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10.雙曲線的切線問(wèn)題T8聯(lián)考16題的推廣及高考應(yīng)用昨天考的T8聯(lián)考16題以雙曲線切線為背景,考察了一類特殊的中心三角形,即該切線與漸近線的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)圍成的三角形面積,其實(shí)是一個(gè)定值,本文對(duì)其做一般的推廣,并介紹相關(guān)結(jié)論在高考試題中的應(yīng)用.對(duì)于雙曲線比較獨(dú)特的結(jié)論,我們應(yīng)該多加留意.一.典例分析(T8聯(lián)考16題)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為和,為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)作漸近線的垂線,垂足為,若,則雙曲線的離心率為_(kāi)_______;又過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線交另一條漸近線于點(diǎn),且的面積,則該雙曲線的方程為_(kāi)________.解析:第一個(gè)空較簡(jiǎn)單,.下面看第二個(gè)空的證明;雙曲線的兩條漸近線方程我們可以用來(lái)表示,設(shè)切線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為,由,可得,同理,所以三角形的面積為,再將代入,得,證畢.這樣的話,由于且,可解得:雙曲線方程為:.二.高考應(yīng)用(2014年福建卷)已知雙曲線的兩條漸近線分別為.(1)求雙曲線的離心率;(2)如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)(分別在第一,四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在,說(shuō)明理由。解析:(1)因?yàn)殡p曲線的漸近線分別為,所以,所以,故,從而雙曲線的離心率(2)由(1)知,雙曲線的方程為,設(shè)直線與軸相交于點(diǎn),當(dāng)軸時(shí),若直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則,又因?yàn)榈拿娣e為8,所以,因此,解得,此時(shí)雙曲線的方程為,若存在滿足條件的雙曲線,則的方程只能為以下證明:當(dāng)直線不與軸垂直時(shí),雙曲線也滿足條件.設(shè)直線的方程為,依題意,得或,則,記由得,同理得,由得,,即由得,,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,即與雙曲
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