第二節(jié)根軌跡繪制的基本規(guī)則

06-Feb-231第二節(jié)根軌跡繪制的基本規(guī)則06-Feb-2322、根軌跡的對稱性：一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其根必為實根或共軛復根。即特征根位于復平面的實軸上或?qū)ΨQ于實軸。

用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點的關(guān)系，根軌跡的特殊點，漸近線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。以下的討論是針對參數(shù)Kg的180度根軌跡的性質(zhì)。根軌跡的連續(xù)性和對稱性1、根軌跡的連續(xù)性：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益Kg的函數(shù)。當Kg從0到無窮變化時，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。一、根軌跡繪圖的基本規(guī)則06-Feb-2334、根軌跡的起點和終點：

Kg=0時為起點，Kg=∞時為終點。根軌跡的支數(shù)和起始點3、根軌跡的支數(shù)：當Kg=0時，只有s=－pj(j=1~n)時，上式才能成立。而－pj是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，所以根軌跡起始于開環(huán)極點。n階系統(tǒng)有n個開環(huán)極點，分別是n支根軌跡的起點。n階特征方程有n個根。當Kg從0到無窮大變化時，n個根在復平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。由根軌跡方程得根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。06-Feb-234

我們稱系統(tǒng)有n－m個無限遠零點。有限值零點加無窮遠零點的個數(shù)等于極點數(shù)。根軌跡的起點和終點當Kg=∞時，①s=－zi(i=1~m)，上式成立。－zi是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點，有m個。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點在m個有限零點處。②若n>m，那么剩余的n－m個終點在無窮遠處。由根軌跡方程得由根軌跡方程知：當s→∞時06-Feb-235根軌跡的漸近線5.根軌跡的漸近線：若開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則當系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞時趨向無窮遠處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠的方位可由漸近線決定。由根軌跡方程可得：式中，06-Feb-236根軌跡的漸近線當Kg→∞，由于m<n，故s→∞滿足根軌跡方程，上式近似為兩邊開n-m次方利用二項式定理當時，，令，06-Feb-237根軌跡的漸近線設(shè)s=x+jy,利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根據(jù)德莫弗(DeMoive)代數(shù)定理(cosq+jsinq)n=cos(nq)+jsin(nq)，上式可寫為06-Feb-238根軌跡的漸近線這是與實軸交點為－s，斜率為

的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為06-Feb-239[例4-2]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試確定根軌跡支數(shù)，起點和終點。若終點在無窮遠處，求漸近線與實軸的交點和傾角。[解]：根軌跡有3支。起點為開環(huán)極點無有限值零點，所以三支根軌跡都趨向無窮遠。漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸的傾角：零極點分布和漸近線（紅線）如圖所示。06-Feb-23106、實軸上的根軌跡：

實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。[證明]：例如在實軸上有兩個開環(huán)極點p1、p2，復平面上有一對共軛極點p3、

p4和一對共軛零點z1、z2

。先看試驗點s1點：所以s1點滿足根軌跡相角條件，于是[－p2,－p1]為實軸上的根軌跡。實軸上的根軌跡②成對出現(xiàn)的共軛零點z1、

z2對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0°；③試探點左邊的極點p2對試探點構(gòu)成的向量的相角為0°；④試探點右邊的極點p1對試探點構(gòu)成的向量的相角為180°；再看s2點：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。①成對出現(xiàn)的共軛極點p3、

p4對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0°；同樣s3點也不是根軌跡上的點。06-Feb-2311[例4-3]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求實軸上的根軌跡。[解]：零極點分布如下：

紅線所示為實軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原點有兩個極點，雙重極點用“”表示。實軸上的根軌跡例題06-Feb-23127、根軌跡的會合點和分離點：

若干根軌跡在復平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。實軸上的會合點和分離點如圖所示某系統(tǒng)的零極點圖隨著Kg的繼續(xù)增大，又在實軸上B點相遇并分別沿實軸的左右兩方運動。當Kg→∞時，一支根軌跡終止于－z，另一支走向－∞。由開環(huán)極點－p1、－p2出發(fā)的兩支根軌跡，隨著Kg的增大在實軸上A點相遇再分離進入復平面。A、B點稱為根軌跡在實軸上的會合分離點。06-Feb-23137、根軌跡的會合點和分離點：

若干根軌跡在復平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。

如果實軸上相鄰開環(huán)零點(其中一個可為無窮遠零點)之間有根軌跡，則這相鄰零點之間必有會合點。實軸上的會合點和分離點

一般說來，若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點。

如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與開環(huán)極點之間，則它們之間可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點。

有時也稱從實軸分離進入復平面的點為分離點；而稱從復平面進入實軸的點為會合點。06-Feb-2314[分離點和會合點的求法]：由重根法，求極值法和作圖法等。①重根法：根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：即[分離角]：根軌跡進入分離（會合）點的切線方向與離開分離（會合）點的切線方向之間的夾角。實軸上的會合點和分離點的求法因閉環(huán)特征方程為：設(shè)時，特征方程有重根，則必同時滿足06-Feb-2315由此得：即：實軸上的會合點和分離點的求法注意：由上式可求得的點是分離點和會合點必要條件，還需求出這些點對應的增益，若增益為大于零的實數(shù)，則所求出的點為分離會合點。06-Feb-2316②極值法：若以Kg為縱坐標，以實軸為橫坐標，在根軌跡的分離點和會合點上，Kg具有極值。實軸上的會合點和分離點的求法即06-Feb-2317③求分離會合點的另一個公式實軸上的會合點和分離點的求法設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：因閉環(huán)特征方程為：即閉環(huán)特征方程為：重根時還滿足06-Feb-2318實軸上的會合點和分離點的求法06-Feb-2319[例4-4]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實軸上根軌跡的會合點和分離點的位置。實軸上根軌跡區(qū)間是：注意：分離點和會合點也可能出現(xiàn)在復平面上，由于根軌跡對稱于實軸，所以，復平面上的分離點和會合點必對稱于實軸。顯然，分離回合點為-0.4725，而-3.5275不是分離回合點。[解]：閉環(huán)特征方程為：06-Feb-23208、根軌跡的出射角和入射角：當開環(huán)零、極點處于復平面上時，根軌跡離開復極點的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復零點的終止角稱為入射角。

圖中有四個開環(huán)極點，一個開環(huán)零點。－p1,－p2為共軛極點，現(xiàn)計算－p1的出射角。設(shè)為q1c。

在離開－p1附近的根軌跡上取一點s1,則s1點應滿足相角條件：當s1→－p1時，b1即為離開－p1的根軌跡的出射角，b1→q1c根軌跡的出射角和入射角

－p2的出射角應與－p1的出射角關(guān)于實軸對稱。06-Feb-2321式中：bj為除了－px以外的開環(huán)極點到－px的矢量的相角；ai為開環(huán)零點到－px的矢量的相角。同樣，進入復零點－zy的根軌跡入射角qyr為：式中：ai為除了－zy以外的開環(huán)零點到－zy的矢量相角；bj為各開環(huán)極點到－zy的矢量相角。根軌跡的出射角和入射角一般情況下，可求出根軌跡離開復極點－px的出射角qxc為：出射角是根軌跡離開復極點的切線與正實軸的夾角；入射角是根軌跡趨于復零點沿有根軌跡的方向做切線與正實軸的夾角。06-Feb-2322[例4-5]如圖，試確定根軌跡離開復數(shù)共軛極點的出射角。[解]：根據(jù)對稱性，可知點的出射角為：

相角要注意符號；逆時針為正，順時針為負；注意矢量的方向：[注意]：注：出射角和入射角的計算公式同樣適合于實軸上的零極點。06-Feb-2323重極點的出射角和重零點的入射角：06-Feb-23249、根軌跡和虛軸的交點：根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。這時的增益Kgp稱為臨界根軌跡增益。交點和Kgp的求法：

在閉環(huán)特征方程中令s=jw，然后使特征方程的實、虛部分別為零即可求出w和Kgp。

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。根軌跡和虛軸的交點06-Feb-2325方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將代入得：[例4-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試求根軌跡與虛軸的交點和。當時，為根軌跡的起點（開環(huán)極點）當

時，

，即根軌跡與虛軸的交點為

。06-Feb-2326方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定的值。勞斯陣列為：

勞斯陣列中某一行全為零時，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程

的根。1、令，得臨界增益為：2、令，得（開環(huán)極點）。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：06-Feb-232710、閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積：開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

，即：設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點為：

，則閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積06-Feb-2328比較(1)、(2)式得：

當n-m≥2時，

，即：對于任意的

，閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，為常數(shù)。表明：當

變化時，部分閉環(huán)極點在復平面上向右移動（變大），則另一些極點必然向左移動（變小）。

閉環(huán)極點之積為：

根據(jù)上述10個性質(zhì)（或準則），可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準確起見，可以用相角條件試探之。閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積當有為零的開環(huán)極點：06-Feb-2329根軌跡作圖步驟一、標注開環(huán)極點和零點，縱橫坐標用相同的比例尺；二、實軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；

實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。06-Feb-2330五、根軌跡與虛軸的交點；六、根軌跡的分離點、會合點；

結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點和終點，閉環(huán)極點與閉環(huán)極點之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。用勞斯判據(jù)或用s=jw代入特征方程求得。06-Feb-2331⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。解:⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0]⒋出射角06-Feb-2332⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為將代入得：06-Feb-2333⒍求分離會合點：由特征方程由圖知這兩點并不在根軌跡上，所以并非分離會合點，這也可將代入得為復數(shù)。06-Feb-2334⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角解:⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0]06-Feb-2335⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為將代入得：06-Feb-2336⒍求分離會合點：由特征方程由圖知這兩點都在根軌跡上，所以都是分離會合點。06-Feb-2337⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0]將代入得：，06-Feb-2338⒍求分離會合點：由特征方程由圖知這點在根軌跡上，所以是分離會合點。而且是三重根點。此時分離角為06-Feb-2339二、根軌跡繪圖的幾個重要特點⒈在開環(huán)傳遞函數(shù)增加極點和零點對根軌跡的影響①增加極點對根軌跡的影響

一般情況下，在原開環(huán)傳遞函數(shù)零極點的左邊增加極點會使原根軌跡向右半部移動，雖然很難作出確切的說明和提供必要的證明，但可以用幾個例子說明。[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫根軌跡。06-Feb-2340[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫根軌跡。⒊漸近線解:⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡:(－∞,－4],[－2,0]⒋求與虛軸的交點，此時特征方程為將代入得：⒌求分離會合點：由特征方程可得由圖知只有Kg>0的點在根軌跡上，所以－0.845是分離會合點。06-Feb-234106-Feb-2342[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫根軌跡。⒊漸近線解:⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：[－