2023年經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)二講評(píng)

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》作業(yè)（二）講評(píng)（一）填空題1.若,則.答案：分析:本題重要是考察原函數(shù)的概念，由不定積分知，f(x）是F（x)的導(dǎo)數(shù)，而Ｆ（Ｘ)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),所以,已知ｆ(x)求其原函數(shù)是對(duì)f(x)求積分,已知F(x)求f(ｘ),是對(duì)等式右端求導(dǎo)數(shù)。對(duì)的解答：2..答案：解：分析:本題重要考察導(dǎo)數(shù)(微分)與不定積分互為逆運(yùn)算的性質(zhì)。也許出現(xiàn)的錯(cuò)誤：①，沒有用性質(zhì)進(jìn)行求解。②，注意,我們的性質(zhì)是先積分后求導(dǎo)結(jié)果為一個(gè)函數(shù),即被積函數(shù)，先求導(dǎo)再積分結(jié)果為無(wú)窮多函數(shù),即被積函數(shù)加任意常數(shù)C。分析:本題重要考察不定積分是函數(shù)，其相應(yīng)關(guān)系可當(dāng)作另一方面考察湊微分這里的，本題也是2023年1月的考題。思考一下,下面的例題結(jié)果是怎么求出的？4.設(shè)函數(shù)．答案：0分析:定積分是擬定的數(shù)值,所以對(duì)定積分求導(dǎo)數(shù)，結(jié)果為０。也許出現(xiàn)的錯(cuò)誤：①計(jì)算定積分。當(dāng)然能做，但計(jì)算量要大的多，其結(jié)果還是0,所以要明白定積分的結(jié)果是“數(shù)值”,而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0.②，將不定積分的性質(zhì)用到這里。③5.若，則.答案:分析：本題重要考察變上限定積分的概念,即變上限定積分結(jié)果是被積函數(shù)的原函數(shù),所以，對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)結(jié)果應(yīng)是被積函數(shù)再乘以上限的導(dǎo)數(shù)。同時(shí),應(yīng)注意:互換積分上下限,其結(jié)果應(yīng)變號(hào)。(二）單項(xiàng)選擇題１.下列函數(shù)中,（）是xｓinx２的原函數(shù)．A．coｓx2Ｂ.２cosx2C．-2cosx2D.-cosx2答案：Ｄ分析:這道題目是求四個(gè)被選函數(shù)哪個(gè)是的原函數(shù)，即哪個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。對(duì)的解答：由于，所以是的原函數(shù),即答案D對(duì)的。選擇A，錯(cuò)誤；由于；選擇B,錯(cuò)誤；由于;選擇C，錯(cuò)誤；由于；2.下列等式成立的是（）.Ａ. Ｂ． C.?D．答案:C分析：本題重要考察的是一些常見湊微分的類型:故意識(shí)記住以上類型，對(duì)下面的作業(yè)題（不定積分的計(jì)算)就容易掌握了。3.下列不定積分中，常用分部積分法計(jì)算的是(）．Ａ.,B.C.D.答案:C分析：A,B，Ｄ都是湊微分(第一換元法），對(duì)這種常見且基本的積分計(jì)算題要純熟掌握,是考試的重點(diǎn)而C是分部積分，同樣,對(duì)這種常見且基本的積分計(jì)算題要純熟掌握，被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積分、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積的積分、冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積的積分是考試的重點(diǎn)４．下列定積分計(jì)算對(duì)的的是(）．A.B．Ｃ．D．答案：D分析：由定積分的幾何意義我們有重要推論：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的定積分結(jié)果為0，故D對(duì)。5.下列無(wú)窮積分中收斂的是()．Ａ．B．C.D.答案:B分析:運(yùn)用無(wú)窮積分的定義計(jì)算。對(duì)的解答：，收斂。所以Ｂ對(duì)的。請(qǐng)記住結(jié)論：(1),當(dāng)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散;(2)和，，發(fā)散;(3）當(dāng)發(fā)散,收斂;當(dāng)發(fā)散,收斂。假如可以記住上述結(jié)論,就可以直接判斷而免去計(jì)算。(三)解答題1.計(jì)算下列不定積分分析：純熟掌握基本積分公式是學(xué)好這部分內(nèi)容的基礎(chǔ),且要注意把公式中的x當(dāng)成u來(lái)背，純熟掌握基本積分方法：直接積分法（用公式和性質(zhì));第一換元法(湊微分）;分部積分法。(１）答案:分析:將被積函數(shù)變形為,運(yùn)用積分公式求解，這里.,對(duì)的解法:（運(yùn)用對(duì)數(shù)的性質(zhì),也許出現(xiàn)的錯(cuò)誤:①不能將被積函數(shù)當(dāng)作為，因此不知用什么公式求積分;②；③用錯(cuò)公式，.(２)答案：分析:注意運(yùn)用不定積分性質(zhì)去做,即分項(xiàng)積分最簡(jiǎn)樸，這里還要注意把，計(jì)算速度就會(huì)加快。(3)答案：(4)答案：分析：這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)的積分計(jì)算,采用的方法是湊微分法．這里，則,于是，代入積分式中進(jìn)行換元,再對(duì)直接用公式求積分.對(duì)的解法:==也許出現(xiàn)的錯(cuò)誤:①不能對(duì)的地找出微分因子;②用錯(cuò)積分公式，如==（5）答案：（6）答案:（7）答案:(8）答案:分析：這是用分部積分法計(jì)算積分的題目,且注意這里用到了“在分子加1減1”的技巧。２．計(jì)算下列定積分(1)答案:解:=＝=.分析：注意到被積函數(shù)是一個(gè)帶有絕對(duì)值的函數(shù),積分時(shí)必須把絕對(duì)值符號(hào)去掉,根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的定義，就要看看在積分區(qū)間是否有變號(hào)(即由正變負(fù)或由負(fù)變正）的情況.由于，即是使函數(shù)改變符號(hào)的點(diǎn)，因此運(yùn)用積分區(qū)間的可加性此定積分分為兩個(gè)積分的和,即=也許發(fā)生的錯(cuò)誤：①=，這是將等同于,需要指出的是，定積分中的積分變量是與積分區(qū)間有關(guān)的，積分區(qū)間的不同，也許被積函數(shù)的表達(dá)式就不同,此題就是一個(gè)典型的例子;②計(jì)算錯(cuò)誤.（２)答案：(3）答案:２分析：這是一個(gè)換元積分法求積分的題目，其中，，設(shè)法將積分函數(shù)變?yōu)?，然后?duì)求積分即可.(此法沒有換元，所以就不用換限）方法二：換元換限,令,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，于是＝注意，①定積分的換元積分法進(jìn)行計(jì)算時(shí),換元一定要換限,積分變量要和自己的積分限相相應(yīng)，此題中,變量的區(qū)間是,而變量的積分區(qū)間是.②在換元換限時(shí),新積分變量的上限相應(yīng)于舊積分變量的上限,新積分變量的下限相應(yīng)于舊積分變量的下限,當(dāng)以新的變量求得原函數(shù)時(shí)可直接代入新變量的積分上、下限求積分值即可無(wú)須在還原到本來(lái)變量求值．也許出現(xiàn)的錯(cuò)誤:①換元不換限;②計(jì)算錯(cuò)誤，如，對(duì)的的是：；③公式用錯(cuò),沒有把視為.(４)答案:解：=分析：這是用分部積分法計(jì)算積分的題目,且,得出.也許出現(xiàn)的錯(cuò)誤:①由得出,注意是的一個(gè)原函數(shù),當(dāng)你寫出時(shí)，規(guī)定導(dǎo)，驗(yàn)證一下是否對(duì)的.②三角函數(shù)值計(jì)記錯(cuò);對(duì)的的是,；（5）答案:分析：這是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積