向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分

第九章向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分●

§9.1向量值函數(shù)及其極限與連續(xù)★

§9.2向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分●

§9.3向量值函數(shù)的不定積分與定積分§9.2向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分9.2.1向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)9.2.2空間曲線的切線及法平面方程1．向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念義，如果極限定義9.2.1

設(shè)向量值函數(shù)在t的某鄰域內(nèi)有定存在，則稱向量值函數(shù)r(t)在t處可導(dǎo)，并稱極限值為向量值函數(shù)r(t)在t處的導(dǎo)數(shù)，記為或者明顯地，

也是一個向量值函數(shù)．如果向量值函數(shù)r(t)在t處可導(dǎo)，則r(t)在t處連續(xù).9.2.1向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分與一元數(shù)量函數(shù)類似，可以進(jìn)一步定義向量值函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，如r(t)的二階導(dǎo)數(shù)定義為的導(dǎo)數(shù),即:向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何解釋（a）二維向量值函數(shù)的情形（b）三維向量值函數(shù)的情形如果點P和Q的位置向量為r(t)與r(t+t),那么這個向量可以看作是割線向量．當(dāng)時,割線向量如果存在，且趨于曲線在點P處的切線向量．線．這樣,曲線r(t)在點P處的切向量為則稱為曲線r(t)在點P處的切向量,過P點且以為方向向量的直線為曲線r(t)在點P處的切向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義:r(t)表示在平面上與空間中運動的質(zhì)點在t時刻的位置,對應(yīng)的幾何曲線為質(zhì)點的運動軌跡,是質(zhì)點在時間段[t,t+t]上的位移,是質(zhì)點在這段時間內(nèi)的平均速度，是質(zhì)點在時刻t的瞬時速度v(t)，即速度的方向或質(zhì)點運動的方向是運動軌跡的切線方向,是質(zhì)點在時刻t的瞬時加速度a

(t).向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可通過計算其分量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到.其中各分量函數(shù)在點t處可導(dǎo),則r(t)在點t處可導(dǎo),且定理9.2.2

設(shè)三維向量值函數(shù)同樣，對于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)有類似的結(jié)論.的二階導(dǎo)數(shù)為三維向量值函數(shù)例1

計算下列向量值函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)：．解這里,(1)中的二維向量值函數(shù)對應(yīng)的圖形是二維平面上的橢圓曲線;(2)中的三維向量值函數(shù)對應(yīng)的圖形是三維空間上的螺旋曲線．且在區(qū)間I內(nèi)光滑的．如果一個向量值函數(shù)在區(qū)間上滿足連續(xù)，例如，例1中的橢圓曲線與螺旋曲線都是光滑的．我們就稱在區(qū)間上是一條曲線如果由多個光滑的片段組成，那么就稱這條曲線為分段光滑曲線．解因為光滑的．曲線在點(1,0)(對應(yīng)t=0)突然改變了方向，在曲線上出現(xiàn)了尖點的特征．所以，該曲線不是是否為光滑曲線？

例2

判斷曲線

尖點解質(zhì)點的速度為質(zhì)點的速率為質(zhì)點的加速度為例3

一個質(zhì)點的位置向量為求質(zhì)點的速度、加速度與速率．可導(dǎo)的向量值函數(shù)r

=r

(t)的微分定義為對于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)對于可導(dǎo)的三維向量值函數(shù)對于二維向量值函數(shù)與三維向量值函數(shù)，dr

是一個與與切向量同向；平行的向量，曲線的切向量當(dāng)dt

>0時,dr與反向.當(dāng)dt

<0時,dr與切向量數(shù)值函數(shù)，設(shè)u(t),v(t)為可導(dǎo)的向量值函數(shù)，常數(shù)，則有定理9.2.1

C為常向量(即C的各分量都為常數(shù)),k為f(t)為可導(dǎo)2．向量值函數(shù)的求導(dǎo)法則

(7)鏈?zhǔn)椒▌t：設(shè)u(s)為可導(dǎo)的向量值函數(shù)，s=f(t)為可導(dǎo)的數(shù)值函數(shù)，則例4

設(shè)r(t)是可導(dǎo)的向量值函數(shù)，且如果(C為常數(shù))，證明：與垂直．證因為則由求導(dǎo)法則(5)知因此，幾何意義:

如果一條曲線位于一個以原點為球心的也就是說與垂直．垂直于位置向量球面上,那么它的切向量

例5

如果質(zhì)量為m的質(zhì)點的位置向量為r(t),角動量轉(zhuǎn)動力矩為證明：證由求導(dǎo)法則（6），知注意到則特別，當(dāng)M(t)=0時,從而L(t)為常向量.這就是物理學(xué)中的角動量守恒定律．空間曲線在點t0處的切線向量為空間曲線在點的切線方程為稱過點P且與向量T(t)垂直的平面為空間曲線的法平面，其方程為9.2.2空間曲線的切線與法平面切線方程與法平面方程．且點(1,1,1)與

t=1對應(yīng),所以，在點(1,1,1)處曲線的切線向量為因此，所求切線方程為例6

求空間曲線在點(1,1,1)處的解因為所求法平面方程即