2022屆湖北省武漢市華科附中高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為非零實(shí)數(shù)，且，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A． B．i C．–1 D．13．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B．C． D．4．集合的真子集的個(gè)數(shù)為()A．7 B．8 C．31 D．325．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．6．下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是（）A．正方體 B．球體C．圓錐 D．長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體7．設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)若雙曲線上存在點(diǎn)，使，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A． B． C． D．9．如下的程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（）A．16 B．18 C．20 D．1510．已知復(fù)數(shù)，滿足，則（）A．1 B． C． D．511．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A． B．3 C． D．212．是恒成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，則________.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為2的直線與的交點(diǎn)為，若，則直線的方程為_(kāi)__________．15．已知全集，集合則_____．16．設(shè)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）解不等式；（2）若均為正數(shù)，且，求的最小值.18．（12分）為了實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興之夢(mèng)，把我國(guó)建設(shè)成為富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)，黨和國(guó)家為勞動(dòng)者開(kāi)拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動(dòng)的舞臺(tái).借此“東風(fēng)”，某大型現(xiàn)代化農(nóng)場(chǎng)在種植某種大棚有機(jī)無(wú)公害的蔬菜時(shí)，為創(chuàng)造更大價(jià)值，提高畝產(chǎn)量，積極開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng).該農(nóng)場(chǎng)采用了延長(zhǎng)光照時(shí)間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別，該農(nóng)場(chǎng)選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進(jìn)行試點(diǎn).第一組采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時(shí)種植該蔬菜一季，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖：（1）如果你是該農(nóng)場(chǎng)的負(fù)責(zé)人，在只考慮畝產(chǎn)量的情況下，請(qǐng)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，對(duì)于下一季大棚蔬菜的種植，說(shuō)出你的決策方案并說(shuō)明理由；（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案，光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝；若采用夜間降溫的方案，降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場(chǎng)共有大棚100間（每間1畝），農(nóng)場(chǎng)種植的該蔬菜每年產(chǎn)出兩次，且該蔬菜市場(chǎng)的收購(gòu)均價(jià)為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，用樣本估計(jì)總體，請(qǐng)計(jì)算在兩種不同的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤(rùn)；（3）農(nóng)場(chǎng)根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為一間大棚畝產(chǎn)量超過(guò)5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進(jìn)行夜間降溫試點(diǎn)的20間大棚中隨機(jī)抽取3間，記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為，求的分布列及期望.19．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)，且當(dāng)時(shí)，不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

取，計(jì)算知錯(cuò)誤，根據(jù)不等式性質(zhì)知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計(jì)算知錯(cuò)誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.2．C【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、虛部概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．A【解析】

作交于點(diǎn)，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點(diǎn)，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.4．A【解析】

計(jì)算，再計(jì)算真子集個(gè)數(shù)得到答案.【詳解】，故真子集個(gè)數(shù)為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的真子集個(gè)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5．C【解析】

設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角，根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角可知，.作BC中點(diǎn)Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查異面直線夾角，關(guān)鍵點(diǎn)通過(guò)平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.6．C【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定．【詳解】正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形，球的三個(gè)三視圖都是相等的圓，圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓，另外兩個(gè)是全等的等腰三角形，長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．7．A【解析】

由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點(diǎn)的距離，再由余弦定理得出的齊次式．8．C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應(yīng)選．9．A【解析】

根據(jù)題意可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a，b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù)，按流程圖計(jì)算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16，故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.10．A【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出，求出的模即可．【詳解】解：，，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11．D【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)作，垂足為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

設(shè)成立；反之，滿足，但，故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進(jìn)而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，得到A，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，代入到中，解出t的值，即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線．由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．

由可得，

則，從而，得，所以l的方程為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.15．【解析】

根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16．1【解析】

令，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求得，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，令，可得，所以.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性，合理賦值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段討論法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求的最小值.【詳解】（1），由得或或，解得.（2），所以，由柯西不等式得：所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）.所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對(duì)值不等式的基本方法有零點(diǎn)分段討論法、圖象法、平方法等，利用零點(diǎn)分段討論法時(shí)注意分類(lèi)點(diǎn)的合理選擇，利用平方去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)注意代數(shù)式的正負(fù)，而利用圖象法求解時(shí)注意圖象的正確刻畫(huà)．利用柯西不等式求最值時(shí)注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式，本題屬于中檔題.18．（1）見(jiàn)解析；（2）（i）該農(nóng)場(chǎng)若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法，預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為426千元；（ii）若采用降低夜間溫度的方法，預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為424千元；（3）分布列見(jiàn)解析，.【解析】

（1）估計(jì)第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)和第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)來(lái)選擇.（2）對(duì)于兩種方法，先計(jì)算出每畝平均產(chǎn)量，再算農(nóng)場(chǎng)一年的利潤(rùn).（3）估計(jì)頻率分布直方圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列，再求期望.【詳解】（1）第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝，第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝，可知第一組方法較好，所以采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法；（（2）（i）對(duì)于采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法：每畝平均產(chǎn)量為千斤.∴該農(nóng)場(chǎng)一年的利潤(rùn)為千元.（ii）對(duì)于采用降低夜間溫度的方法：每畝平均產(chǎn)量為千斤，∴該農(nóng)場(chǎng)一年的利潤(rùn)為千元.因此，該農(nóng)場(chǎng)若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法，預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為426千元；若采用降低夜間溫度的方法，預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為424千元.（3）由圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，；；；.所以的分布列為0123所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體和離散型隨機(jī)變量的分布列，還考查了數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）通過(guò)分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，進(jìn)而解不等式組求得結(jié)果；（2）將不等式整理為，根據(jù)能成立思想可知，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可化為，由，解得；由，解得；由，解得．綜上所述：所以原不等式的解集為．（2），，，，有解，，即，又，，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問(wèn)題；關(guān)鍵是明確對(duì)于不等式能成立的問(wèn)題，通過(guò)分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問(wèn)題.20．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，由，，結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)得出，，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設(shè)點(diǎn)，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿足由的任意性知，，，即直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的方程，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.21．（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】

（1）對(duì)a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)a分三種情況，先求出每一種情況下函數(shù)f(x)的最小值，再解不等式得解.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，∴成立.當(dāng)時(shí)，，，∴.當(dāng)