，∴的分布列是012（2）由散點(diǎn)圖可知更適合于此模型．依題意，，則，，所求的回歸方程為．（3）依題意，，則，由，得，，由，得，，∴在上遞增，在上遞減，∴當(dāng)時(shí)，取到最大值．∴當(dāng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)約為150（元/日）時(shí)，100天銷售額L最大．【一隅三反】1．（2021·山西高三）某公交公司推出掃碼支付乘車優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)為期兩周，活動(dòng)的前五天數(shù)據(jù)如下表：第天12345使用人數(shù)()151734578421333由表中數(shù)據(jù)可得y關(guān)于x的回歸方程為，則據(jù)此回歸模型相應(yīng)于點(diǎn)（2，173）的殘差為（）A． B． C．3 D．2【答案】B【解析】令，則，1491625使用人數(shù)()151734578421333，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以殘差為.故選：B2．（2021·貴州高三月考）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每-列?每一個(gè)粗線宮（3×3）內(nèi)的數(shù)字均含1~9，且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽.（1）賽前小明在某數(shù)獨(dú)上進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度（秒/題）與訓(xùn)練天數(shù)（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：（天）1234567（秒/題）910800600440300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程（，用分?jǐn)?shù)表示）.（2）小明和小紅在數(shù)獨(dú)上玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽局后結(jié)束，求隨機(jī)變量的分布列及期望.參考數(shù)據(jù)（其中）：17500.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所以，所以，所以，所以所求回歸方程為；（2）隨機(jī)變量X的可能取值為3，4，5，，，.所以隨機(jī)變量X的分布列為.3．（2021·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）某芯片公司為制訂下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對(duì)年銷售額（單位：億元）的影響，該公司對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中，，，均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).現(xiàn)該公司對(duì)收集的近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額（）的數(shù)據(jù)作了初步處理，令，，經(jīng)計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：20667702004604.23125000215000.30814（1）設(shè)和的樣本相關(guān)系數(shù)為，和的樣本相關(guān)系數(shù)為，請(qǐng)從樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）的角度判斷，哪個(gè)模型擬合效果更好；（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（ii）若下一年銷售額需達(dá)到90億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量約為多少億元？參考數(shù)據(jù)為，，.【答案】（1）模型的擬合效果更好；（2）（i）；（ii）36.66億元.【解析】（1），，因?yàn)?，所以從樣本相關(guān)系數(shù)的角度判斷，模型的擬合效果更好.（2）（i）先建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.由，得，即.，，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以，即.（ii）若下一年銷售額需達(dá)到90億元，則由，得，又，所以，所以，所以預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量約為36.66億元.考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)【例3-1】（2021·河南高三月考）某外語學(xué)校要求學(xué)生從德語和日語中選擇一種作為“第二外語”進(jìn)行學(xué)習(xí)，為了解選擇第二外語的傾向與性別的關(guān)系，隨機(jī)抽取名學(xué)生，得到下面的數(shù)據(jù)表：選擇德語選擇日語男生女生根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)可知（）附：，．A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為選擇第二外語的傾向與性別無關(guān)B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為選擇第二外語的傾向與性別有關(guān)C．有的把握認(rèn)為選擇第二外語的傾向與性別無關(guān)D．有的把握認(rèn)為選擇第二外語的傾向與性別有關(guān)【答案】D【解析】由題意得，所以有的把握認(rèn)為選擇第二外語的傾向與性別有關(guān)，或在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為選擇第二外語的傾向與性別有關(guān)，故選：D【例3-2】（2021·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）電子郵件是一種用電子手段提供信息交換的通信方式，是互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用最廣的服務(wù).我們?cè)谑褂秒娮余]件時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：中國(guó)人的郵箱名稱里含有數(shù)字的比較多，而外國(guó)人郵箱名稱里含有數(shù)字的比較少.為了研究郵箱名稱里含有數(shù)字是否與國(guó)籍有關(guān)，隨機(jī)調(diào)取了40個(gè)郵箱名稱，得到如下2×2列聯(lián)表：中國(guó)人外國(guó)人總計(jì)郵箱名稱里有數(shù)字15520郵箱名稱里無數(shù)字51520總計(jì)202040（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“郵箱名稱里含有數(shù)字與國(guó)籍”是否有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率.在中國(guó)人郵箱名稱里和外國(guó)人郵箱名稱里各隨機(jī)抽取6個(gè)郵箱名稱，記“6個(gè)中國(guó)人郵箱名稱里恰有3個(gè)含有數(shù)字”的概率為，“6個(gè)外國(guó)人郵箱名稱里恰有3個(gè)含有數(shù)字”的概率為，試比較與的大小.參考公式和數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（1）零假設(shè)：“郵箱名稱里含有數(shù)字與國(guó)籍”無關(guān).

，故沒有充分的依據(jù)推斷零假設(shè)不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為“郵箱名稱里含有數(shù)字與國(guó)籍”無關(guān).（3）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，根據(jù)列聯(lián)表，中國(guó)人郵箱名稱里含數(shù)字的概率為，外國(guó)人郵箱名稱里含數(shù)字的概率為.設(shè)“6個(gè)中國(guó)人郵箱名稱里含數(shù)字”的人數(shù)為隨機(jī)變量，“6個(gè)外國(guó)人郵箱名稱里含數(shù)字”的人數(shù)為隨機(jī)變量，根據(jù)題意得：，.則，.所以.【一隅三反】1．（2021·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高三開學(xué)考試）春節(jié)期間，“厲行節(jié)約，反對(duì)浪費(fèi)”之風(fēng)悄然吹開，某市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動(dòng)，得到列聯(lián)表：分類做不到“光盤”能做到“光盤”男4510女3015由此列聯(lián)表得到的正確結(jié)論是（）A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”【答案】C【解析】列聯(lián)表如下：分類做不到“光盤”能做到“光盤”總計(jì)男451055女301545總計(jì)7525100所以，且，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”.故選：C2（2021·云南昆明市·高三（理））一種配件的標(biāo)準(zhǔn)尺寸為，誤差不超過均為合格品，其余為不合格品．科研人員在原有生產(chǎn)工藝的基礎(chǔ)上，經(jīng)過技術(shù)攻關(guān)，推出一種新的生產(chǎn)工藝．下面的表格分別給出了用兩種工藝生產(chǎn)的20個(gè)配件的尺寸（單位：）：新工藝500499503500505500502499500498502496498501500497498503500499舊工藝497502499495502494500496506503499496505498503502496498501505（1）完成下面的列聯(lián)表，并分別計(jì)算用新、舊兩種工藝生產(chǎn)的配件的合格率；合格品不合格品合計(jì)新工藝舊工藝合計(jì)（2）根據(jù)所得樣本數(shù)據(jù)判斷，能否有95%的把握認(rèn)為用兩種工藝生產(chǎn)的配件合格率有差異？，0.150.0500.0250.0052.0723.8415.0247.879【答案】（1）填表見解析；新工藝生產(chǎn)的配件的合格率：，用舊工藝生產(chǎn)的配件的合格率：；（2）有95%的把握認(rèn)為用兩種工藝生產(chǎn)的配件合格率有差異．【解析】（1）列聯(lián)表如下：合格品不合格品合計(jì)新工藝18220舊工藝12820合計(jì)301040新工藝生產(chǎn)的配件的合格率：，用舊工藝生產(chǎn)的配件的合格率：．（2），因?yàn)?，所以，根?jù)所得樣本數(shù)據(jù)判斷，有95%的把握認(rèn)為用兩種工藝生產(chǎn)的配件合格率有差異．3．（2021·全國(guó)高三月考）機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗稱“禮讓行人”.下表是某市一主干道路口監(jiān)控