【步步高】(全國通用)2016版高考數(shù)學(xué)考前三個月復(fù)習(xí)沖刺專題3第7練抓重點(diǎn)函數(shù)性質(zhì)與分段函數(shù)課件理

專題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第7練抓重點(diǎn)——函數(shù)性質(zhì)與分段函數(shù)題型分析·高考展望函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性是高考必考內(nèi)容，以分段函數(shù)為載體是?？碱}型.主要以選擇題或填空題的形式考查，難度為中檔偏上.二輪復(fù)習(xí)中，應(yīng)該重點(diǎn)訓(xùn)練函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用能力，收集函數(shù)應(yīng)用的不同題型，分析比較異同點(diǎn)，排查與其他知識的交匯點(diǎn)，找到此類問題的解決策略，通過訓(xùn)練提高解題能力.?？碱}型精析高考題型精練題型一函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用題型二函數(shù)的周期性與對稱性的應(yīng)用題型三分段函數(shù)常考題型精析題型一函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用2.若f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是增函數(shù)，－f(x)是減函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)同增異減的法則判斷.3.定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).4.奇偶性相同的兩函數(shù)的積為偶函數(shù)，奇偶性相反的兩函數(shù)的積為奇函數(shù).例1

(1)(2014·湖北)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)解析因?yàn)楫?dāng)x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以當(dāng)0≤x≤a2時，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；當(dāng)a2<x<2a2時，f(x)＝(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；當(dāng)x≥2a2時，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.因此，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱作出函數(shù)f(x)在R上的大致圖象如圖，觀察圖象可知，要使?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則需滿足2a2－(－4a2)≤1，答案B

(2)(2014·課標(biāo)全國Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________.解析∵f(x)是偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對稱.又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.(－1,3)點(diǎn)評(1)奇偶性：具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，這是簡化問題的一種途徑.尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x).(2)單調(diào)性：可以比較大小，求函數(shù)最值，解不等式，證明方程根的唯一性.變式訓(xùn)練1

(1)(2015·天津)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A.a＜b＜c B.c＜a＜b

C.a＜c＜b D.c＜b＜a解析由函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1為偶函數(shù)，得m＝0，∴f(x)＝2|x|－1，當(dāng)x＞0時，f(x)為增函數(shù)，log0.53＝－log23，∴l(xiāng)og25＞|－log23|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故選B.答案B

(2)(2015·北京)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(

)A.y＝x2sinx B.y＝x2cosxC.y＝|lnx| D.y＝2－x解析由f(－x)＝f(x)，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，可知A為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，D為非奇非偶函數(shù).B題型二函數(shù)的周期性與對稱性的應(yīng)用重要結(jié)論：1.若對于定義域內(nèi)的任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，則f(x)關(guān)于x＝a對稱.2.若對于任意x都有f(x＋T)＝f(x)，則f(x)的周期為T.例2

(1)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)x∈[－1,0)時，f(x)＝－x，則f(2015)＋f(2016)＝________.解析由f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，知f(x)的周期為4，f(2015)＝f(3)＝f(－1)＝1，f(2016)＝f(4)＝f(0)＝0.∴f(2015)＋f(2016)＝1＋0＝1.1(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x).當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2016)＝________.解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的一個周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]×336＝336.答案336點(diǎn)評利用函數(shù)的周期性、對稱性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解.變式訓(xùn)練2已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且當(dāng)x∈[0,2]時，y＝f(x)單調(diào)遞減，給出以下四個命題：①f(2)＝0；②x＝－4為函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y＝f(x)在[8,10]上單調(diào)遞增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－8.則所有正確命題的序號為________.解析令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，f(－2)＝0，又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故f(2)＝0，①正確；根據(jù)①可得f(x＋4)＝f(x)，可得函數(shù)f(x)的周期是4，由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故x＝－4也是函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對稱軸，②正確；根據(jù)函數(shù)的周期性可知，函數(shù)f(x)在[8,10]上單調(diào)遞減，③不正確；由于函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－4對稱，故如果方程f(x)＝m在區(qū)間[－6，－2]上的兩根為x1，x2，則

＝－4，即x1＋x2＝－8，④正確.故正確命題的序號為①②④.答案①②④題型三分段函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)m的值；解∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x).當(dāng)x>0時，－x<0，有(－x)2－mx＝－(－x2＋2x)，即x2－mx＝x2－2x.∴m＝2.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.當(dāng)x>0時，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴當(dāng)x∈[1，＋∞)時，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x<0時，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∴當(dāng)x∈(－∞，－1]時，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈[－1,0)時，f(x)單調(diào)遞增.綜上知：函數(shù)f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞增.又函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3].點(diǎn)評(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系的不同而分別用幾個不同的式子來表示的.分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).(2)在求分段函數(shù)f(x)解析式時，一定要首先判斷x屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式.變式訓(xùn)練3

(2014·浙江)設(shè)函數(shù)f(x)＝

若f(f(a))≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析f(x)的圖象如圖，由圖象知，滿足f(f(a))≤2時，得f(a)≥－2，而滿足f(a)≥－2時，得a≤.高考題型精練1.(2015·安徽)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是(

)A.y＝lnx B.y＝x2＋1C.y＝sinx D.y＝cosx解析對數(shù)函數(shù)y＝lnx是非奇非偶函數(shù)；y＝x2＋1為偶函數(shù)但沒有零點(diǎn)；y＝sinx是奇函數(shù)；y＝cosx是偶函數(shù)且有零點(diǎn)，故選D.123456789101112D高考題型精練123456789101112C高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112答案C高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112解析由題意得f(－1)＝2－(－1)＝2，f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝4a＝1，答案A5.下列函數(shù)f(x)中，滿足“?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是(

)A.f(x)＝

－x B.f(x)＝x3C.f(x)＝lnx D.f(x)＝2x高考題型精練123456789101112解析“?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”等價(jià)于在(0，＋∞)上f(x)為減函數(shù)，易判斷f(x)＝

－x符合.A6.函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.2·f(20.2)，b＝ln2·f(ln2)，

c＝()·f()，則a，b，c的大小關(guān)系是(

)A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.a>c>b高考題型精練123456789101112解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以y＝f(x)關(guān)于y軸對稱.所以函數(shù)y＝xf(x)為奇函數(shù).因?yàn)閇xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，所以當(dāng)x∈(－∞，0)時，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，函數(shù)y＝xf(x)單調(diào)遞減，從而當(dāng)x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝xf(x)單調(diào)遞減.高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112所以b>a>c.答案B高考題型精練123456789101112解析由x<g(x)得x<x2－2，∴x<－1或x>2；由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112當(dāng)x<－1時，f(x)>2；當(dāng)x>2時，f(x)>8.∴當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)時，函數(shù)的值域?yàn)?2，＋∞).高考題型精練123456789101112答案D8.對實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b＝

設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(

)高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知B正確.答案B高考題型精練123456789101112解析∵f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，高考題型精練123456789101112∵當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，∵當(dāng)1<x≤2時，f(x)＝sinπx，高考題型精練123456789101112又∵f(x)是奇函數(shù)，10.對于任意實(shí)數(shù)a，b，定義min{a，b}＝設(shè)函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.高考題型精練123456789101112當(dāng)0<x≤2時，h(x)＝log2x是增函數(shù)；當(dāng)x>2時，h(x)＝3－x是減函數(shù)，∴h(x)在x＝2時取得最大值h(2)＝1.111.已知函數(shù)f(x)＝

其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).若直線y＝k(x＋1)(k>0)與函數(shù)y＝f(x)的圖象恰有三個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.解析根據(jù)[x]表示的意義可知，當(dāng)0≤x<1時，f(x)＝x，當(dāng)1≤x<2時，f(x)＝x－1，高考題型精練123456789101112當(dāng)2≤x<3時，f(x)＝x－2，以此類推，當(dāng)k≤x<k＋1時，f(x)＝x－k，k∈Z，當(dāng)－1≤x<0時，f(x)＝x＋1，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，直線y＝k(x＋1)過點(diǎn)(－1,0)，高考題型精練123456789101112當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(3,1)時恰有三個交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(2,1)時恰好有兩個交點(diǎn)，在這兩條直線之間時有三個交點(diǎn)，高考題型精練12345678910111212.已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R，有下列4個命題：①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱；②y＝f(x－