《工程光學(xué)》物理光學(xué)參考問題詳解3

實(shí)用文檔物理光學(xué)作業(yè)參考答案[13-1] 波長 500nm的單色光垂直入射到邊長 3cm的方孔，在光軸（它通過孔中心并垂直孔平面）附近離孔 z處觀察衍射，試求出夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)的大致范圍。解：夫瑯和費(fèi)衍射條件為：(x12y12)maxk2z即：z(x12y12)max(15106)2(15106)20.91012nm900m500[13-3] 平行光斜入射到單縫上，證明： （1）單縫夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度公式為2II0sin[a(sinsini)]asini)(sin式中，I0是中央亮紋中心強(qiáng)度； a是縫寬； 是衍射角， i是入射角（見圖）。證明：（1）建立如圖所示坐標(biāo)系，則入射光的波矢：XX1k k(sini,0,cosi)縫上任意點(diǎn) Q的位矢：r (x1,y1,0) i

Q

P單逢上光場的復(fù)振幅為：~ikrAeiksinix1E(x1)Ae因此，觀察面上的夫瑯和費(fèi)衍射場為：E(x)1ik(zx2)aE(x1)eikxxdx1xsin）e12z1az1z~2~1iz12Aik(z1x2)a2z12iksinix1eiksinx1dx1iz1eae2Aik(zx2)aie12z1a2eik(sinsini)x1dx1z12ik(zx2)sin[asini)]A2z1(sinaez1asini)(sin實(shí)用文檔所以，觀察面上的光強(qiáng)分布為：~~*sin[a(sinsini)]}2IE(x)E(x)I0{a(sinsini)式中：I0(Aa)2z1（2）第一暗點(diǎn)位置：a(sin sini)sin siniai i2cos sin2 2 aiacosi[13-4] 在不透明細(xì)絲的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣中，測得暗條紋的間距為 1.5mm，所用透鏡的焦距為30mm，光波波長為632.8nm。問細(xì)絲直徑是多少？解：根據(jù)互補(bǔ)屏衍射原理，不透明細(xì)絲的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣與相同寬度單縫的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣除中心點(diǎn)之外是相同的，而衍射圖樣中暗條紋的間距等于中央亮紋寬度的一半，因此，有：xffaaf632.8106301.2656102mm0.013mmx1.5即細(xì)絲直徑是0.013mm.[13-6]導(dǎo)出外徑和內(nèi)徑分別為a和b的圓環(huán)（見圖）的夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度公式，并求出當(dāng)b=a/2時，（1）圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強(qiáng)度之比；（2）圓環(huán)衍射圖樣第一個暗環(huán)的角半徑。（注：Z13.144）解：半徑為a的圓孔在衍射場P點(diǎn)產(chǎn)生的振幅為：EaE02J1(ka)ca22J1(ka)kaka其中c為比例系數(shù)，因?yàn)閳鲋行恼穹鵈0正比于圓孔的面積a2。圓孔中的圓屏使P點(diǎn)的振幅減?。簩?shí)用文檔Eb cb22J1(kb)kb因此，圓環(huán)在 P點(diǎn)產(chǎn)生的振幅為：EhEaEb2c[a2J1(ka)b2J1(kb)]kakb圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的強(qiáng)度為：22IhEh24c2a4J1(Z1)b4J1(Z2)2a2b2J1(Z1)J1(Z2)Z1Z2Z1Z2式中，Z1ka,Z2kb。對于衍射場中心，Z1Z20，相應(yīng)的強(qiáng)度為：(Ih)04c2a4b4a2b2c2(a22)2442b當(dāng)b=a/2時，229c2a4（1）(Ih)0c2a2a216所以，圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強(qiáng)度之比：Ih9c2a40169Ia0c2a416（2）圓環(huán)衍射強(qiáng)度的第一個零值滿足:a2J1(ka)b2J1(kb)0kakb即aJ1(ka)bJ1(kb)aJ1(1ka)22利用貝塞耳函數(shù)表解上方程，得到：Z1 ka 3.144因此，圓環(huán)衍射強(qiáng)度的第一個零點(diǎn)的角半徑為：3.1440.512aa[13-7]不透明屏幕上有一孔徑，用一個向P點(diǎn)會聚的球面波照明，P點(diǎn)位于孔徑后面與孔徑相距z的平行平面上，如圖所示。(1)求出孔徑平面上入射球面波的傍軸近似，設(shè)P點(diǎn)分別位于Z軸上和軸外(0，y1)點(diǎn)兩種情形。假設(shè)孔徑面到觀察面之間為菲涅耳衍射區(qū)，證明在上述兩種情形下，觀察到的強(qiáng)度分布是孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射，且分布中心在P點(diǎn)。實(shí)用文檔解：（1）孔徑 平面上任意考察點(diǎn)~ AE(y0) er

(0,y0) 處光場的復(fù)振幅分布為：ikr Aeikrzk為波數(shù)。對相位因子中的 r取傍軸近似：r(y1y0)2z2z[1(y1y0)2]則復(fù)振幅分布：2z2~Aeikzexp{ik(y12}E(y0)zy0)2z當(dāng)P點(diǎn)位于z軸上時，y10，則有：~Aikzk2E(y0)zeexp(i2zy0)（2）入射球面波被孔徑衍射后，在觀察面上復(fù)振幅分布為：~1ikz~iky0)2}dy0E(y)izeE(y0)exp{(y2z1Aiky)2k)2(y0i(yyeikzikze1e2z0dy0ize2zzAik(y2y2)ik(yy)y0e2z1ez1dy0iz2此結(jié)果表明，觀察面上復(fù)振幅分布~(y)就是平行光垂直照射孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射場分E布，只不過分布的中心在(0,y1)點(diǎn)處，即P點(diǎn)處。當(dāng)P點(diǎn)位于z軸上時，y10，此時只是上述情況的特例：~1ikz~ik(yy0)2}dy0E(y)zeE(y0)exp{i2z1eikzAeikziky2k(yy)2iie2z0e2z0dy0zziky2ikyy0dy0iA2e2zezz實(shí)用文檔[13-12]一臺顯微鏡的數(shù)值孔徑為0.85，問(1)它用于波長為400nm時的最小分辨距離是多少?(2)若利用油浸物鏡使數(shù)值孔徑增大到1.45，分辨率提高了多少倍?(3)顯微鏡的放大率應(yīng)設(shè)計成多大?(設(shè)人眼的最小分辨角為1')。解：（1）0.610.61400nm顯微鏡的分辨率為：NA0.85287（2）數(shù)值孔徑增大后顯微鏡的分辨率為：'0.610.61400nmNA2871.45所以，分辨率提高了：1.7倍'168（3）人眼的明視距離為250mm，所以人眼的最小分辨距離為：0250106172700nm60180所以顯微鏡的放大率應(yīng)設(shè)計成：0'

72700168

430倍[13-15]光柵的寬度為l0cm，每毫米內(nèi)有500條縫，光柵后面放置的透鏡焦距為500mm。問(1)它產(chǎn)生的波長632.8nm的單色光的1級和2級譜線的半寬度是多少?(2)若入射光是波長為632.8nm和波長之相差0.5nm的兩種單色光，它們的1級和2級譜線之間的距離是多少?解：（1）光柵常數(shù)d10.2102mm500光柵總縫數(shù)Nw1005104d0.2102光柵的角半寬度：Ndcosmwcosm光柵產(chǎn)生的m級譜線的峰值強(qiáng)度位置由光柵方程確定：dsinmm所以，波長632.8nm的單色光的1級和2級譜線的方向：1sin1sin1632.810618.433d0.21022sin12sin12632.810639.2d0.2102因此，波長632.8nm的單色光的1級和2級譜線的半寬度是：x1f632.81065006.671065003.34103mm100cos1實(shí)用文檔x2f632.81065008.171065004.09103mm100cos2（2）光柵的線色散為：dlmfddcosm波長632.8nm的單色光的1級和2級譜線相應(yīng)的線色散為：dlmf1500mm0.26mm/nmddcos10.21012106nmcos18.433dlmf2500mm0.64mm/nmddcos20.2102106nmcos39.22而波長差0.5nm的兩種單色光的1級和2級譜線之間的距離為：l1

dl

0.26 0.5 0.13mmd

1l2

dld

0.64 0.5 0.32mm2[13-16]設(shè)計一塊光柵，要求(1)使波長=600nm的第2級譜線的衍射角30，(2)色散盡可能大，(3)第3級譜線缺級，(4)在波長=600nm的2級譜線處能分辨0.02nm的波長差。在選定光柵的參數(shù)后，問在透鏡的焦面上只可能看到波長600nm的幾條譜線?解：為達(dá)到條件（1），光柵必須滿足：dm2600106mm2.4103mmsinsin30根據(jù)條件（2），應(yīng)選擇d盡可能小，故d2.4103mm根據(jù)條件（3），光柵縫寬a應(yīng)為：ad0.8103mm3再根據(jù)條件（4），光柵的縫數(shù)N至少應(yīng)有：N60015000m20.02所以，光柵的總寬度W至少為：WNd150002.4103mm36mm光柵產(chǎn)生的譜線應(yīng)在90的范圍內(nèi)，當(dāng)90時：dsin2.4103mm4m600106mm實(shí)用文檔第4級譜線對應(yīng)于90方向，實(shí)際上不可能看到，此外第3級缺級，所以，只能看見0,1,2共5條譜線。[13-19]解：方法一：把每兩條縫寬為a，間隔d'2a的雙縫看作一個衍射單元，整個衍射屏由間距d6a的N個這樣的衍射單元組成。則單元衍射因子為:~~sinsinE1()E0sin2其中：asin2d'sin22asin4所以，~()~sinsin4~sinE1E0sin22E0cos2N個衍射單元的干涉因子為：N'~sin()2E2'sin2其中：'2dsin26asin12所以，sin6NE2()sin6最終，得到整個衍射屏產(chǎn)生的夫瑯和費(fèi)衍射場的復(fù)振幅為：~)~~()~sinsin6NE(E1()E22E0cos2sin6故，整個衍射屏產(chǎn)生的夫瑯和費(fèi)衍射場的強(qiáng)度分布為：~~*sin22I()4I0cos2sin6NE()Esin6其中，I0~~E0E0為單縫衍射零級主強(qiáng)度。方法二：分別把N條奇數(shù)縫與 N條偶數(shù)縫看作二個相同的衍射單元。是由間距d 2a的兩個