概率統(tǒng)計第二章

第二章隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征2/6/20232.1隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的分類2/6/2023一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生在實際問題中，我們考察隨機(jī)試驗的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：1、有些試驗結(jié)果本身明顯是數(shù)值型的例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；九月份常州的最高溫度；每天在常州站下火車的人數(shù)；從宿舍走到教室所花費的時間；2/6/20232、有些試驗結(jié)果表面上不是數(shù)值的下課走出教室遇到的第一人的性別;投擲硬幣，令X=1表示正面，X=0表示反面。簡記為r.v.(randomvariable)隨量機(jī)變表示隨機(jī)現(xiàn)象的各種結(jié)果或描述隨機(jī)事件的變量。隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示，而表示隨機(jī)變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.2/6/2023例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題.如P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=?P(1.5<X<1.7)=?隨機(jī)變量具有以下兩個特點：（1）在一次試驗前，不能預(yù)言隨機(jī)變量取什么值，它的取值決定于隨機(jī)試驗的結(jié)果。（2）隨機(jī)變量的所有可能取值是事先知道的，而且對應(yīng)于隨機(jī)變量取某一數(shù)值或某一范圍的概率也是確定的。特別注意：隨機(jī)變量的取值或取值范圍表示隨機(jī)事件，隨機(jī)變量X本身不是事件。

2/6/2023事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律引入隨機(jī)變量重要意義

任何隨機(jī)現(xiàn)象可被隨機(jī)變量描述

借助微積分方法將討論進(jìn)行到底二、引入隨機(jī)變量的意義2/6/2023三、隨機(jī)變量的分類

通常分為兩類：如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個一一列舉如，“電視機(jī)的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.取值不能一一列舉，連續(xù)取某個區(qū)間中的一切值

這兩種類型的隨機(jī)變量因為都是隨機(jī)變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點.2/6/2023離散型隨機(jī)變量2/6/2023設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,x2,…。為了描述隨機(jī)變量X，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個值的概率。這樣，我們就掌握了X這個隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律。從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例1且2/6/2023其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

k=1,2,…1.定義：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布列，有的書上也稱概率函數(shù).用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率分布一、離散型隨機(jī)變量概率分布的定義2/6/20232.表示方法（1）列表法：（2）公式法：再看例1任取3個球X為取到的白球數(shù)X可能取的值是0,1,22/6/2023P(X=k)≥0,

2/6/2023例3：某籃球運動員投籃命中的概率是0.9，求他兩次獨立投籃，投中次數(shù)X的概率分布.解：

X可取0、1、2

P(X=0)=(0.1)×(0.1)=0.01P(X=1)=2×

(0.9)×(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)×(0.9)=0.81且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1即X的分布列為：2/6/2023一般來說,離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來求:(1)確定隨機(jī)變量的所有可能取值;(2)設(shè)法（如利用古典概率）計算取每個值的概率.(3)列出隨機(jī)變量的概率分布表（或?qū)懗龈怕屎瘮?shù)）.2/6/2023連續(xù)型隨機(jī)變量continuousrandomvariable,c.r.v.2/6/2023,使得,有1.定義對于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量(c.r.v.),稱f(x)為X的概率密度函數(shù)(pdf)，簡稱為概率密度或密度函數(shù).一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)的定義2.概率密度函數(shù)的性質(zhì)1o2of(x)xo面積為12/6/20231。密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.這就是“密度”的含義。2。面積與概率f(x)xo2/6/20233.連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值證：由此得，1)對連續(xù)型隨機(jī)變量X,有2/6/2023因為，由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件,2)由P(A)=0,不能推出并非必然事件由P(B)=1,不能推出

B=2/6/2023例1.

設(shè)隨機(jī)變量X～求(1)A;(2)P(-1/2<X≤1/2);(3)P(-3<X≤2)．解(1)

即所以A=1/πAπ=1,(2)P(-1/2<X≤1/2)==1/π(π/6+π/6)=1/3(3)P(-3<X≤2)==12/6/2023

2/6/2023分布函數(shù)(積累概率分布函數(shù))

為了對離散型的和連續(xù)型的隨機(jī)變量以及更廣泛類型的隨機(jī)變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們引進(jìn)了分布函數(shù)的概念.一、分布函數(shù)的定義1.定義：設(shè)X是一個隨機(jī)變量，對任意的實數(shù)，隨機(jī)變量X取值落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率為稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).2/6/2023

因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.顯然，對任意2/6/2023即是右連續(xù)的。2.分布函數(shù)的性質(zhì)：反之，具有上述四個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該四個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。2/6/2023二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的分布律是則

由于是X

取的諸值

的概率之和，故又稱為累積概率函數(shù).離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是一個右連續(xù)的函數(shù),在x=xk(k=1,2…)處有跳躍值pk=P{X=xk},如右圖所示2/6/2023解由定義當(dāng)時,當(dāng)時，當(dāng)

時，故當(dāng)時，例1求

。2/6/2023故下面我們從圖形上來看一看。注意右連續(xù)不難看出，

的圖形是階梯狀的圖形，在處有跳躍，其躍度分別等于2/6/2023分布函數(shù)圖概率函數(shù)圖2/6/2023二.連續(xù)性隨機(jī)變量c.

r.v.的分布函數(shù)即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限的定積分.若c.r.v.X的概率密度

為f(x),則(1)由上式可得，有2/6/20232/6/2023(3)P{-1<X≤2}2/6/2023

從這里我們可以看出，不管是概率分布和積累概率分布,還是概率密度函數(shù)和積累概率分布,都用不同的形式傳達(dá)了相同的信息,反映了隨機(jī)變量的具體分布情況.2/6/20232.3常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布(I)二點分布（0-1分布）

設(shè)E是一個只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗：事件A發(fā)生或者A沒有發(fā)生。來源X=1,A發(fā)生0,A沒有發(fā)生P（X＝1）＝p,P（X=0）=q=1－p凡試驗只有兩個結(jié)果,常用0–1分布描述,如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超標(biāo)等等。應(yīng)用場合X表示進(jìn)行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)?；?/6/2023

200件產(chǎn)品中，有196件是正品，4件是次品，今從中隨機(jī)地抽取一件，若規(guī)定例4：X=1,取到正品0,取到次品則P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02故X服從參數(shù)為0.98的二點分布。2/6/2023例5：設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù).貝努里概型和二項分布(II)我們來求X的概率分布.X的概率分布是：X可取值0,1,2,3,4.2/6/2023例6將一枚均勻骰子拋擲3次，令X表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù)X的概率分布是：1.定義：用X表示n重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則稱r.v.X服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作X~B(n,p)2/6/2023注:貝努里概型對試驗結(jié)果有下述要求：（1）每次試驗條件相同；二項分布描述的是n重貝努里試驗中A事件出現(xiàn)次數(shù)X的概率分布.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A或，且P(A)=p，；（3）各次試驗相互獨立.2/6/2023最有可能遇到幾次紅燈呢?2/6/20232.二項分布的最可能值2/6/20233.下面我們研究二項分布B(n,p)和兩點分布B(1,p)之間的一個重要關(guān)系.

設(shè)試驗E只有兩個結(jié)果:A和。記p=P(A)，則P()=1-p，0<p<1,我們把試驗E在相同條件下，相互獨立地進(jìn)行n次，記X為n次獨立試驗中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù)。把描述第i次實驗結(jié)果的隨機(jī)變量記作Xi則Xi

～B(1,p),且X1,X2,,Xn也是相互獨立的(隨機(jī)變量相互獨立的嚴(yán)格定義第三章再講)。則有X=X1+X2++Xn2/6/2023

1、泊松分布的定義及圖形特點設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~P().(III)泊松分布(Poissondistribution)2/6/2023*泊松分布一般刻劃稀有事件出現(xiàn)的概率Poisson分布更多地專用于研究單位時間、單位人群、單位空間內(nèi)，某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布。理論上單位時間或單位空間內(nèi)的發(fā)生數(shù)可為無窮大。1)在單位時間內(nèi)來到電話交換局的電話呼喚次數(shù)2)在單位時間內(nèi)來到某一路邊話亭打電話的人數(shù)3)在單位時間內(nèi)來到某一公共汽車站的乘客人數(shù)4)在單位時間內(nèi)來到某一機(jī)場降落的飛機(jī)數(shù)5)在單位時間內(nèi)某一母雞下蛋的個數(shù)6)在單位時間內(nèi)蓋革-米勒計數(shù)器測到的粒子數(shù)7)在單位時間內(nèi)來到某商店的顧客人數(shù)8)在單位時間內(nèi)來到某商店某柜臺的顧客人數(shù)9)紡織廠生產(chǎn)的一批布上疵點的個數(shù)Poisson分布發(fā)展成為描述小概率事件出現(xiàn)規(guī)律性的一種重要的離散型分布。2/6/2023易見?泊松分布的圖形特點：X~P()2/6/2023

某一無線尋呼臺,每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布.求：(1)一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率.(2)一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率.

例8：解:

(1)P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240(2)P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.71692/6/2023

某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為0.8的泊松分布.求:該城市一天內(nèi)發(fā)生3次以上火災(zāi)的概率.解:例9

P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.04742/6/2023對于二項分布B(n,p),當(dāng)n充分大，p又很小時,則對任意固定的非負(fù)整數(shù)k，有近似公式歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.2、二項分布與泊松分布命題Poisson定理設(shè)r.v.，，設(shè)(當(dāng))，則對固定的非負(fù)整數(shù)，有2/6/2023例10某種藥品的過敏反應(yīng)率為0.0001，今有20000人使用此藥品，求20000人中發(fā)生過敏反應(yīng)的人數(shù)不超過3的概率。解以表示20000人中發(fā)生過敏反應(yīng)的人數(shù)，則服從二項分布，所求的概率為：2/6/2023如果利用近似公式計算，可以得到：，且比較兩個結(jié)果可以看到，近似程度是很高的。2/6/2023(Ⅳ)幾何分布2/6/2023(Ⅴ)超幾何分布引例：某班有學(xué)生20名，其中5名女同學(xué)，今從班上任選4名學(xué)生去參觀世博，被選到的女同學(xué)數(shù)X是一個隨機(jī)變量，求X的分布。解:X可以取0，1，2，3，4。定義：設(shè)N個元素分為兩類，有個屬于第一類，個屬于第二類()。從中按不重復(fù)抽取n個，X表示這n個中第一類元素的個數(shù)。則X的分布稱為超幾何分布。其概率函數(shù)為2/6/2023常見的連續(xù)型隨機(jī)變量1.均勻分布(Uniformdistribution)它用來描述一個隨機(jī)變量再一個區(qū)間上取每一個值的等可能性均等的分布規(guī)律。[a,b]區(qū)間上的均勻分布是該區(qū)間上每一點的概率密度相同，即取值落在該區(qū)間中每個子區(qū)間上的概率與子區(qū)間的長度成正比。2/6/2023若連續(xù)型隨機(jī)變量X的pdf為：則稱X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記作：X～U[a,b]（注：X～U（a,b））2/6/2023均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對小數(shù)點后第一位進(jìn)行四舍五入時，那么一般認(rèn)為誤差服從（-0.5,0.5）上的均勻分布。2/6/2023則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記為X~E(λ)(λ>0).若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為概率密度曲線如圖:xf(x)注

指數(shù)分布常用作電子產(chǎn)品“壽命”分布，研究系統(tǒng)可靠性問題。2.指數(shù)分布（exponentialdistribution）2/6/20232/6/20232/6/2023正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱為高斯分布。德莫佛德莫佛（DeMoivre)最早發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的一個近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面。3、正態(tài)分布(normaldistribution)2/6/2023德國馬克10元上高斯頭像和正態(tài)分布的密度曲線。2/6/2023I、正態(tài)分布的定義若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線。其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布。2/6/2023II、正態(tài)分布的圖形特點正態(tài)分布的密度曲線是一關(guān)于對稱的鐘形曲線。特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”。1).決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度。固定σ固定2/6/20232).f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達(dá)到最大值:

這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。3).當(dāng)x→∞時，f(x)→0,4).用求導(dǎo)的方法可以證明:為f(x)的兩個拐點的橫坐標(biāo)。x=μ

σ2/6/2023Ⅲ.可以證明證明：作變量代換左邊2/6/2023化為極坐標(biāo)其中2/6/2023實例年降雨量問題我們用上海99年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布。2/6/2023在現(xiàn)實中，許多隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布或近似的正態(tài)分布來刻畫。如在生產(chǎn)中，在生產(chǎn)條件不變的前提下，各種產(chǎn)品的某些量度(如建筑材料的抗壓強度、細(xì)沙的強力、電燈泡的使用壽命、零件的尺寸等)一般都服從正態(tài)分布；在生物學(xué)中，同一種群的某種特征(像身高、體重等)一般也服從正態(tài)分布；在自然科學(xué)中，熱力學(xué)中理想氣體分子的速度分量，射擊時命中位置目標(biāo)沿某個坐標(biāo)軸的偏差，測量同一物體的測量誤差，考試成績等都服從或近似服從正態(tài)分布。2/6/2023Ⅳ、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

表示：2/6/2023它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.根據(jù)定理1，只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,則~N(0,1)設(shè)定理12/6/2023設(shè)X~,則X的分布函數(shù)是三、正態(tài)分布的概率計算2/6/2023(一)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：若X～N(0,1),2/6/2023書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.表中給的是x>0時,Φ(x)的值.當(dāng)-x<0時P(|X|<a)=2Φ(a)-1.2/6/2023例6設(shè)，計算：解2/6/2023標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

根據(jù)定理1就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,則~N(0,1)設(shè)定理1(二)、一般正態(tài)分布的概率計算若~N(0,1)2/6/2023將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時，則可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.當(dāng)X～N(0,1)時，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)2/6/2023例7設(shè)求與。所以解：2/6/2023例8設(shè)，計算：解2/6/2023

例9（1）假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高（單位：cm）X～N(170,7.692)，求該地區(qū)成年男性的身高超過175cm的概率。解:(1)根據(jù)假設(shè)X～N(170,7.692)，則故事件{X>175}的概率為P{X>175}==0.2578（2）公交車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計的，問車門高度應(yīng)如何確定?2/6/2023(2)設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的

h.因為X～N(170,7.692),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+17.92188設(shè)計車門高度為188厘米時，可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過0.01.2/6/2023背景

前面我們介紹了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，分布函數(shù)全面地刻畫了隨機(jī)變量的全部概率性質(zhì)。但在實際問題中，我們往往只需要了解隨機(jī)變量的主要特點，并不要求知道整個分布的所有細(xì)節(jié)。2/6/20232.2隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學(xué)期望4.2方差2/6/2023數(shù)學(xué)期望引例1人壽保險經(jīng)紀(jì)人說，在美國40歲的婦女可期望再活38年。引例2

某教練員培養(yǎng)了甲、乙兩射手運動員，需要選拔其中一名參加運動會，現(xiàn)兩選手各向目標(biāo)靶射擊十槍，二人命中的情況分別為：（單位：環(huán)）甲乙9810899898967910109108910試問該挑選誰去參加比賽？2/6/2023對于甲選手，命中環(huán)數(shù)的平均值為對于乙選手，命中環(huán)數(shù)的平均值為2/6/2023引例3設(shè)某離散型隨機(jī)變量X的分布列為如果對隨機(jī)變量進(jìn)行N次隨機(jī)取值，問這N個值的平均值應(yīng)是多少？（假設(shè)N相當(dāng)大）解：X123以概率為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)2/6/2023若級數(shù)絕對收斂（即收斂），則稱級數(shù)的和為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（也稱期望或均值），記為。一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布為注：①如果不絕對收斂，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在。即②是個實數(shù)而非變量，是一種加權(quán)平均。2/6/2023例如:你以10%的利率借給你的朋友100元一年,到時若你朋友將錢還給你，那么你能拿到110元（100元的本金+10元的利息），但是有1%的可能是你朋友不還錢，那么你一分錢也拿不到。因此還款額是一隨機(jī)變量，求還款的期望值是多少？解：110×0.99+0×0.01=108.9多次這樣的借還過程中，平均而言，你將拿到的還款額是108.9元。2/6/2023二、常見分布的數(shù)學(xué)期望例1（0-1分布）設(shè)隨機(jī)變量服從0-1分布，求。解：2/6/2023例2（泊松分布）設(shè)隨機(jī)變量，求。解：2/6/2023例3（二項分布）設(shè)隨機(jī)變量,求。2/6/2023

例4假設(shè)你的阿姨是一所大學(xué)的人事處處長，她答應(yīng)提供你一份暑期工作，但現(xiàn)在還不能肯定能提供的確切職位，她給出了下列估計：問你能期望的暑期工資為多少？2/6/2023其數(shù)學(xué)期望為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望由于與很接近，所以區(qū)間中的值可用來近似，因此X近似于一個離散型隨機(jī)變量。

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函為，將取值范圍用點x0

<x1<x2<…分為若干小區(qū)間，則落在小區(qū)間內(nèi)的概率是2/6/2023由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義：定義2設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),如果有限，則定義X的數(shù)學(xué)期望為也就是說，連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分。2/6/2023解：由于均勻分布的概率密度函數(shù)為例5（均勻分布）設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，求。正好是區(qū)間的中點。2/6/2023解：由于正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為例6（正態(tài)分布），求。2/6/2023因此，顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù)。例7（指數(shù)分布）設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)時間（以分鐘計）服從指數(shù)分布，其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時間？解:2/6/2023注：數(shù)學(xué)期望不一定存在。

如:隨機(jī)變量取值為時,對應(yīng)的概率為級數(shù)但是所以，EX不存在。是發(fā)散的。2/6/2023注：數(shù)學(xué)期望不一定存在。

如:隨機(jī)變量服從柯西分布,概率密度為2/6/2023下面的定理給出了肯定的答案。設(shè)隨機(jī)變量的分布已知，如何計算的某個函數(shù)的數(shù)學(xué)期望呢？一種方法：也是隨機(jī)變量，它的分布可以由已知的的分布求出來，從而按照期望定義計算出

是否可以不先求出的分布而只根據(jù)的分布求出呢？三隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望2/6/2023（1）若為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為且絕對收斂，則定理1設(shè)為隨機(jī)變量的函數(shù)，這里為連續(xù)的實值函數(shù)，（2）若為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為且絕對收斂，則2/6/2023例8設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X-1023試計算：和。解：2/6/2023已知X

的概率密度為例9已知X

服從上的均勻分布，計算的數(shù)學(xué)期望。解則所求的數(shù)學(xué)期望為：2/6/2023四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如果X、Y是兩個隨機(jī)變量，C為任意常數(shù)，且都存在，則數(shù)學(xué)期望有以下四條常見的性質(zhì)。2/6/2023

中心中心如:甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙較好因為乙炮的彈著點較集中在中心附近.為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.方差2/6/2023方差2/6/2023

容易算得，二人擊中環(huán)數(shù)的平均值都是8.8環(huán)，現(xiàn)問，甲、乙二人哪一個水平發(fā)揮的更穩(wěn)定？甲981089889109乙67910109108910直觀的理解，二選手中哪一個擊中的環(huán)數(shù)偏離平均值越少，這個選手發(fā)揮的更穩(wěn)定假設(shè)甲乙兩射手各發(fā)十槍，擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)分別為2/6/2023一些。為此我們利用二人每槍擊中的環(huán)數(shù)距平均值的偏差的均值來比較。為了防止偏差和的計算中出現(xiàn)正、負(fù)偏差相抵的情況，應(yīng)由偏差的絕對值之和求平均更合適。對于甲選手，偏差絕對值之和為：2/6/2023對乙選手，容易算得偏差絕對值之和為10.8環(huán)，所以甲、乙二人平均每槍偏離平均值為0.64環(huán)和1.08環(huán)，因而可以說，甲選手水平發(fā)揮更穩(wěn)定些。類似的，為了避免運算式中出現(xiàn)絕對值符號。我們也可以采用偏差平方的平均值進(jìn)行比較。2/6/2023為此我們引入以下定義：定義對隨機(jī)變量X，如果數(shù)學(xué)期望存在，且的數(shù)學(xué)期望也存在，則稱的值為隨機(jī)變量X

的方差，記為由前面的例子容易理解，方差反映了隨機(jī)變量取值相對于均值的分散程度，即反映X取值的穩(wěn)定性。2/6/2023應(yīng)當(dāng)注意，對隨機(jī)變量X而言，其數(shù)學(xué)期望是一常數(shù)，而與是隨機(jī)變量，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得2/6/2023即。這是方差運算中一個常用的公式?？紤]到方差的單位難以解釋，我們稱方差的平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為即：2/6/2023X為d.r.v,P{X=xk}=pk方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望X為c.r.v，X~f(x)D(X)=E(X2)-[E(X)]2

常用此公式計算常見分布的方差.計算方差的一個簡化公式總結(jié)方差的計算方法:2/6/2023求:D(X)解:例1:

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)為2/6/2023服從0—1分布的隨機(jī)變量X，分布列為求X的方差。已知而且則X的方差為解2/6/2023泊松分布:

X～P()其中>0∴D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2+-2=2/6/2023對服從[a，b]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量X，計算已知，且解2/6/2023從而2/6/2023指數(shù)分布2/6/2023例:已知求由方差的定義可得解作代換則2/6/2023由此可知，正態(tài)分布的兩個參數(shù)和分別表示隨機(jī)變量X的均值和方差。2/6/2023關(guān)于方差的性質(zhì)，常見的有以下幾條：2/6/2023證明2/6/2023例2設(shè)隨機(jī)變量X的期望E（X）和方差D（X）都存在，則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，試求和注意到均為常數(shù)，再由期望及方差的性質(zhì)可得：解2/6/2023可見，標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的期望是0，方差是1。因此，把隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，可以使所討2/6/2023論的問題變得較簡單，這種處理問題的方法在概率與數(shù)理統(tǒng)計中時有應(yīng)用。例如，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布