微積分課件 92 二重積分的計算(二)-

第二節(jié)二重積分的計算(二)二重積分的計算（一）在直角坐標系下計算二重積分（累次積分）或yxdcX-型Y-型復習yxab例

計算其中xyo因此,針對不同形狀的積分區(qū)域D以及被積函數(shù)的特點,選擇不同的坐標系來計算二重積分是一個重要的問題.第二節(jié)二重積分的計算解(一)二重積分在極坐標系下的計算(二)無界區(qū)域的的反常二重積分第二節(jié)二重積分的計算(二)極軸X極點Orxy

如果選取以直角坐標系的原點O為極點，以x軸為極軸，原點Ox軸二、二重積分在極坐標下的計算用以極點O為中心的一族同心圓,

設過極點O的射線與積分區(qū)域D的邊界曲線的交點不多于兩點，把區(qū)域D分成n個小區(qū)域，在極坐標系下，以及從極點出發(fā)的一族射線,在直角坐標系下在極坐標系下極坐標系下的面積微元二、二重積分在極坐標下的計算則得故面積微元為這樣二重積分在極坐標系下的表達式為二、二重積分在極坐標下的計算

直角坐標系下與極坐標系下二重積分的轉換公式

如何計算極坐標系下的二重積分？化為二次積分或累次積分來計算二重積分在極坐標系下的表達式為二、二重積分在極坐標下的計算要解決兩個問題：（2）確定積分的上、下限（1）選擇積分次序化為二次積分或累次積分來計算二、二重積分在極坐標下的計算

極坐標系下化二重積分為二次積分(1)若極點O在區(qū)域D

之外則有

(2)極點O在區(qū)域D的邊界線上則有xoxoDD（只研究先對r后對θ的積分次序）下面根據(jù)極點O與區(qū)域D的位置分三種情況討論型區(qū)域(3)若極點O在區(qū)域D的內部則有xoDo特殊地DD:x二、二重積分在極坐標下的計算或被積函數(shù)為f(x2+y2)、利用極坐標計算二重積分積分特征利用極坐標常能簡化計算.如果積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，等形式，要點與步驟:用直角坐標系計算繁鎖或不能計算的可以用極坐標計算;(2)畫區(qū)域圖,列出型區(qū)域,寫成極坐標下的二次積分.二、二重積分在極坐標下的計算極坐標下二重積分計算的基本步驟

(1)將直角坐標系下的二重積分轉化為極坐標系下的二重積分.①將

代入被積函數(shù),

②將區(qū)域D

的邊界曲線換為極坐標系下的表達式，確定相應的積分限.

將面積元素dxdy換為

.(2)將極坐標系下的二重積分轉化為二次積分.(3)計算二次積分.則解二、二重積分在極坐標下的計算例2

計算其中解故

注：由于的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標計算.xyo在極坐標系下二、二重積分在極坐標下的計算xy例3解二、二重積分在極坐標下的計算例4

計算積分積分域是圓環(huán)，xyo解D：二、二重積分在極坐標下的計算P36713（3）

例5

計算二重積分

其中區(qū)域D為由x=0及

x2+y2=2y圍成的第一象限內的區(qū)域.解D的邊界曲線為x2+y2=2y，此時D可以表示為xyo其極坐標表達式二、二重積分在極坐標下的計算解故例6二、二重積分在極坐標下的計算例7解二、二重積分在極坐標下的計算利用區(qū)域的對稱性和函數(shù)奇偶性計算二重積分二、二重積分在極坐標下的計算解二、二重積分在極坐標下的計算例7解二、二重積分在極坐標下的計算二、二重積分在極坐標下的計算

當積分區(qū)域由直線和除圓以外的其它曲線圍成時，

一般說來，當積分區(qū)域為圓形、扇形、環(huán)形區(qū)域，

選取適當?shù)淖鴺讼祵τ嬎愣胤e分的計算是至關重要的.而被積函數(shù)中含有

項時,選擇坐標系選擇積分次序二重積分計算過程通常選擇在直角坐標系下計算.下的計算方法往往比較簡便.二重積分計算方法總結：化為累次積分計算累次積分二重積分可在兩種坐標系下計算.采用極坐標系三、無界區(qū)域上的廣義二重積分先在有界區(qū)域內積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解.例9

求廣義積分(正態(tài)分布）基本解法：解因為被積函數(shù)為偶函數(shù),例9

求廣義積分所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計算。(正態(tài)分布）又因為被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),D令利用極坐標計算H，二、二重積分在極坐標下的計算令利用極坐標計算H，所以D正態(tài)分布二、無界區(qū)域上的廣義二重積分基本解法：

先在有界區(qū)域內積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解.解

先考慮圓域二、無界區(qū)域上的廣義二重積分二.二重積分在極坐標系中的計算一.二重積分在直角坐標系中計算小結選擇坐標系選擇積分次序化為累次積分計算累次積分第二節(jié)二重積分的計算作業(yè)：P36611（1），12（3），13（3）14

下次課內容第九章

二重積分習題課第十章微分方程三.廣義二重積分基本解法

先在有界區(qū)域內積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解.1.二重積分在極坐標下的計算（在積分中注意使用對稱性）小結2.廣義二重積分基本解法：

先在有界區(qū)域內積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解.第二節(jié)二重積分的計算(二)解答思考題練習題練習題答案由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性可得oxyD解例7二重積分在極坐標下的計算oxy11D解例8二重積分在極坐標下的計算二、二重積分在極坐標系下