10.雙曲線的切線問題_第1頁
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10.雙曲線的切線問題T8聯(lián)考16題的推廣及高考應(yīng)用昨天考的T8聯(lián)考16題以雙曲線切線為背景，考察了一類特殊的中心三角形，即該切線與漸近線的交點和坐標(biāo)原點圍成的三角形面積，其實是一個定值，本文對其做一般的推廣，并介紹相關(guān)結(jié)論在高考試題中的應(yīng)用.對于雙曲線比較獨特的結(jié)論，我們應(yīng)該多加留意.一．典例分析（T8聯(lián)考16題）已知雙曲線的左、右焦點分別為和，為坐標(biāo)原點，過作漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為________；又過點作雙曲線的切線交另一條漸近線于點，且的面積，則該雙曲線的方程為_________.解析：第一個空較簡單，.下面看第二個空的證明；雙曲線的兩條漸近線方程我們可以用來表示，設(shè)切線與兩條漸近線的交點分別為，由，可得，同理，所以三角形的面積為，再將代入，得，證畢.這樣的話，由于且，可解得：雙曲線方程為：.二．高考應(yīng)用（2014年福建卷）已知雙曲線的兩條漸近線分別為.（1）求雙曲線的離心率；（2）如圖，為坐標(biāo)原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由。解析：（1）因為雙曲線的漸近線分別為，所以，所以，故，從而雙曲線的離心率（2）由（1）知，雙曲線的方程為，設(shè)直線與軸相交于點，當(dāng)軸時，若直線與雙曲線有且只有一個公共點，則，又因為的面積為8，所以，因此，解得，此時雙曲線的方程為，若存在滿足條件的雙曲線，則的方程只能為以下證明：當(dāng)直線不與軸垂直時，雙曲線也滿足條件.設(shè)直線的方程為，依題意，得或，則，記由得，同理得，由得，，即由得，，因為，所以，又因為，所以，即與雙曲

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