10.雙曲線的切線問題_第1頁
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10.雙曲線的切線問題T8聯(lián)考16題的推廣及高考應(yīng)用昨天考的T8聯(lián)考16題以雙曲線切線為背景,考察了一類特殊的中心三角形,即該切線與漸近線的交點和坐標(biāo)原點圍成的三角形面積,其實是一個定值,本文對其做一般的推廣,并介紹相關(guān)結(jié)論在高考試題中的應(yīng)用.對于雙曲線比較獨特的結(jié)論,我們應(yīng)該多加留意.一.典例分析(T8聯(lián)考16題)已知雙曲線的左、右焦點分別為和,為坐標(biāo)原點,過作漸近線的垂線,垂足為,若,則雙曲線的離心率為________;又過點作雙曲線的切線交另一條漸近線于點,且的面積,則該雙曲線的方程為_________.解析:第一個空較簡單,.下面看第二個空的證明;雙曲線的兩條漸近線方程我們可以用來表示,設(shè)切線與兩條漸近線的交點分別為,由,可得,同理,所以三角形的面積為,再將代入,得,證畢.這樣的話,由于且,可解得:雙曲線方程為:.二.高考應(yīng)用(2014年福建卷)已知雙曲線的兩條漸近線分別為.(1)求雙曲線的離心率;(2)如圖,為坐標(biāo)原點,動直線分別交直線于兩點(分別在第一,四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在,說明理由。解析:(1)因為雙曲線的漸近線分別為,所以,所以,故,從而雙曲線的離心率(2)由(1)知,雙曲線的方程為,設(shè)直線與軸相交于點,當(dāng)軸時,若直線與雙曲線有且只有一個公共點,則,又因為的面積為8,所以,因此,解得,此時雙曲線的方程為,若存在滿足條件的雙曲線,則的方程只能為以下證明:當(dāng)直線不與軸垂直時,雙曲線也滿足條件.設(shè)直線的方程為,依題意,得或,則,記由得,同理得,由得,,即由得,,因為,所以,又因為,所以,即與雙曲

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